104 4.2 积分的性质 教学目的 本节介绍积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的 不等式性质和积分的绝对连续性等. 这些性质都没有涉及到积分号下取极限 的问题, 积分取极限的性质讲在下一节介绍. 本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质 外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分的基 本性质外, 还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节所有的讨论都是给定的测度空间),,( μFX进行的. 定理1 ).i(若f的积分存在, c是实数, 则cf的积分存在, 并且 .. ∫∫ = μμ fdccfd (1) ).ii(若gf ,的积分存在, 并且 ∫∫ + μμ gdfd有意义, 则gf +的积分也存在并且 ∫∫∫ +=+ .)( μμμ gdfddgf (2) 特别地, 若f , g可积, 则cf和gf +也可积, 并且(1)和(2)式成立. 证明 ).i(当0≥c时, ,)( ++ = cfcf .)( ?? = cfcf 由此知道cf的积分存在. 由定理 4.1.5, 我们有 ∫∫∫∫∫∫ =?=?= ?+?+ .)()( μμμμμμ fdcdcfdcfdcfdcfcfd 类似可证当0<c时(1)成立. 因此)i(得证. ).ii(由于 =+?+ ?+ )()( gfgf . ?+?+ ?+?=+ ggffgf 因此 .)()( ?++??+ +++=+++ gfgfgfgf 上式两边积分并利用4.1定理5得到 .)()( _ μμμμμμ dgfdgdfdgdfdgf ∫∫∫∫∫∫ +++=+++ ++??+ (3) 由于,)( +++ +≤+ gfgf ,)( ??? +≤+ gfgf仍由4.1定理5我们有 ,)( ∫∫∫ +++ +≤+ μμμ dgdfdgf (4) .)( ∫∫∫ ??? +≤+ μμμ dgdfdgf (5) 105 由于 ∫∫ + μμ gdfd有意义, 因此 ∫∫ ++ + μμ dgdf和 ∫∫ ?? + μμ dgdf中至少有一项是 有限的.不妨设.+∞<+ ∫∫ ?? μμ dgdf 则由(5)得到.)( +∞<+ ∫ ? μdgf 从(3)式两边 减去μ ∫ ? + dgf )( ∫∫ ?? ++ μμ dgdf得到 ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ += ?+?= +?+=+ ?+?+ ?+ . )()()( μμ μμμμ μμμ gdfd dgdgdfdf dgfdgfdgf 这表明gf +的积分存在并且(2)式成立. 定理2 设f在可测集E上的积分存在, 则 ).i( f在E的任意可测子集上的积分也存在. ).ii(设BA,是E的可测子集并且.?=∩BA 则成立 . ∫∫∫ += ∪ BABA fdfdfd μμμ (6) 特别地, 在)i(和)ii(中将积分存在换成可积, 结论仍成立. 证明 由积分的定义容易知道)i(成立. 下面证明).ii( 由)i(知道(6)式中的积分都存 在. 并且(6)式右边的和式有意义. 由定理1得到 . )( μμμμ μμμ ∫∫∫∫ ∫∫∫ +=+= +== ∪ ∪ BA BA BABA BA fdfddfIdfI dfIfIdfIfd 定理3 设gf ,的积分存在, 则 ).i(若a.e.,gf ≤则 ∫∫ ≤ .μμ gdfd ).ii(若a.e.,gf =则 ∫∫ = .μμ gdfd 证明 由于a.e.,gf ≤ 易知有a.e. ++ ≤ gf , a.e. =? ≥ gf由4.1定理5 ),iii( 我们 有 ∫∫ ++ ≤ ,μμ dgdf ∫∫ ?? ≥ ..μμ dgdf于是 ∫∫∫∫∫∫ =?≤?= ?+?+ .μμμμμμ gddgdgdfdffd 因此)i(得证.由)i(立即得到).ii( 推论4 ).i(若a.e.0=f , 则对任意可测集A , 有.0= ∫ A fdμ ).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数f , 有.0= ∫ A fdμ 证明 ).i(由于a.e.0=f , 因此对任意可测集A , a.e..0= A fI 由定理3 )ii(得到 106 .0== ∫∫ μμ dfIfd A A ).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数,f a.e..0= A fI 同上面一样得.0= ∫ A fdμ 由定理3知道, 在一个零测度集上改变一个函数的函数值, 不改变该函数的可积性 和积分值. 因此, 在讨论可测函数积分的性质的时候, 可测函数所要满足的条件通常只需 要几乎处处成立就可以了. 定理5 设f是可测函数. 则 ).i(若f的积分存在, 则.μμ dffd ∫∫ ≤ ).ii( f可积当且仅当f可积. 证明 ).i(由于,fff ≤≤? 由定理3, ∫∫∫ ≤≤? .μμμ dffddf这表明 ∫∫ ≤ .μμ dffd ).ii(若f可积, 则 + f和 ? f都可积. 于是 ?+ += fff也可积. 反过来, 设f可积. 由于,, ffff ≤≤ ?+ 故 + f和 ? f都可积. 从而 ?+ ?= fff也可积. 将定理5应用到Lebesgue积分上得到, f Lebesgue可积当且仅当f Lebesgue可 积. 但我们知道f在区间],[ ba上Riemann可积不能蕴涵f Riemann可积. 因此这是两 种积分的又一不同之处. 在继续讨论积分的性质之前, 先证明一个有用的不等式. 这个不等式有时称为 Chebyshev不等式. 引理6 设f是一个可测函数. 则对任意,0>λ 成立 . 1 }))(:({ ∫ ≤≥ μ λ λμ dfxfx 证明 由于在}{ λ≥f上, .1)( 1 ≥xf λ 由定理3, 我们有 ∫∫∫ ≤≤=≥ ≥ ≥ . 11 })({ }{ }{ μ λ μ λ μλμ λ λ dfdfdIf f f 定理7 若f是一个非负可测函数并且 ∫ = ,0μfd 则a.e..0=f 证明 令.1}, 1 {},0{ ≥>=>= n n fAfA n 则}{ n A是单调增加的并且 . 1 U ∞ = = n n AA 由引理6, ∫ =≤≤ .0)(0 μμ fdnA n 因此.1,0)( ≥= nA n μ 由测度的下连 续性得.0)(lim)( == ∞→ n n AA μμ这表明a.e..0=f 定理8 若f可积, 则f几乎处处有限. 证明 设f可积. 由定理5知道f可积.令 107 },{ +∞== fA .1},{ ≥≥= nnfA n 则}{ n A是单调减少的并且. 1 I ∞ = = n n AA 由引理6得到 ∫ ≥≤≤ .1, 1 )(0 ndf n A n μμ (7) 注意到,)( 1 ∫ +∞<≤ μμ dfA 由测度的上连续性和(7)得.0)(lim)( == ∞→ n n AAμ这表明 a.e..,+∞<f 定理9 (积分的绝对连续性)若f可积, 则对任意,0>ε 存在相应的,0>δ 使得当 δμ <)(A时, 成立.εμ < ∫ A df 证明 设f可积, 则f可积.设}{ n g是非负简单函数列使得.fg n ↑ 由积分的定义, .lim ∫∫ +∞<= ∞→ μμ dfdg n n 于是对任意,0>ε 存在自然数 0 n使得. 2 )(0 0∫ <?≤ ε μdgf n 令),(sup 0 xgM n Xx∈ = 则 .0 +∞<< M 再令, 2M ε δ = 则对任意可测集,A 当δμ <)(A时, .)( 2 )( 00 εμ ε μμμ <+<+?= ∫∫∫ AMdgdgfdf A n A n A 下面简要介绍一下关于复值可测函数的积分.设),,( μFX为一测度空间, )()()( 21 xfixfxf +=为定义在X上的复值函数. 若f的实部 1 f和虚部 2 f都是可测的 实值函数, 则称f是可测的. 若f的实部 1 f和虚部 2 f都是可积的, 则称f是可积的, 并 定义f的积分为 ∫∫∫ += . 21 μμμ dfidffd 本节关于实值可测函数积分的性质, 除去那些对复值可测函数的积分没有意义的以 外(例如定理3的)i( ),对复值可测函数的积分也是成立的.下节将的控制收敛定理对复值 可测函数的积分也是成立的.其证明只要分别考虑f的实部和虚部就可以了.详细过程从 略. 小 结 本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质.一般测度空间上的积分,除 了具有一些经典积分所具有的性质, 如线性性质和对被积函数的单调性等性质外,还具有 一些新的特点, 如积分的绝对连续性,Chebyshev不等式等.另外, f可积当且仅当f可积 这个性质是与经典积分有重要差别的. 习 题 习题四, 第5题第15题.