22 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后 ,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识 . 本节给出几种在测度论中常见集类 . 介绍了本节集类的知识后 ,将可 以有效简化测度论若干定理的证明 . 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类 ,如环 ,代数和 σ -代数等 . 本节介绍的集类较多 , 应注意理清各个集类之间的相互关系 . 与 σ -代数相关 的概念及其应用是本节的重点 . 集类 设 X 为一固定的非空集 . 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的 集类 . 集类一 般用花体字母如 A ,B ,C 等表示 . 例如 , 由直线 1 R 上开区间的全体所成的集就是 1 R 上 的一个集类 . 本节若无特别申明 , 均设所考虑的集类都是 X 上的集类 . 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类 . 对集类要求不同的运算封闭性 就得到不同的集类 . 本节介绍常见的几种集类 , 主要包括半环 , 环 , 代数和 σ -代数 . 这几 种集类对运算封闭性的要求一个比一个强 . I 半环与环 定义 1 设 C 是一集类 , 若 C 满足条件 (1) ∈? C (2) 若 .,, CC ∈∩∈ BABA 则 (3) 若 ,, C∈BA 则存在 C 中有限个互不相交的集 ,,, 1 n CC L 使得 . 1 U n i i CBA = =? 则 C 称为 半环 . 例 1 设 }:],{( +∞<≤<?∞= babaC 是直线上左开右闭有界区间的全体 . 则 C 是 一个半环 . 定义 2 设 R 是一个非空集类 . 若 R 对并运算和差运算封闭 , 则称 R 为 环 . 定理 3 设 R 是一个非空集类 . 则 (1) 若 R 对不相交并和差运算封闭 , 则 R 是环 . (2) 若 R 是一个环 . 则 ∈? R 并且 R 对交运算封闭 23 证明 由于 ),( BAABA ?∪=∪ 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到 . 因此若 R 对不相交并和差运算封闭 , 则 R 对并运算也封闭 , 因而 R 是一个环 . 设 R 是 一个环 . 由于 R 非空 , 故存在 ∈A .R 于是 ∈?=? AA .R 由于 )),()(()( ABBABABA ?∪??∪=∩ 即交运算可以通过并运算和差运算得到 , 因此 R 对交运算封闭 . 例 2 设 R },:{ 的有限子集是 XAA= 则 R 是一个环 . 定理 4 设 C 是一个半环 . 令 R }.1,,,:{ 1 1 ≥= = kCCC k k i i 并且互不相交属于 CL U (1) 则 R 是一个环 . 并且 R 是包含 C 的最小的环 . 证明 显然 .RC ? 由定理 3, 为证 R 是一个环 , 只需证明 R 对不相交并和差运算封 闭即可 . 显然 R 对不相交并算封闭 . 往证 R 对差运算封闭 . 设 U n i i AA 1= = 和 U m j j BB 1= = 是 R 中任意两个集 . 则 .)()()( 1111 UUUU n i m j ji n i i n i i BABABA ==== ∩=∩=∩ 由于 C 对交运算 , 利用上述等式知道 R 对交运算封闭 . 我们有 .)( 1111 UIUU n i m j ji m j j n i i BABABA ==== ?=?=? (2) 由于 C 是半环 , 故 ji BA ? 可以表示为 C 中的有限个集的不相交并 , 因此由 R 的定义知 道 ∈? ji BA R . 上面已证 R 对交运算封闭 , 因此 ∈? = I m j ji BA 1 )( R . 由于 ? ? ? ? ? ? =? = niBA m j ji ,,1:)( 1 L I 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭 , 由 (2)知道 ∈?BA R . 即 R 对差运算封闭 . 所以 R 是一个包含 C 的环 . 显然 ,若 R′是任意包含 C 的环 ,则 ?R .R′ 即 R 是包含 C 的最小的环 (图 3 1 是当 C 是例 1 中的半环的情形 ). 24 图 3 1 我们称由 (1)定义的环 R 为由 C 生成的环 , 记为 ).(CR 由定理 4 知道 , )(CR 是包含 C 的最小的环 . 例 3 设 }.1),(],(],(:],({ 1 ≥≠?=∩= = kjibababa jjii i iiU R 由例 1 和定理 4 知道 R 是一个环 . II 代数与 σ -代数 定义 5 设 A 是一个非空集类 . 若 A 对并运算和余运算封闭 , 则称为一个 代数 . 容易知道 , 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环 . 结合环的运 算封闭性知道 , 若 A 是一个代数 , 则 A∈? X, 并且 A 对有限并 有限交 差和余运算 封闭 . 定义 6 若 F 是一个非空集类 , 满足 (1) 若 ., FF ∈∈ c AA 则 (2) 若 .,,2,1, 1 FF ∈=∈ ∞ = U L n nn AnA 则 则称 F 为一个 σ -代数 (或 σ -域 ).. 例 4 设 F = },,{ ?X 则 F 是 X 上的 σ -代数 . 这是 X 上的最小的 σ -代数 . 例 5 设 )(XP 是由 X 的全体子集所成的集类 . 则 )(XP 是一个 σ -代数 . 这是 X 上的 最大的 σ -代数 . 例 6 设 X 是一个无限集 . 令 A .:{ AA= 或者 C A 是有限集 }. 则 A 是 X 上的一个 代数 . 由于 A 对可数并运算不封闭 , 因此 A 不是一个 σ -代数 . 若令 A AA:{= 或者 C A 至多是可数集 } 则 F 是 X 上的一个 σ -代数 . 以上结论的验证留作习题 . 1 A 2 A 1 B 11 BA ? 43421 43421 44443444421 43421 48476 2 B 22 BA ? 87648476 21 AAA ∪= 21 BBB ∪= 25 定理 7 设 F 是一个 σ -代数 . 则 (1) ., FF ∈∈? X (2) F 对有限或可数并 有限或可数交 余和差运算封闭 . 证明 由于 , 11 LLL nnn AAAAA ∪∪∪=∪∪ 即有限并可以表示成可数并 . 由于 F 对可数并运算封闭 , 因此 F 对有限并运算封闭 . 因 此 F 是代数 由代数的性质知道 F∈?,X 并且 F 对有限交运算和差运算封闭 由 De Morgan 公式得到 ,)( 11 C n C n n n AA UI ∞ = ∞ = = 由于 F 对可数并和余运算的封闭性知道 F 对可 数交运算封闭 . 以上定义的四种集类的关系是 , 每个 σ -代数都是代数 , 每个代数都是环 , 每个环都 是半环 . 思考题 : 1.分别举例说明半环不必是环 , 环不必是代数 , 代数不必是 σ -代数 . 2. 举例说明 σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的 σ -代数 在定理 4 中我们已经知道 , 给定一个非空集类 ,C 存在一个 包含 C 的最小的环 )(CR . 关于 σ -代数和代数有类似的结果 . 定理 8 设 C 是一个非空集类 .则必存在唯一的一个 σ -代数 F ,满足 (1) F ?C . (2) 对任何包含 C 的 代数?σ ,F ′ 必有 F ′ ? F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类 )(XP 是一个 代数?σ . 因此至少存在一个包含 C 的 σ -代数 . 令 F = I }.:{ 代数的是包含 ?′′ σCFF 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代数 . 事实上 , 显然 F 非空并且 F ?C . 设 .,2,1, L=∈ nA n F 往证 . 1 F∈ ∞ = U n n A 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代数 . 则 ∈ n A ,F ′ .,2,1 L=n 由于 F ′是 σ -代数 , 因此 . 1 F ′∈ ∞ = U n n A 这表明 . 1 F∈ ∞ = U n n A 因此 F 对可数并运算封闭 . 类似可以证明 F 对余运算封闭 . 因此 F 是一个包含 C 的 代数?σ .由 F 的定义知道 , 对任何包含 C 的 代数?σ ,F ′ 必有 F ′ ? F . 因此存在 性得证 .唯一性是显然的 . 26 由定理 8, 对任意一个非空集类 C , 存在唯一的一个包含 C 的最小的 代数?σ . 这 个 σ -代数称为由 C 生成的 σ -代数 , 记为 ).(Cσ 类似可定义由 C 生成的代数 , 记为 ).(CA 例 7 设 C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类 . 则 )(Cσ AA:{= 或 c A 是有限集或可数集 }. (3) 证明 将 (3)的右边所定义的集类记为 F . 显然 F ?C . 不难验证 F 是一个 σ -代数 (具体验证过程留作习题 ). 另一方面 , 设 F ′是任意一个包含 C 的 σ -代数 . 若 A是至多 可数集 , 则 A可以表示成单点集的有限并或可数并 . 既然 F ′包含 C 并且对有限并和可 数并运算封闭 , 因此 ∈A .F ′ 若 c A 是至多可数集 , 则 ∈ c A .F ′ 由于 F ′对余运算封闭 , 因此 ∈= cc AA )( .F ′ 这表明 F ′ ? F . 综上所证 , F 是包含 C 的最小的 σ -σ -代数 . 因此 =)(Cσ .F 例 8 设 C = },:{ 的有限子集是 XAA 1 C = }.:{ 的有限子集是或 XAAA c 则 )(Cσ = ).( 1 Cσ 证明 由于 1 CC ? ? )( 1 Cσ , 并且 )(Cσ 是包含 C 的最小 σ - 代数 , 因此 )(Cσ ? )( 1 Cσ . 往证相反的包含关系 . 设 A∈ 1 C . 则 A 或者 c A 是有限集 . 若 A 是有限 集 , 则 A∈C ? ).(Cσ 若 c A 是有限集 , 则 c A ∈C ? ).(Cσ 由于 )(Cσ 对余运算封 闭 , 因此 A= ∈ cc A )( ).(Cσ 这表明 1 C ? ).(Cσ 因此 )( 1 Cσ ? ).(Cσ 这就证明了 )(Cσ = ).( 1 Cσ 设 C 是一个非空集类 . 若 F 是一个 σ -代数并且 C ? ,F 则必有 )(Cσ ? .F 这 是因为 )(Cσ 是包含的 C 的最小的 σ -代数 . 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下 : 设我们要证明由集类 C 生成的 代数?σ )(Cσ 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F = P}.:{ 具有性质AA 然后证明 (i).C ? .F (ii).F 是一个 σ -代数 . 于是由 )(Cσ 的最小性知道 )(Cσ ? .F 即 )(Cσ 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中 , 具有性质 P 的集可以通俗的称为 好集 , 上述证明方法可以 称为 好集原理 . 以下部分不作为课堂讲授内容 , 必要时仅介绍其主要结果 , 不讲证明 . π 类与 λ 类 定义 9 设 C 是一个非空集类 . (1) 称 C 为 π 类 , 若 C 对有限交运算封闭 . (2) 称 C 为 λ 类 , 若 C 满足 )i( . ∈X C . )ii( .若 ∈BA, C 并且 ,BA? 则 ∈?BA C (对包含差运算封闭 ). 27 )iii( .若 ?}{ n A F 并且 , ↑n A 则 C∈ ∞ = U 1n n A (对单调增加的集列的并运算封闭 ). 设 C 是一个非空集类 . 类似于 ?σ 代数的情形 , 存在一个包含 C 的最小 λ 类 , 称之 为由 C 生成的 λ 类 , 记为 ).(Cλ 定理 10 集类 F 是 ?σ 代数当且仅当 F 既是 π 类又是 λ 类 . 证明 必要性是显然的 . 往证充分性 . 因为 F 既是 π 类又是 λ 类 , 因此 F 对余运算 和有限交运算封闭 . 于是由 De Morgan 公式推出 F 对有限并运算封闭 . 设 }{ n A 是 F 中 的一列集 . 令 .1, 1 ≥= = nAB n i in U 则 ?}{ n B F 并且 . ↑n B 由于 F 是 λ 类 , 因此 ∈= ∞ = ∞ = UU 11 n n n n BA .F 故 F 对可数并运算封闭 . 所以 F 是一个 ?σ 代数 . 定理 11 设 C 是一个 π 类 . 则 =)(Cλ ).(Cσ 推论 12 若 C 是一个 π 类 , F 是一个 λ 类并且 ?C ,F 则 ?)(Cσ .F 证明 由定理 11 知道 =)(Cσ ).(Cλ 即 )(Cσ 是包含 C 的最小 λ 类 . 而 F 是一个包 含 C 的 λ 类 , 因此 ?)(Cσ .F 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法 . 设 C 是一个 π 类 , 若我们要 证明 )(Cσ 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F = AA:{ 具有性质 P}. 然后证明 (i) C ? .F (ii) F 是一个 λ 类 . 于是由推论 12 知 )(Cσ ? .F 即 )(Cσ 中所 有的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环 , 代数和 σ -代数等是测度论中常见的几种集类 . 它们的运算封 闭性一个比一个强 . σ -代数是最重要的一种集类 . 任何一个非空集类 C 可以生成一个 σ - 代数 , 即 )(Cσ , 它是包含 C 的最小 σ -代数 . 利用 )(Cσ 的性质 , 得到测度论中常用的一 种证明方法即所谓 好集原理 , 常常可以简化一些定理的证明 . 习 题 习题一 , 第 18 题 第 28 题 .