47 2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的 σ -代数上 去 . 这是定义测度常用的方法 . 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度 . 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂 , 论证较繁难 . 应注意讲 清主要思路 , 定理的证明应注意交代主要思想 . 在 2.1 中我们给出了几个简单的测度的例子 . 但一般说来 , 要在一个比较复杂的集 类上定义一个满足某些特定条件的测度 , 往往并非易事 . 设 R 是一个环 , )(Rσ 是由 R 生成的 σ -代数 . 一般情况下 , )(Rσ 要比 R 大得多 . 显然 , 在 R 上定义一个测度要比直 接在 )(Rσ 定义容易 . 因此 , 如果我们要在 )(Rσ 定义一个满足某些特定条件的测度 , 我 们可以先在 R 上定义这个测度 , 然后再设法延拓到 )(Rσ 上去 . 本节将证明 , 若 μ 是定 义在环 R 上的测度 , 则 μ 总可以延拓到一个包含 )(Rσ 的 σ -代数上去 . 大体上按照如 下步骤进行 : 设 μ 是定义在环 R 上的测度 , 用覆盖的方式将 μ 延拓为 )(XP 上的集函数 , 得到一个外测度 . 外测度一般不是可数可加的 , 因而一般不是一个测度 . 将这个外测度限 制在一个适当的较小的集类上 , 外测度在这个集类上是可数可加的 , 因而得到一个测度 . 这个集类一般比 )(Rσ 要大 , 从而扩大了测度的定义域 . 这是一种常用的方法 . 许多重 要的测度可以用这种方法构造出来 . 本节仍设 X 是一固定的非空集 , )(XP 是 X 的全体子集所成的集类 . 外测度 设 C 是一个非空集类 , .XA? 若 }{ n A 是 C 中的有限或无穷序列 , 使得 U k n n AA 1= ? (或 U ∞ = ? 1n n AA ), 则称 }{ n A 是 A的一个 C 覆盖 . 由于有限并总可以写成可数 并 (只要令 ),( knAA kn >= 则 UU ∞ == = 11 n n k n n AA ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 . 设 μ 是环 R 上的测度 . 对每个 ,XA? 令 }.}{:)(inf{)( 1 覆盖的是 RAAAA n n n∑ ∞ = ? = μμ 若 A无 R 覆盖 , 则令 .)( +∞= ? Aμ 这样定义的 ? μ 是定义在 )(XP 上的非负值集函数 . 称 ? μ 为由 μ 导出的 外测度 . 48 定理 1 设 μ 是环 R 上的测度 . ? μ 为由 μ 导出的外测度 . 则 ? μ 满足 : ).i( .0)( =? ? μ ).ii( 单调性 : 若 ≤?? )(, ABA μ则 ).(B ? μ ).iii( 次可数可加性 : 对 X 中的任意一列集 }{ n A 成立 ).()( 11 n nn n AA ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ μμ U (1) 证明 由于 }{? 是空集 ?的一个 R 覆盖 , 故 .0)()( =?≤? ? μμ 因此 .0)( =? ? μ 设 ,BA? 则 B 的每个 R 覆盖也是 A的 R 覆盖 . 这蕴涵 ).()( BA ?? ≤ μμ 下面证明 ? μ 具有次可数可加性 . 设 }{ n A 是 X 的一列子集 . 不妨设 1,)( ≥+∞< ? nA n μ (否则 (1)显然 成立 ). 现在任意给定 0>ε . 由 ? μ 的定义 , 对每个 ,1≥n 存在 n A 的一个 R 覆盖 ,}{ 1, ≥kkn C 使得 .)()( 1 , n n k kn AC 2 +≤ ∑ ∞ = ? ε μμ (2) 由于 }1,,{ , ≥knC kn 是 U ∞ =1n n A 的一个 R 覆盖 , 由 (2)得到 .)())(()()( 111 , 11 εμ ε μμμ += 2 +≤≤ ∑∑∑∑ ∞ = ? ∞ = ? ∞ = ∞ = ∞ = ? n n n n nn kn kn n AACA U 由于 0>ε 是任意的 , 因此得到 .)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ n n n n AA μμ U 即 ? μ 具有次可数可加性 . 可测集 由 μ 导出的外测度 ? μ 定义在 X 的全体子集所成的集类上 . 但 ? μ 的定义域 太大 , 一般不满足可数可加性 . 因而一般不是测度 . 下面将证明 , 可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓 可测集 这些集构成一个 代数?σ . 将 ? μ 限制在这个 代数?σ 上 , ? μ 满足可数可加性 , 因而成为一个测度 . 而且这个 代数?σ 一般要比 μ 的定义域 R 要大 , 于是就扩大了原来测度的定义域 . 定义 2 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . 又设 .XE ? 若对任意 XA? , 均有 ).()()( c EAEAA ∩+∩= ??? μμμ (3) ( 图 2 1)则称 E 是 ? μ -可测集 . ? μ -可测集的全体所成的集类记为 . ? R 等式 (3)称为 Caratheodory条件 (简称为 卡氏条件 ). 由于外测度 ? μ 具有次可数可加性 , 因此对任意 XA? 成立 ).()())()(()( cc EAEAEAEAA ∩+∩≤∩∪∩= ???? μμμμ 49 图 2 1 所以 (3)式等价于 ).()()( c EAEAA ∩+∩≥ ??? μμμ (4) 因此集 E 是 ? μ -可测的当且仅当对任意 ,XA? (4)式成立 . 又由于当 +∞= ? )(Aμ 时 (4) 总是成立的 , 因此若对任意 ,XA? 当 +∞< ? )(Aμ 时 (4)式成立 , 则 E 是 ? μ -可测的 . 显然 , 空集 ?和全空间 X 是 ? μ -可测集 . 又由 ? μ 的单调性和 (4)可以看出若 ,0)( = ? Eμ 则 E 是 ? μ -可测集 . 思考题 证明 :集 E 是 ? μ -可测集当且仅当对任意 EA? 和 C EB ? 成立 ).()()( BABA ??? +=∪ μμμ 引理 3 设 n EE ,, 1 L 是互不相交的 ? μ -可测集 . 则对任意 XA? , 成立 ).())(( 11 i n i n i i EAEA ∩=∩ ∑ = ? = ? μμ U (5) 证明 用数学归纳法 . 当 1=n 时 (5)显然成立 . 假定 (5)对 kn = 时成立 . 因为 n EE ,, 1 L 是互不相交的 . 所以 ).()( ,)( 1 1 1 1 11 1 1 UU U k i i c k k i i kk k i i EAEEA EAEEA = + + = ++ + = ∩=∩∩ ∩=∩∩ 于是由 1+k E 的 ? μ -可测性和归纳法假设 , 我们有 ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ + + = ? + + = ? + = ? c k k i i k k i i k i i EEA EEAEA 1 1 1 1 1 1 1 1 U UU μ μμ A E C EA∩ EA∩ 50 .)( .)( 1 1 1 1 ∑ + = ? = ? + ? ∩= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+∩= k i i k i ik EA EAEA μ μμ U 因此当 1+= kn 时 (5)式成立 . 因此 (5)对任意 n成立 . 定理 4 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . ? R 是 ? μ -可测集的全体 所成的集类 . 则有 ).i( ? R 是 σ -代数 . ).ii( ? μ 限制在是 ? R 上是一个测度 . 证明 ).i( 先证明 ? R 是一个代数 . 由于空集 ?和全空间 X 是 ? μ -可测集 . 故 ? R 非 空 . 由 ? μ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 可测? ? μ 的 , 则 c E 也是 ? μ -可测的 , 因 此 ? R 对余运算封闭 . 往证 ? R 对有限并的封闭性 . 设 ∈ 21 ,EE ? R . 令 21 EEE ∪= .注 意到 )( 211 EEEE c ∩∪= , 利用 21 EE 和 的可测性 , 对任意 ,XA? 我们有 AEAEA EEAEEAEA EEAEEAEA EAEA c ccc ccc c ()()( )])(())(([)( )()]()([ )()( 11 21211 21211 ??? ??? ??? ?? =∩+∩= ∩∩+∩∩+∩= ∩∩+∩∩+∩≤ ∩+∩ μμμ μμμ μμμ μμ 图 2 2 (参见图 2 2)即 E 满足卡氏条件 (4)式 . 这表明 ∈∪= 21 EEE ? R . 因此 ? R 是一个代数 . 为证 ? R 是一个 σ -代数 , 只需再证明 ? R 对不相交可数并运算封闭即可 (参见第一章习题 A 1 E 2 E ccC EEAEA 21 ∩∩=∩ 1 EA∩ 21 EEA C ∩∩ 51 第 20 题 ). 设 ?}{ n E ? R , 并且 ).( jiEE ji ≠?=∩ 令 . 1 U ∞ = = n n EE 由于 ? R 是代数 , 故 ∈ = U n i i E 1 ? R , .1≥n 利用引理 2.2.3, 对任意 ,XA? 我们有 ).()( )( )()( 1 1 11 c n i i c n i i c n i i n i i EAEA EAEA EAEAA ∩+∩= ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= ? = ? ? = ? = ? = ?? ∑ μμ μμ μμμ U UU (6) (6)式对任意 n 都成立 . 在 (6)中令 ,∞→n 并利用外测度的次可数可加性 , 得到 ).()()()()( 1 cc i i EAEAEAEAA ∩+∩≥∩+∩≥ ??? ∞ = ?? ∑ μμμμμ 上式表明 E 满足卡氏条件 (4)式 因此 ∈= ∞ = U 1n n EE ? R . 这就证明了 ? R 是 σ -代数 . ).ii( 为证 ? μ 是 ? R 上的测度 , 只需证明 ? μ 在 ? R 上是可数可加的 . 设 ?}{ n E ? R , 并且 ).( jiEE ji ≠?=∩ 由外测度的次可数可加性 , 我们有 .)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ i i i i EE μμ U 另一方面 , 在 (5)中令 A=X 得到 ).()()( 111 UU ∞ = ? = ? = ? ≤= ∑ i i n i i n i i EEE μμμ 上式中令 ,∞→n 得到 ).()( 11 U ∞ = ? ∞ = ? ≤ ∑ i i i i EE μμ 因此 ∑ ∞ = ? ∞ = ? = 11 )()( i i i i EE μμ U , 即 ? μ 在 ? R 上是可数可加的 . 所以 ? μ 是 ? R 上的测度 . 注 1 从定理 .4 的证明可以看出 , 定理 4 的结论 )i( 和 )ii( 并不依赖于环 R 上的测度 μ , 只用到了定理 1 中 ? μ 所满足的性质 . 因此 , 我们可以定义任何满足定理 1 中的 )i( , )ii( 和 )iii( 的集函数 ? μ 为外测度 . 然后和定义 2 一样定义 ? μ 可测集 . 则定理 4 的结 论对这样定义的一般的外测度 ? μ 仍成立 . 测度的延拓 由定理 4 知道 ? R 是一个 σ -代数 , ? μ 限制在 ? R 上是一个测度 . 一个 52 自然的问题是 , 在 R 上 ? μ 是否等于 μ ? ? R 有多大 ? 下面的定理回答了这两个问题 . 定理 5 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . ? R 是 可测集? ? μ 的全 体所成的集类 . 则 )i( . ? μ 在 R 上的限制等于 μ , 即当 ∈A R 时 ).()( AA μμ = ? ).ii( ?)(Rσ ? R . 证明 )i( 设 ∈A ,R 由于 }{A 是 A 的一个 R 覆盖 , 故 ).()( AA μμ ≤ ? 另一方面 , 对 A的任意一个 R 覆盖 },{ n A 由于 U ∞ = ∩= 1 ),( n n AAA 我们有 ).()()()( 111 n n n nn n AAAAAA ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ≤∩≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= μμμμ U 对 A的所有 R 覆盖取下确界即得 ).()( AA ? ≤ μμ 因此 ).()( AA μμ = ? ).ii( 先证明 ?R ? R . 设 ∈E .R 又设 ,XA? 并且 .)( +∞< ? Aμ 对任给的 0>ε , 存在 A的一个 R 覆盖 },{ n A 使得 .)()( 1 εμμ +< ? ∞ = ∑ AA n n 于是我们有 .)()()()( 111 εμμμμ +<=∩+∩ ? ∞ = ∞ = ∞ = ∑∑∑ AAEAEA n n c n n n n (7) 由于 }{ EA n ∩ 和 }{ c n EA ∩ 分别是 EA∩ 和 c EA∩ 的 R 覆盖 , 故有 ∑ ∞ = ? ∩≤∩ 1 ),()( n n EAEA μμ ∑ ∞ = ? ∩≤∩ 1 ).()( n c n c EAEA μμ 将以上两式代入 (7)得 .)()()( εμμμ +<∩+∩ ?? AEAEA c 由 0>ε 的任意性得到 ).()()( AEAEA c ?? ≤∩+∩ μμμ 即 E 满足卡氏条件 (4), 故 E 是 ? μ 可测集 . 这表明 ?R ? R . 由定理 4, ? R 是一个 σ -代 数 . 因此 ?)(Rσ ? R . 设 1 R 和 2 R 是两个环并且 ? 1 R 2 R , 1 μ 和 2 μ 分别是 1 R 和 2 R 上的测度 . 如果对任 意 ∈A 1 R , 成立 ),()( 21 AA μμ = 则称 2 μ 是 1 μ 在 2 R 上的延拓 . 53 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . 由定理 4, ? μ 限制在 ? R 上是一 个测度 . 又由定理 5, ?)(Rσ ? R 并且在 R 上 .μμ = ? 因此 ? R 上的测度 ? μ 是 μ 的 延 拓 . 延拓后的测度仍记为 μ . 这表明定义在 R 上的测度总可以延拓为一个包含 )(Rσ 的 σ -代数上去 . 一般情况下 , 延拓测度可能不是唯一的 . 但我们有如下结果 . 定理 6 (延拓测度的唯一性 )设 R 是一个环 , 并且全空间 X 可表为 R 中一列互不相 交的集的并 , 1 μ 和 2 μ 是 )(Rσ 上的两个测度并且在 R 上是 σ 有限的 . 若在 R 上 , 21 μμ = 则在 )(Rσ 上 . 21 μμ = 证明 由于全空间 X 可表为 R 中一列互不相交的集的并 , 并且 μ 在 R 上是 σ 有限 的 , 容易证明存在 R 中一列互不相交的集 }{ n E , 使得 U ∞ = = 1n n EX 并且 .1,)( ≥+∞< nE n μ (见本章习题第 11 题 ). 对每个 ,1≥n 令 )}.()(:)({ 21 nnn EAEAA ∩=∩∈= μμσ RF 若 ∈A ,R 则 ∈∩ n EA ,R 于是由假设条件有 ).()( 21 nn EAEA ∩=∩ μμ 因此 ∈A . n F 这表明 ?R . n F 容易证明 n F 是一个 λ 类 . 由 1.3 推论 12, ?)(Rσ . n F 即对每个 ∈A )(Rσ 成立 .1),()( 21 ≥∩=∩ nEAEA nn μμ 对 n求和 , 即得 ).()( 21 AA μμ = 因此在 )(Rσ 上 . 21 μμ = 结合定理 5 和定理 6 知道 , 若 μ 是环 R 上的 σ 有限测度 , 则 μ 可以唯一地延拓成 为 )(Rσ 上的测度 (事实上 , 可以延拓成为更大的 σ -代数即 ? R 上的测度 ). 测度的延拓过 程如图 2 3. 图 2 3 半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓 . 但有时验证环上的一 个集函数是一个测度也并非易事 . 下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度 . 设 C 是一个半环 , )(CRR = 是由 C 生成的环 , 即 }.1,,,:{ 1 1 ≥== = kAAAA k k i i 并且互不相交属于其中 CR L U R环上的 测度 μ ?→? 扩大 ?→??→? )(XP 上的 外测度 ? μ 缩小 ? R 上的 测度 ? μ )(Rσ 上的 测度 ? μ 缩小 54 (参见 1.3). 称 U k i i AA 1= = 为 A的一个分解式 . 又设 μ 是 C 上的非负值集函数并且满足 0)( =?μ 和有限可加性 . 按下面的方式将 μ 延拓到 R 上 . 对每个 ∈A R , 若 A的一个 分解式为 U k i i AA 1= = , 则令 .)()( 1 ∑ = = k i i AA μμ (8) 由于对给定的 ∈A R , A的分解式 U k i i AA 1= = 不是唯一的. 因此需要证明如下的引理. 引理7 设 μ 是半环 C 上的非负值集函数并且满足 0)( =?μ 和有限可加性 . 则由(8) 式定义的集函数 μ 的值不依赖于集的分解式的选取 . 证明 设 ∈A R , U k i i AA 1= = 和 U m j j BA 1= = 是 A的两个分解式. 令 .,,1,,,1, mjkiBAE jiij LL ==∩= 则 }1,1,{ mjkiE ij ≤≤≤≤ 是 C 中的一组互不相交的集 . 并且对每个 ki ≤≤1 和 ,1 mj ≤≤ 成立 U m j iji EA 1 , = = U k i ijj EB 1 . = = 由于 μ 在 C 上是有限可加的 , 我们有 .)()()()( 111111 ∑∑∑∑∑∑ ====== === m j j m j k i ij k i m j ij k i i BEEA μμμμ 这表明 )(Aμ 的值不依赖于 A的分解式的选取. 在 2.1 中我们定义了环上的测度. 同样, 若 μ 是半环 C 上的非负值集函数满足 0)( =?μ 和可数可加性 , 则我们称 μ 是 C 上的测度 . 定理 8 设 μ 是半环 C 上的测度 . R 是由 C 生成的环 . 则由 (8)式定义的集函数 μ 是 环 R 上的测度 . 证明 由引理 7, 对任意 ∈A ,R )(Aμ 的值不依赖于 A的分解式的选取 . 因此 μ 在 55 R 上的定义是确定的 . 为证 μ 是环 R 上的测度 , 只需证明 μ 在 R 上是可数可加的 . 设 }{ n A 是 R 中的一列互不相交的集 , 使得 ∈= ∞ = U 1n n AA .R 设 A和 )1( ≥nA n 的分解式分 别为 , 1 U k i i EA = = .1, 1 , ≥= = nFA n k j jnn U 则 }1,1:{ , ≥≤≤ nkjF njn 是 C 中的一列互不相交的集 . 我们有 .,,1, 1 , kiCE l lii L U == ∞ = 其中 }1,1,{ , ≥≤≤ lkiC li 是由 }1,1:{ , ≥≤≤ nkjF njn 重新编号得到的 . 由于 μ 在 C 上是可数可加的 , 我们有 .)()()()()( 111 , 11 , 1 ∑∑∑∑∑∑ ∞ = ∞ === ∞ == ==== n n n k j jn k il li k i i AFCEA n μμμμμ 即 μ 在 R 上是可数可加的 . 因此 μ 是环 R 上的测度 . 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在 2.3 和 4.6 我们将看到这个定理的 应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性 . 设 ),,( μFX 为一测度空间 , .XE ? 若存在 ∈A ,F ,0)( =Aμ 使得 ,AE ? 则称 E 为 μ -可略集 . 在有些问题中会涉及到 关于 μ -可略集可测性的讨论 . 如果 μ -可略集不一定是可测集 , 有时会带来一些不便 . 然 而对一般的测度空间而言 , μ -可略集不一定是可测集 . 例 1 设 ],1,0[=X F = }.,{ ?X 令 ,0)()( =?= μμ X 则 μ 是 σ -代数 F 上的测 度 . 令 E ],0[ 2 1 = , 则 E 是 μ -可略集 , 但 ?E F . 定义 9 设 ),,( μFX 为一测度空间 . 若每个 μ -可略集 E 都是可测集 (即 ∈E F ), 则称 F 关于测度 μ 是 完备的 , 或称测度空间 ),,( μFX 是完备的 . 例如 , 例 2 中的 F 关于 μ 不是完备的 . 定理 10 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . ? R 是 ? μ -的全体所成的 集类 . 则 ? R 关于测度 ? μ 是完备的 . 证明 设 E 是 可略集?μ . 则存在 ∈A ? R , 使得 0)( = ? Aμ 并且 .AE ? 由外测 度的单调性得到 .0)( = ? Eμ 显然此时 E 满足卡氏条件 , 故 ∈E ? R . 因此 ? R 关于测度 ? μ 是完备的 . 定理证毕 . 56 以下部分不作为课堂讲授内容 , 必要时仅介绍其主要结果 , 不讲证明 . 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 , ? R 是 ? μ -可测集的全体所成的 σ -代数 . 由定理 5, ? μ 是 ? R 上的测度并且 ?)(Rσ ? μ M . 一般情况下 )(Rσ 关于 ? μ 不一定是完备的 . 而由定理 10, ? R 关于测度 ? μ 总是完备的 . 因此一般情况下集类 ? R 要比 )(Rσ 大 . 下面的定理表明 ? R 中的集与 )(Rσ 中的集至多相差一个零测度集 . 定理 11 设 μ 是环 R 上的测度 . 则对任意 ∈E ? R , 存在 ∈F ),(Rσ 使得 EF ? 并且 ).()( EF ?? = μμ 特别地当 +∞< ? )(Eμ 时 , .0)( =? ? EFμ 证明 若 ,)( +∞= ? Eμ 则取 XF = 即可 . 若 ,)( +∞< ? Eμ 由外测度的定义 , 对任 意 ,0>ε 存在 E 的一个 R 覆盖 },{ i E 使得 .)()( 1 εμμ +< ? ∞ = ∑ EE i i 令 , 1 U ∞ = = i i EA 则 ∈A ),(Rσ EA? .我们有 .)()()( 1 εμμμ +<≤ ? ∞ = ? ∑ EEA i i 这表明对任意 ,0>ε 存在 ∈A ),(Rσ 使得 EA? 并且 .)()( εμμ +< ?? EA 于是对每 个 ,1≥k 存在 ∈ k A ),(Rσ 使得 EA k ? 并且 . 1 )()( k EA k +< ?? μμ 令 . 1 I ∞ = = k k AF 则 ∈F )(Rσ 并且 .EF ? 我们有 . 1 )()()()( k EAFE k +<≤≤ ???? μμμμ 令 +∞→k 即得到 ).()( EF ?? = μμ 由于 ? μ 在 ? R 上是一个测度 , 故当 +∞< ? )(Eμ 时 , .0)()()( =?=? ??? EFEF μμμ 定理 12 设 μ 是环 R 上 σ -有限的测度 . 则对任意 ∈E ? R , 存在 ∈F ),(Rσ 使 得 EF ? 并且 .0)( =? ? EFμ 证明 由于 μ 是环 R 上的 σ - 有限测度 , 故存在 R 中的一列集 }{ n E 使得 +∞<)( n Eμ 并且 . 1 U ∞ = = n n EE 由定理 11, 对每个 ,1≥n 存在 ∈ n F ),(Rσ 使得 nn EF ? 并且 .0)( =? ? nn EFμ 令 . 1 U ∞ = = n n FF 则 ∈F ),(Rσ EF ? . 由于 57 UUU ∞ = ∞ = ∞ = ???=? 111 ),( n nn n n n n EFEFEF 于是 .0)()( 1 =?≤? ∑ ∞ = ?? n nn EFEF μμ 因此 .0)( =? ? EFμ 定理 13 设 μ 是环 R 上 σ -有限的测度 . 则 ∈E ? R 当且仅当满足以下条件之一 : ).i( 存在 ∈F )(Rσ 和 ? μ -零测度集 A使得 EF ? 并且 .AFE ?= . ).ii( 存在 ∈G )(Rσ 和 ? μ -零测度集 A使得 EG ? 并且 .AGE ∪= . 证明 ).i( 设 ∈E ? R . 则由定理 12, 存在 ∈F ),(Rσ 使得 EF ? 并且 .0)( =? ? EFμ 令 ,EFA ?= 则 0)( = ? Aμ 并且 ..AFE ?= 反过来 , 若存在 ∈F )(Rσ 和 ? ? μ 零集 A 使得 .AFE ?= . 由于每个 ? μ -零集都是 ? μ -可测集 , 故 ∈A ? R . 由于 ? R 是一个 σ -代数 , 故 ∈E ? R . ).ii( 设 ∈E ? R . 则 ∈ c E ? R . 由 )i( 的结论 , 存在 ∈F )(Rσ 和 ? μ -零集 A 使得 c EF ? 并且 .AFE c ?= . 令 , c FG = 则 ∈G )(Rσ , EG ? 并且 .AGE ∪= . 反 过来的证明类似于 ).i( 定理证毕 . 定理 14 ),,( μFX 为一测度空间 . 令 }.,:{ 可略集是 ?∈∪= μ μ EAEA FF 对任意 , μ F∈∪= EAB 令 ).()( ~ AB μμ = 则 ).i( μ F 是 σ -代数并且 ?F μ F . ).ii( μ ~ 是 μ F 上的测度并且在 F 上 . ~ μμ = ).iii( 测度空间 ) ~ ,,( μ μ FX 是完备的 . 证明 可直接验证以上诸结论 , 详细过程从略 . 定理 14 中的测度空间 ) ~ ,,( μ μ FX 称为是 ),,( μFX 的完备化空间 . 定理 14 表明 任何测度空间都存在其完备化空间 . 定理 15 设 μ 是环 R 上 ?σ 有限的测度 . 则 )),(,( ? μσ RX 的完备化空间是 ),,( ?? μRX . 证明 首先注意到若 A 是 ? ? μ 零测度集 , 则由定理 11, 存在 ∈F ),(Rσ 使得 AF ? 并且 .0)()( == ?? AF μμ 这表明 A是关于测度空间 )),(,( ? μσ RX 的 ? μ -可略集 . 结合定理 13 知道 , ∈E ? R 当 且仅当 .AGE ∪= , 其中 ∈G )(Rσ , A是关于测度空间 )),(,( ? μσ RX 的 ? μ -可略集 . 由完备化空间的定义知道 ),,( ?? μRX 是 )),(,( ? μσ RX 的完备化空间 . 定理证毕 . 特别地 , 如果 ),,( μFX 是一个 σ -有限的测度空间 . 则可以通过本节测度延拓的方 58 法得到的 ),,( μFX 的完备化空间 , 这个测度空间就是 ),,( ?? μFX , 其中 ? F 是 ? μ -可 测集的全体所成的 σ -代数 . 小 结 从较简单的集类环上的测度 μ 出发 ,扩大其定义域得到外测度 ? μ .再根据卡氏 条件挑出 ? μ -可测集 , ? μ -可测集的全体成为一个 σ -代数 ,外测度限制在 ? μ -可测集上成 为测度 . 这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类 σ -代数上 .这种方法构是造测度常 用的方法 .下一节将用这种方法构造重要的测度 Lebesgue 测度 . 习 题 习题二 , 第 9 题 第 14 题 .