42 第二章 测度与测度的构造 我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积 . 为在欧氏空间空间 n R 上推 广 Riemann 积分的理论 , 我们必须把象长度 , 面积和体积等概念推广到 n R 中的更一般的 集上去 . 本章将要定义的 n R 上的 Lebesgue 测度就是长度 , 面积和体积等概念推广 . 由于 现代数学的许多分支需要 , 我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论 . 本章 2.1 和 2.2 将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法 . n R 上的 Lebesgue 测 度虽然是一般测度的一个特例 , 但它在测度论中具有特别重要的地位 . 在 2.3 中将讨论 n R 上的 Lebesgue 测度构造方法及其性质 . 2.1 测度与测度的性质 教学目的 给出一般空间上测度的定义 ,并由测度的定义推出测度的基 本性质 .Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要的 特例 , 将在 2.3 中介绍 . 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度 .应通过一些例子 , 是学生理解测度的意义 . 广义实数集 在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集.测度论中讨论的函数和测度 将允许取正 负无穷为值.为此引进 ∞+ ”和 ∞? ”两个符号(分别读作正无穷和负无 穷),称之为 广义实数 .规定它们与实数 a之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: .+∞<<∞? a (2) 加法 : .)()()()( ±∞=±∞+±∞=+±∞=±∞+ aa (3) 乘法 : ? ? ? ? ? <∞ = >∞± = ? ±∞=±∞ ? .0 00 0 )()( a a a aa m (4) 除法 : .0= ∞± a (5) 绝对值 : .+∞=∞± 象 )()( ±∞?±∞ 和 ∞± ∞± 等未定义的运算是无意义的 , 在运算中要注意避免这种情况出现 . 43 例如若 cba ,, 是广义实数 , 则只有当 ±∞≠b 时候 , 才能从 cba =+ 推出 bca ?= . 否 则会出现 )()( ±∞?±∞ 的情况 , 这是没有意义的 . 记 ? R = }.,{ 1 ?∞+∞∪R 称 ? R 为 广义实数集 , 它的元素称为广义实数 . 取值于 ? R 的序列和函数分别称为 广义实数列 和 广义实值函数 . 类似于实数集的情形 , 可以定义广 义实数集的子集的上确界 , 下确界和广义实数列的极限 . 不同的是这里的上下确界和极 限可以取 ∞± 为值 . 另外我们也允许无穷级数的和为 ∞± (详见附录 II). 测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集 . 本节所讨论的集都是 X 的子集 . 我们 称定义在集类上的函数为 集函数 . 定义 1 设 R 为一个环 , μ :R ],0[ ∞+→ 是一个非负值集函数 . 如果 μ 满足如下 条件 : (i) .0)( =?μ )ii( 可数可加性 : 对 A 中的任意一列互不相交的集 },{ n A 当 ∈ ∞ = U 1n n A R 时 , 成立 .)()( 11 ∑ ∞ = ∞ = = n n n n AA μμ U 则 μ 称为 R 上的一个 测度 . 注 1 环上的测度也具有有限可加性 .事实上 , 设 ∈ n AA ,, 1 L R , 则 .)( )()()( )()( 1 1 1 1 ∑ = = = +?+++= ∪?∪∪∪= n i i n n n i i A AA AAA μ μμμ μμ LL LL U 这表明 μ 具有 有限可加性 . 但在一般情况下 , 有限可加性不能推出可数可加性 . 思考题 证明 : 若 μ 是环 R 上的广义实值函数 , μ 不恒为 ∞+ , 并且满足可数可加 性 , 则 μ 是 R 上的测度 . 例 1 设 R = }.,{ ?X 令 .1)(,0)( ==? Xμμ 则 μ 是 R 上的测度 . 例 2 设 X 是一非空集 , a是 X 中的一个固定元 . 对任意 ∈A ),(XP 令 ? ? ? ? ∈ = .0 ,1 )( Aa Aa A 若 若 μ 则容易验证 μ 是 )(XP 上的测度 . 44 例 3 设 F 是非空集 X 上的 ?σ 代数 . 对任意 ,F∈A 若 ,?≠A 则令 +∞=)(Aμ . 另外令 ,0)( =?μ 则 μ 是 F 上的测度 . 例 4 设 },,{ 21 LaaX = 是可数集 , )(XP 是 X 的全体子集所成的 代数?σ . 又设 }1,{ ≥pp n 是一列非负实数 . 在 )(XP 上定义 ,0)( =?μ ,)( ∑ ∈ = Aa i i pAμ ∈A )(XP . 容易验证 μ 是 )(XP 上的测度 . 特别地 , 当 )1(1 ≥= np n 时 , ? ? ? ∞+ = . , .)( 是无限集当 是有限集当中元素的个数 A AA Aμ 此时称 μ 为 X 上的 计数测度 . 特别地 , 若取 N=X 为自然数集 , 则得到自然数集上的计 数测度 . 例 5 设 F 是非空集 X 上的 ?σ 代数 , ∈E .F 令 }.:{ FF ∈∩= AAE E 则 E F 是 E 上的 ?σ 代数 (见第一章习题第 22 题 ). 若 μ 是 F 上的测度 . 则 μ (限制在 E F 上 )也是 E F 上的测度 . 在 2.3 将给出测度最重要的例子, 即 n R 上的 Lebesgue 测度 . 定理 2 设 μ 是环 R 上的测度 . 则 μ 具有如下性质 : (1) 单调性 . 若 ∈BA, R 且 ,BA? 则 ).()( BA μμ ≤ (2) 可减性 . 若 ∈BA,,R BA? 并且 ,)( +∞<Aμ 则 ).()()( ABAB μμμ ?=? (3) 次可数可加性 . 若 ?}{ n A R 并且 ∈ ∞ = U 1n n A ,R 则 ≤ ∞ = )( 1 U n n Aμ .)( 1 ∑ ∞ =n n Aμ (4) 下连续性 . 若 ?}{ n A ,R ↑ n A 并且 ∈ ∞ = U 1n n A ,R 则 )( 1 U ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ (5) 上连续性 . 若 ?}{ n A R , ↓ n A 并且 ∈ ∞ = I 1n n A ,R ,)( 1 +∞<Aμ 则 )( 1 I ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ 证明 (1).由于 ).(, ABABBA ?∪=? 故 由于 ,)( ?=?∩ ABA 由测度的有限 45 可加性得到 ).()()( ABAB ?+= μμμ 注意到 ,0)( ≥? ABμ 因此 ).()( BA μμ ≤ (2).在 (1)中已证 ).()()( ABAB ?+= μμμ 由此式并注意到 +∞<≤ )(0 Aμ , 即得 ).()()( ABAB μμμ ?=? (3). 令 .2,, 1 1 11 ≥?== ? = nAABAB n i inn U 则 ?}{ n B R , 并且 ),1( ≥? nAB nn ).( jiBB ji ≠?=∩ 易知成立 U ∞ =1n n A = U ∞ =1n n B (参见第一章习题第 18 题 ). 利用测度的可数可加性和单调性得到 .)()()()( 1111 ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ≤== n n n n n n n n ABBA μμμμ UU (4). 令 .2,, 111 ≥?== ? nAABAB nnn 由于 , ↑ n A 容易知道有 ),( jiBB ji ≠?=∩ 并且 ., 111 UUU ∞ = ∞ = ∞ = == i i i i i in BABA . 由测度的可数可加性 , 我们 ).(lim)(lim )(lim)()( 1 111 n n n i i n n n i i n n n n AB BBA μμ μμμ ∞→ = ∞→ ∞ == ∞→ ∞ = == == ∑∑ U U (5) 令 并且则 ,.1, 1 ↑ ≥?= nnn BnAAB .)( 1 1 1 1 1 IUU ∞ = ∞ = ∞ = ?=?= n n n n n n AAAAB 注意到 ,)()()( 1 1 +∞<≤≤ ∞ = AAA n n n μμμ U 由测度的可减性和下连续性 , 得到 ).(lim)( ))()((lim )(lim)()()( 1 1 11 1 n n n n n n n n n n AA AA BBAA μμ μμ μμμμ ∞→ ∞→ ∞→ ∞ = ∞ = ?= ?= ==? UI 46 由上式得到 )( 1 I ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ 定理证毕 . 注 2 在测度的性质 (5)中 , 若去掉条件 +∞<)( 1 Aμ , 则不能保证 (5)中的结论成立 . 例如 , 设 μ 是自然数集 N 上的计数测度 . 令 .1},,1,{ ≥+= nnnA n L 则 ↓ n A 并且 . 1 ?= ∞ = I n n A 于是 .0)( 1 = ∞ = I n n Aμ 另一方面 , 由于 ),1()( ≥+∞= nA n μ 故 .)(lim +∞= ∞→ n n Aμ 因此 )( 1 I ∞ =n n Aμ )(lim n n Aμ ∞→ ≠ . 定义 3 设 μ 是环 R 上的测度 . ).i( 若对每个 ∈A R 都有 ,)( +∞<Aμ 则称 μ 是 有限的 . ).ii( 若对每个 ∈A R , 存在 R 中一列集 },{ n A 使得 +∞<)( n Aμ )1( ≥n 并且 , 1 U ∞ = = n n AA 则称 μ 是 ?σ 有限的 . 容易知道 , 若环 R 上的测度 μ 是 ?σ 有限的 , 则上述定义中的 }{ n A 可以选取为互 不相交的 . 特别地 , 若 μ 是 ?σ 代数 F 上的测度 , 则 μ 是 ?σ 有限的当且仅当存在 F 中一列互不相交的集 },{ n A 使得 +∞<)( n Aμ )1( ≥n 并且 . 1 U ∞ = = n n AX 例如 , 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的 .例 4 中的测度是 ?σ 有限的 . 定义 4 (1) 设 X 为一非空集 , F 为 X 上的 ?σ 代数 . 称二元组合 ),( FX 为 可测 空间 . F 中的集称为 ?F 可测集 (或简称为可测集 ). (2) 设 μ 为可测空间 ),( FX 上的测度 . 称三元组合 ),,( μFX 为 测度空间 . 若测度 μ 为有限的或 ?σ 有限的 , 则分别称测度空间 ),,( μFX 为有限的和 ?σ 有限的 . 小 结 为了适应现代数学的许多分支需要 , 本节在一般空间上介绍测度 .本节讨论的 测度的性质 , 以后会经常用到 , 应熟练掌握 . 测度最重要的例子 ,将在 2.3 中介绍 . 习 题 习题二 , 第 1 题 第 8 题 .