1
引 言
在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann 积分 . Riemann 积分对处理连续函数和几何 ,
物理中的计算问题时候是很有效的 . 但是 Riemann 积分在理论使存在一些缺陷 . 主要表
现在以下几个方面 :
1. 可积函数对连续性的要求 .
设 )(xf 是定义在区间 ],[ ba 上的有界实值函数 . 又设
bxxxa
n
=<<<= L
10
是 ],[ ba 的一个分划 . 对每个 ,,,1 ki L= 令,
]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{
11 iiiiii
xxxxfMxxxxfm
??
∈=∈=
并且令
1
1
max
?
≤≤
?=
ii
ni
xxλ . 则 )(xf 在 ],[ ba 上可积的充要条件是
∑
=
?
→
=??
n
i
iiii
xxmM
1
1
0
0))((lim
λ
. (1)
其几何意义就是曲线 )(xfy = 的下方图形 (曲边梯形 )的外接阶梯形与内接阶梯形面积之
差趋于零 (如图 ). 因此为保证 )(xf 在 ],[ ba 上可积 , )(xf 在 ],[ ba 上的不连续点不能太
多 ,或者说 , )(xf 在 ],[ ba 上基本上是连续的 ( )(xf 在 ],[ ba 上可积的一个充分条件是
)(xf 在 ],[ ba 上连续或分段连续 ). 由于 Riemann 积分对被积函数的连续性要求太强 , 这
样就性质了 Riemann 积分的应用 . 例如 Dirichlet 函数
?
?
?
=
.0
1
)(
为无理数若
为有理数若
x
x
xD
X
Y
O
1
x
b
a
)(xf
2
x
1?i
x
i
x
1?n
x
i
m
i
M
2
在 ]1,0[ 上不满足条件 (1). 因此 )(xD 在上不是 Riemann 可积的 .
2. 积分与极限顺序的交换
在数学分析中 , 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题 . 设 )}({ xf
n
是
],[ ba 上的连续函数列 ,并且在 ],[ ba 上 )(xf
n
处处收敛于 ).(xf 一般情况下 , )(xf 未必
在 ],[ ba 上可积 . 即使 )(xf 在 ],[ ba 上可积 ,也未必成立
.)()(lim
∫∫
=
∞→
b
a
b
a
n
n
dxxfdxxf (2)
为使 )(xf 在 ],[ ba 上可积并且 (2)成立的一个充分条件是 )}({ xf
n
在 ],[ ba 上一致收敛于
)(xf (这不是必要条件 , 例如考虑函数 ]1,0[ 上的函数列
n
n
xxf =)( ),2,1( L=n ). 这
个条件太强并且不易验证 .
3. 可积函数空间的完备性 .
设 ],[ baR 是 ],[ ba 上 Riemann 可积函数的全体 . 在 ],[ baR 上定义距离
21
2
))()((),(
∫
?=
b
a
dxxgxfgfd , ∈gf ,],[ baR .
则 ],[ baR 称为一个距离空间 (确切涵义将在泛函分析部分叙述 ). 设 }{
n
f 是 ],[ baR 中序
列 , ∈f ],[ baR . 若 ,0),(lim =
∞→
ffd
n
n
则称 }{
n
f 按距离收于 .f ],[ baR 中序列 }{
n
f
称为是 Cauchy 序列 , 若对任意 0,>ε 存在 ,0>N 使得当 Nnm >, 时 , .<ε),(
nm
ffd
有例子表明 , 在 ],[ baR 中并非每个 Cauchy序列都是收敛的 , 即 ],[ baR 不是完备的空间 .
而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的 . 因此 ],[ baR 不是作为研究对象的理
想空间 .
以上几点表明 , Riemann 积分有不少缺陷 , 这就限制了 Riemann 积分的应用 , 因此有
必要加以改进 . 二十世纪初 , 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论 ,
称之为 Lebesgue 积分 . Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展 . 并且克服
了 Riemann 积分的上述缺陷 .
下面介绍推广 Riemann 积分的大体思路 , 为节省篇幅 , 这里没有 也不可能很完整和
严密的叙述 . 设 )(xf 在 ],[ ba 上连续并且 .0)( ≥xf 对 ],[ ba 的一个分划
bxxxa
n
=<<<= L
10
,
作阶梯函数 )(xf
n
, 使 得 当 ],(
1 ii
xxx
?
∈ 时, .)(
in
mxf = 其中
}.],[:)(inf{
1 iii
xxxxfm
?
∈= 则
∑∑
∫
=
?
=
?
=?=
n
i
iii
n
i
iii
b
a
n
xxmxxmdxxf
1
1
1
1
],()()( .
3
若当 n 越大时, 分割越来越细, 并且当 ∞→n 时, ,0max
1
1
→?=
?
≤≤
ii
ni
xxλ 则 }{
n
f 单
调上升趋近于 f , 并且由 Riemann 积分的定义得到
.)()(lim
∫∫
=
∞→
b
a
b
a
n
n
dxxfdxxf
其几何意义就是曲线 )(xfy = 的下方图形的面积可以由其内接阶梯形的面积逼近 (如上
图 ). 这启发我们用下述方式重新定义 Riemann 积分 .
设
n
II ,,
1
L 是 ],[ ba 的 n 个互不相交的子区间 , 并且 .],[
1
U
n
i
i
Iba
=
= 若 )(xf 是一
非负阶梯函数 , 当
i
Ix∈ 时 , .)(
i
axf = 则定义
∑
∫
=
=
n
i
ii
b
a
Imdxxf
1
)( . (3)
其中
i
I 是区间
i
I 的长度 . 若 )(xf 是非负函数并且存在一列单调上升的非负阶梯函数
}{
n
f 使得 ),()(lim xfxf
n
n
=
∞→
并且 ∞<
∫
∞→
b
a
n
n
dxxf )(lim , 则定义
.)()(lim
∫∫
=
∞→
b
a
b
a
n
n
dxxfdxxf (4)
一般情形 , 令
}0),(max{)(},0),(max{)( xfxfxfxf ?==
?+
.
则 ),(xf
+
)(xf
?
是非负函数 , 并且 ).()()( xfxfxf
?+
?= 若 )(xf
+
和 )(xf
?
都可积 .
则定义
.)()()(
∫∫∫
?+
?=
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf (5)
这种方式定义的积分于 Riemann 积分是一样的.按照这种定义方式, 一个非负函数可积
必须能够用单调上升的非负阶梯函数列逼近 f .这就要求 f 基本上是连续函数.
为对更一般的函数定义积分, 现在将阶梯函数改为更一般的函数.设
n
AA ,,
1
L 是
],[ ba 的 n 个互不相交的子集 , 并且 .],[
1
U
n
i
i
Aba
=
= 若 )(xf 是 ],[ ba 上的函数 , 当
i
Ax∈ 时 , )0()( ≥=
ii
aaxf (暂称之为一般简单函数 ). 形式上仿 (3)式定义
∑
∫
=
=
n
i
ii
b
a
Amdxxf
1
)( . (6)
问题是这里
i
A 不一定是区间 ,
i
A 表示什么 ?
i
A 应该是一种类似区间长度的东西 . 如
果我们能够给出
i
A 的确切涵义 , 使得
i
A 满足区间长度类似的性质 , 我们就能用 (6)式定
义上述一般非负简单函数的积分 . 然后利用 (4)和 (5)式定义一般函数的积分 . 由于一般简
单函数比阶梯函数更一般 , 因此能够被一般简单函数逼近的函数也更多 , 因此可以对更
4
一般的函数定义积分 .
上述新积分的定义过程并不是轻而易举立即可以实现的 . 这里关键的问题是 , 对直
线上比区间更一般的集 A 给出一种类似于区间长度的度量 . 这就是本课程 要介绍的
Lebesgue 测度理论 . 由于测度理论要经常地遇到和集和集的运算 , 因此本课程首先要介
绍集合论的知识 . 然后介绍测度理论 . 由于测度理论并不能给直线上的每个集定义测度 ,
只能对一部分集即所谓 ’ 可测集 给出测度 , 因此上述简单函数中必 须要求每个
i
A 是
可测的 , 这样的函数称之为 (可测 )简单函数 . 能够用简单函数逼近的函数称为可测函数 .
只有对可测函数才有可能定义新的积分 , 因此在定义新积分之前需要讨论可测函数的性
质 . 在作了这些准备后 , 就可以定义新的积分即 Lebesgue 积分 , 并讨论 Lebegue 积分的
性质 . 事实证明 Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展 . 并且克服了
Riemann 积分的上述缺陷 . Lebesgue 积分是现代分析数学不可缺少的基础 , 并且极大地促
进了现代分析数学的发展 .
本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue 积分理论而展开的 . 学习了本课程后 , 将会对
这里所述内容有更好的理解 .
5
第一章 集与集类
n
R 中的点集
集与集的运算是测度与积分理论的基础 . 本章先介绍集论的一些基本内容 , 包括集
与集的运算 , 可数集和基数 , 一些具有某些运算封闭性的集类如环与 ?σ 代数等 . 然后介
绍
n
R 中的一些常见的点集 .
§ 1.1 集与集的运算
教学目的 集合论是本课程的基础 . 本节将引入集的概念与集的运
算 , 使学生掌握集和集的运算的基本概念 .
本节要点 De Morgan 公式是以后常用的公式 . 证明两个集的相等是
经常要遇到论证 , 应通过例子使学生掌握其基本方法 .集列的极限是一种
新型的极限 , 学生应注意理解其概念 .
集是数学的基本概念之一 . 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之 , 只能给予
一种描述性的说明 .
集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个 集 (或 集合 ).
例如 , 数学分析中的实数集 , 有理数集 , 函数的定义域和值域 , 满足某些给定条件的
数列或函数的全体所成的集等都是常用的集 . 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平
面或空间的点所构成的集 .
一般用大写字母如 A, B, C 等表示集 , 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的元素 . 若 a 是
集 A 的元素 , 则用记号 Aa∈ 表示 (读作 a 属于 A). 若 a 不是集 A 的元素 , 则用记号
Aa? 表示 (读作 a 不属于 A).
不含任何元素的集称为空集 , 用符号 ?表示 . 约定分别用 ,
1
R Q , N 和 Z 表示实数
集 , 有理数集 , 自然数集和整数集 .
集的表示方法
第一种方法 : 列举法 , 即列出给定集的全部元素 . 例如
}.,12,,5,3,1{
}.,,{
LL ?=
=
nB
cbaA
第二种方法 : 描述法 . 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构成时 , 用下面
的方式表示集 A:
6
}.:{ PxxA 具有性质=
例如 , 设 f 是定义在
1
R 上的实值函数 , 则 f 的零点所成的集 A 可表示成
}.0)(:{ == xfxA
集的相等与包含 设 A 和 B 是两个集 . 如果 A 和 B 具有完全相同的元素 , 则称 A 与
B 相等 , 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素 , 则称 A 是 B 的子集 , 记为 BA ? (读作
A 包含与 B), 或 AB ? (读作 B 包含 A). 若 BA ? 并且 ,BA ≠ 则称 A 为 B 的真子集 . 按
照这个定义 , 空集 ?是任何集的子集 . 由定义知道 当且仅当BA = BA ? 并且 .AB ?
集的运算
并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集 . 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B
的 并集 , 简称为并 (图 1 1), 记为 .BA∪ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∪ 或者
由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的 交集 , 简称为交 (图 1 2), 记为
.BA∩ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∩ 并且
若 ,?=∩ BA 则称 A 与 B 不相交 .此时称 BA∪ 为 A 与 B 的不相交并
图 1 1 图 1 2
设 T 是一非空集 (T 可以是有限集或无限集 ),
Ttt
A
∈
}{ 是一族集 . 这一族集的并集和
交集分别定义为
U
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= },,:{ 使得存在某个
I
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= }.,:{ 个对每
当 T=N 为自然数集时 ,
U
N∈n
n
A 和
I
N∈n
n
A 分别记成
U
∞
=1n
n
A 和 ,
1
I
∞
=n
n
A 分别称为 }{
n
A 的可数
并和可数交 .
BA∪
B
B
BA∩
AA
7
并与交的运算性质
(1) ., AAAAAA =∩=∪ (幂等性 )
(2) ., ?=?∩=?∪ AAA
(3) ., ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (交换律 )
(4) ),()( CBACBA ∪∪=∪∪
).()( CBACBA ∩∩=∩∩ (结合律 )
(5) ),.()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩
).()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (分配率 ).
分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形 :
()
UU
TtTt
tt
BABA
∈∈
∩=∩ ,)(
II
UU
TtTt
tt
BABA
∈∈
= ).()(
差运算与余运算 设 A 和 B 是两个集 . 由 A 中的不属于 B 的那些元素所构成的集称
为 A 与 B 的 差集 (图 1 3), 记为 BA? 或 A\B. 即
}.:{ BxAxxBA ?∈=? 并且
通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集 , X 称为全空间 . 我们称全空间 X
与子集 A 的差集 AX ? 为 A 的 余集 (图 1 4), 记为
C
A . 设 A 和 B 是两个集 . 称集
)()( ABBA ?∪? 为 A 与 B 的 对称差集 , 记为 .BA?
图 1 3 图 1 4
容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 :
.)8(
.,)7(
.,)6(
C
CC
CC
BABA
XX
AAXAA
∩=?
=??=
?=∩=∪
A
B
BA?
A
C
A
X
8
关于余运算还成立下面重要的运算法则 .
定理 1 (De Morgan 公式 )设
Ttt
A
∈
)( 是一族集 . 则
IU
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)().i( (并的余集等于余集的交 ),
)ii(
UI
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)( (交的余集等于余集的并 ).
证明 ).i( 设 ,)(
C
Tt
t
Ax
U
∈
∈ 则 .
U
Tt
t
Ax
∈
? 故对任意 ,Tt ∈ .
t
Ax? 即对任意
,Tt ∈ .
c
t
Ax∈ 因此 .
I
Tt
c
t
Ax
∈
∈ 这表明 .)(
IU
Tt
c
t
C
Tt
t
AA
∈∈
? 上述推理可以反过来 , 即从
I
Tt
c
t
Ax
∈
∈ 可以推出 .)(
C
Tt
t
Ax
U
∈
∈ 这表明 .)(
C
Tt
t
Tt
c
t
AA
UI
∈∈
? 因此 )i( 成立 . 类似地可
以证明 ).ii(
定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法 .
例 1 设 }{
n
f 是定义在集 X 上的一列实值函数 . 令 .}.0)(lim:{ ==
∞→
xfxA
n
n
.}
1
)(:{
11
IUI
∞
=
∞
=
∞
=
<=
km mn
n
k
xfxA (1)
证明 由于 0)(lim =
∞→
xf
n
n
当且仅当对任意 ,1≥k 存在 ,1≥m 使得对任意 mn ≥ 成
立 .
1
)(
k
xf
n
< 因此我们有
.}
1
)(:{
}
1
)(:{,1
}
1
)(:{,1,1
}
1
)(:{,,1,1
11
1
IUI
UI
I
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
<∈?
<∈≥??
<∈≥?≥??
<∈≥?≥?≥??∈
km mn
n
mmn
n
mn
n
n
k
xfxx
k
xfxxk
k
xfxxmk
k
xfxxmnmkAx
使得
使得
因此 (1)成立 .
在例 1 中 , 集 A 的表达式 (1) 看起来较复杂 , 但它是通过比较简单的集
}
1
)(:{
k
xfx
n
< 的运算得到的 , 以后会看到集的这种表示方法是很有用的 .
乘积集 设
n
AA ,,
1
L 为 n 个集 . 称集
},,1,:),,{(
1
niAxxx
iin
LL =∈
9
为
n
AA ,,
1
L 的 乘积集 (简称为乘积 ), 记为
n
AA ××L
1
或者
∏
=
n
i
i
A
1
.
例如 , 二维欧氏空间
2
R 可以看作是
1
R 与
1
R 的乘积 , 即
112
RRR ×= (见图 1 5).
又例如 , ],[],[ dcbaE ×= 就是平面上的长方形 .
图 1 5
集列的极限 设 }{
n
A 是一列集 . 称集
xx :{ 属于无穷多个 }1, ≥nA
n
为集列 }{
n
A 的 上极限 , 记为 .lim
n
n
A
∞→
称集
xx :{ 至多不属于有限多个 }1, ≥nA
n
为集列 }{
n
A 的 下极限 ,记为 .lim
n
n
A
∞→
显然 ?
∞→
n
n
Alim .lim
n
n
A
∞→
若 =
∞→
n
n
Alim ,lim
n
n
A
∞→
则称集
列 }{
n
A 存在极限 , 并称 =A =
∞→
n
n
Alim
n
n
A
∞→
lim 为集列 }{
n
A 的 极限 , 记为 .lim
n
n
A
∞→
定理 2 设 }{
n
A 是一列集 . 则
UIIU
∞
=
∞
=
∞→
∞
=
∞
=
∞→
==
11
.lim,lim
nnk
kn
n
nnk
kn
n
AAAA
证明 我们有
.},1:{
},,1:{
}1,:{lim
1
IUU
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
=∈≥=
∈≥≥=
≥=
nnk
k
nk
k
k
nn
n
AAxnx
Axnknx
nAxxA
对任意
使得存在对任意
属于无穷多个
类似地可证明第二式 .
设 }{
n
A 是一列集 . 若对每个 ,1≥n 均有
1+
?
nn
AA (相应地
nn
AA ?
+1
), 则称 }{
n
A
是单调增加的 , 记为
↑n
A (相应地 , 单调减少的 , 记为
↓
n
A ). 单调增加和单调减少的集列
O
1
R
1
x
2
x ),(
21
xx
1
R
2
R
10
统称为单调集列 .
定理 3 单调集列必存在极限 . 并且
.lim,).ii(
.lim,).i(
1
1
I
U
∞
=
∞→
∞
=
∞→
=
↓
=
↑
n
nn
n
n
n
nn
n
n
AAA
AAA
则若
则若
证明 ).i( 因为
↑n
A , 故对任意 ,1≥n 有 ,
n
nk
k
AA =
∞
=
I
.
1
UU
∞
=
∞
=
=
k
k
nk
k
AA 因此由定
理 2 得到
.lim
11
UUI
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
==
n
n
nnk
kn
n
AAA
.lim
1111
UIUIU
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
===
k
k
nk
k
nnk
kn
n
AAAA
所以 .limlim
1
U
∞
=
∞→
∞→
==
n
nn
n
n
n
AAA 这表明
n
n
A
∞→
lim 存在 , 并且 .lim
1
U
∞
=
∞→
=
n
nn
n
AA 类似可证明结
论 ).ii(
例 2 设 ].
1
1,0(],
1
1,0(
n
B
n
A
nn
+=?= 则 ,,
↓↑ nn
BA 并且
),1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
U
n
nn
n
AA ].1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
I
n
nn
n
BB
集的特征函数 设 A 是 X 的子集 . 令
?
?
?
?
∈
=
.0
1
)(
Ax
Ax
xI
A
若
若
则 )(xI
A
为定义在 X 上的函数 , 称之为 A 的 特征函数 .
小 结 本节介绍了集的基本概念 , 集的运算和运算性质 . 这些知识是本课程的基础 . 证
明两个集的相等是经常会遇到的 , 应掌握其证明方法 . De Morgan 公式很重要 , 以后会经
常用到 . 例 1 中把一个集分解为一些较简单的集的运算 , 是应该掌 握的有用的技巧 . 集列
的极限是一种与数列极限不同的极限 , 应正确理解其概念 .
习 题 习题一 , 第 1 题 第 9 题
.
