28 § 1.4 n R 中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象 .本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念 .通过本节的学习 ,可以熟悉欧氏空间上的开集 , 闭集和 Borel 集 ,Cantor 集等常见的集 ,为后面的学习打下基础 . 本节要点 由 n R 上的距离给出邻域 ,内点 ,聚点的定义 ,从而给出开集 , 闭集 的定义 .由开集生成一个 ο -代数引入 Borel 集 .Cantor 集是一个重要的集 , 它有 一些很特别的性质 . 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用 . 充分利用几何图形的直观 ,可以帮助理解本节的内容 . 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论 . 但 n R 上的 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分仍是最重要的情形 . 这不仅是因为 n R 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用 , 而且因为 n R 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例 . 本节将讨论 n 维欧式空间中 的一些常见的点集 . 用 n R 表示 n 维 欧式空间 , 即 n R = }.,,:),({ 1 11 R∈= nn xxxxx LL 对任意 ∈= ),( 1 n xxx L , n R 令 (). 2 1 22 1 n xxx L+= 称 x 为 x 的 范数 . 注意若 ∈x , 1 R 则 x 就是 x 的绝对值 . 设 ),( 1 n xxx L= 和 ),( 1 n yyy L= 是 n R 中的任意两点 . 定义这两点之间的 距离 为 .),( yxyxd ?= 即 .))((),( 2 1 1 2 ∑ = ?= n i ii yxyxd 设 }{ k x 是 n R 中的一个点列 , ∈x . n R 若 ,0),(lim = ∞→ xxd k k 则称 }{ k x 收敛于 ,x 记为 ,lim xx k k = ∞→ 或 ).(, ∞→→ kxx k 邻域 , 内点与开集 定义 1 设 ∈ 0 x , n R . n A R? (1).设 .0>ε 称 n R 的子集 =),( 0 εxU }),(:{ 0 ε<xxdx 为点 0 x 的 ε -邻域 (2). 若 Ax ∈ 0 并且存在 0 x 的一个邻域 ),( 0 εxU ,A? 则称 0 x 为 A 的 一个 内点 (图 4 1). 29 (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点 , 则称 A 为 n R 中的 开集 . 规定空 集 ?为开集 . (4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的 内部 , 记为 . o A 图 4 1 例如 , 每个有界或无界开区间 ),(),,(),,( ∞+?∞ aaba 都是直线 1 R 上的开集 . 若 ∈ 0 x n R , r>0, 则容易证明 0 x 的 邻域?r ),( 0 rxU 是 n R 中的开集 . 因此 ),( 0 rxU 又称 为以 0 x 为中心 , 以 r 为半径的开球 . 定理 2 (开集的基本性质 )开集具有如下的性质 : ).i( 空集 ?和全空间 n R 是开集 . ).ii( 任意个开集的并集是开集 . ).iii( 有限个开集的交集是开集 . 证明 )i( 是显然的 . 往证 ).ii( 设 },{ TtA t ∈ 是 X 中的任意一族开集 . 任取 U Tt t Ax ∈ ∈ . 则存在 , 0 Tt ∈ 使得 . 0 t Ax∈ 因为 0 t A 是开集 , 故存在 x 的一个 邻域 ),,( 0 εxU 使得 .),( 0 0 t AxU ?ε 于是更加有 .),( 0 U Tt t AxU ∈ ?ε 这表明 x 是 U Tt t A ∈ 的内点 . 这就证明了 U Tt t A ∈ 中的每个点都是其内点 . 因此 U Tt t A ∈ 是开集 . 现 在证明 ).iii( 设 n AA ,, 1 L 是开集 . 任取 ∈x . 1 I n i i A = 则对每个 .,,,1 i Axni ∈= 有L 因 为 i A 是开集 , 故存在 ,0> i ε 使得 .),( iii AxU ?ε 令 }.,min{ 1 n εεε L= 则 0>ε 并且 0 x 1 x ε A ε 30 .),( 1 I n i i AxU = ?ε 因此 x 是 I n i i A 1= 的内点 . 这就证明了 I n i i A 1= 是开集 . 注意 , 任意个开集的交集不一定是开集 . 例如 , 设 .1), 1 , 1 ( ≥?= n nn A n 则每个 n A 都是 1 R 中的开集 . 但 }0{ 1 = ∞ = I n n A 不是开集 . 聚点与闭集 定义 3 设 A 是 n R 的子集 . (1). 设 ∈ 0 x n R . 若对任意 ,0>ε ),( 0 εxU 中包含有 A 中的无限多个点 , 则称 0 x 为 A 的一个 聚点 (图 4 1 中的 1 x ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的 导集 , 记为 .A′ (3). 若 ,AA ?′ 则称 A 为 闭集 . (4). 集 AA ′∪ 称为 A 的 闭包 , 记为 .A 例如 , 每个有界或无穷闭区间 ),[],,(],,[ ∞+?∞ aaba 都是直线 1 R 上的闭集 . 若 ∈ 0 x n R , r>0, 则容易证明集 ),( 0 rxS = }),(:{ 0 rxxdx ≤ 是 n R 中的闭集 , 称之为以 0 x 为中心 , 以 r 为半径的闭球 . 又显然有理数 Q 的导集 Q′= 1 R , Q 的闭包 Q = 1 R . 定理 4 设 A? n R . 则 A 为闭集当且仅当 c A 为开集 . 证明 必要性 . 设 A 为闭集 . 则对任意 , 0 c Ax ∈ 0 x 不是 A 的聚点 . 因此存在 0 x 的一 个邻域 ),( 10 εxU , 使得 ),( 10 εxU 中至多只包含 A 中有限个点 . 设这些点为 ., 1 k xx L 因 为 , 0 Ax ? 故 .,,1, 0 kixx i L=≠ 令 },,1),,(min{ 0 kixxd i L==ε 则 .0>ε 由 ε 的 取法知道 ?=∩ AxU ),( 0 ε , 即 ),( 0 εxU c A? . 因此 0 x 是 c A 的内点 . 所以 c A 是开集 . 充分性 . 设 c A 为开集 . 则对任意 , 0 c Ax ∈ 存在 0 x 的一个邻域 ),,( 0 εxU 使得 c AxU ?),( 0 ε . 即 ),( 0 εxU 中没有 A 中的点 , 因此 0 x 不是 A 的聚点 . 这表明 A 的聚点 全部在 A 中 , 即 .AA ?′ 因此 A 为闭集 . 由定理 .2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式 , 立即可以得到闭集的基本性质如下 . 定理 5 闭集具有如下性质 : ).i( 空集 ?和全空间 n R 是闭集 . 31 ).ii( 任意个闭集的交集是闭集 . ).iii( 有限个闭集的并集是闭集 . 下面的两个定理用序列的语言 , 给出了 A′和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等 价条件 . 定理 6 设 A? n R . 则有 ).i( Ax ′∈ 当且仅当存在 A 中的点列 },{ k x 使得 ,xx k ≠ .xx k → ).ii( Ax∈ 当且仅当存在 A 中的点列 },{ k x 使得 .xx k → 证明 ).i( 设 .Ax ′∈ 则由聚点的定义 , 对任意 ,1≥k )1,( 0 kxU 中包含有 A 中的无 限多个点 . 于是集 AxkxU ∩? }){)1,(( 不空 . 在其中任取一点记为 , k x 则 }{ k x 是 A 中的点列 , 并且 ,xx k ≠ .xx k → 反过来 , 设存在 A 中的点列 },{ k x 使得 ,xx k ≠ .xx k → 则对任意 ,0>ε 存在 ,0>N 使得当 Nk ≥ 时 , ).,( εxUx k ∈ 若 },{ Nkx k ≥ 中只有有限项彼此不相等 , 则 存在一个自然数 0 k 和 }{ k x 的一个子列 },{ n k x 使得 ).1( 0 ≥= nxx kk n 但 , 0 xx k ≠ 这与 xx k → 矛盾 ! 因此 },{ Nkx k ≥ 中必有无穷多项是彼此不同的点 . 这表明 ),( εxU 中包 含有 A 中的无限多个点 . 因此 .Ax ′∈ ).ii( 设 .Ax∈ 则 Ax∈ 或者 .Ax ′∈ 若 ,Ax∈ 令 ,1, ≥= kxx k 即知结论成立 . 若 ,Ax ′∈ 则由 )i( 知道存在 A 中的点列 },{ k x 使得 .xx k → 反过来 , 设存在 A 中的 点列 },{ k x 使得 .xx k → 若 ,xx k ≠ ,1≥k 则由 )i( 知道 .Ax ′∈ 否则 .Ax∈ 在两种 情况下 , 均有 .Ax∈ 定理 7 设 A? n R . 则 A 是闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列的极限必属于 .A 证明 必要性 . 设 A 是闭集 . 若 }{ k x 是 A 中的点列 , ,xx k → 则由定理 6 知道 .Ax∈ 由于 A 是闭集 , 故 .AA = 因此 Ax∈ . 充分性 . 设 .Ax ′∈ 由定理 6, 存在 A 中的点列 },{ k x 使得 .xx k → 由假定条件 , 此时必有 Ax∈ . 这表明 .AA ?′ 因此 A 是闭集 . 定义 8 设 A 和 B 是 n R 的子集 . 若 ,BA ? 则称 A 在 B 中稠密 . 特别地 , 若 =A , n R 则称 A 是 n R 的稠密子集 . 若 ,)( ?= o A 则称 A 为疏集或无处稠密集 . 例如 , 由于 Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R 的稠密子集 . 由于 ,?= o Z 因此整数集 Z 是疏集 . 32 定理 9 设 A 是 n R 的子集 . 则以下几项等价 : ).i( A 是 n R 的稠密子集 . ).ii( 对任意 ∈x n R 和 ,0>ε .),( ?≠∩ εxUA ).iii( 对任意 ∈x , n R 存在 A 中的点列 }{ k x 使得 .xx k → 定理 9 的证明留作习题 . 设 A? . n R 若存一个闭球 ),,0( rS 使得 ),,0( rSA ? 则称 A 是有界的 . 设 }{ k x 是 n R 中的一个点列 . 若存一个闭球 ),,0( rS 使得 ,1),,0( ≥? krSx k 则称 }{ k x 是有界点 列 . 定理 10 n R 中的每个有界点列存在收敛子列 . 证明 设 }{ k x 是 n R 中的有界点列 . 设 .1},,,{ )()( 1 ≥= kxxx k n k k L 则 }{ )( 1 k x 是有界 数列 . 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理 , 存在 }{ )( 1 k x 的一个子列 }{ )( 1 1i k x 使得 . 1 )( 1 1 xx i k → 同理 , 存在 }{ 1i k 的一个子列 }{ 2 i k 使得 . 2 )( 2 2 xx i k → 这样一直下去 , 最后 , 存在 }{ ,1 in k ? 的子列 }{ in k 使得 . )( n k n xx in → 记 . ini kk = 则对每个 ,,,1 nj L= 有 j k j xx i → )( ).( ∞→ i k 令 ).,( 1 n xxx L= 我们有 ,0))((),( 2 1 1 2)( →?= ∑ = n j j k jk xxxxd i i ).( ∞→ i k 因此若 ,xx i k → ).( ∞→ i k 思考题 1.开区间 )1,0( 在 2 R 中是不是开集? 2.若将 n R 两个点 ),( 1 n xxx L= 和 ),( 1 n yyy L= 距离的定义改为 ).,,max(),( 11 nn yxyxyxd ??= L 按照本节类似的方法定义邻域 , 内点 , 聚点 , 开集和闭集等 .所得结果与本节原来的定义 有和异同 ? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中 , 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R 中 的区域上的连续函数 . 类似可以定义在 n R 的任意子集 E 上的连续函数 . 定义 11 设 ?E n R , )(xf 是定义在 E 上的实值函数 . 又设 Ex ∈ 0 . 若对任意 0>ε , 存在相应的 0>δ , 使得当 Ex∈ 并且 δ<),( 0 xxd 时 , 有 ,)()( 0 ε<? xfxf 则称 )(xf 在 0 x 连续 . 若 f 在 E 上的每一点都连续 , 则称 f 在 E 上连续 . E 上的 连续函数 的全体记为 ).(EC 容易证明 , f 在 E 上连续的充要条件是 , 对 E 中的任意点列 },{ n x 若 xx n → 并且 33 ,Ex∈ 则 ).()(lim xfxf n n = ∞→ 利用定理 10, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明 , 可以证明如 下事实 : 设 K 是 n R 中的有界闭集 , )(xf 是 K 上的连续函数 . 则 ).i()(xf 在 K 上是有界的 . ).ii()(xf 在 K 上取得最大值和最小值 . ).iii()(xf 在 K 上是一致连续的 . 即对任意 ,0>ε 存在 ,0>δ 使得对任意 ,, Kxx ∈′′′ 当 δ<′′′ ),( xxd 时 , 成立 .)()( ε<′′?′ xfxf 此外容易证明 , 若 )}({ xf n 是 n R 的子集 E 上的一列连续函数 , 并且 }{ n f 在 E 一致 收敛于 ),(xf 则 )(xf 是 E 上的连续函数 . 直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造 . 设 A 为直线上的开集 , ),( ba 为一个有界或无界开区间 . 若 Aba ?),( , 并且区间的端点 a, b 不属于 A, 则称 ),( ba 为 A 的一个 构成区间 . 如图 4 2, ),( ba 和 ),( dc 都是 A 的构成区间 , 但 ),( 11 dc 不是 . 图 4 2 定理 12 (开集的构造定理 )直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交 的构成区间的并 .. 证明 分几个步骤 . ).i( 设 A 为 1 R 中的开集 . 先证对任意 ,Ax∈ 存在 A 的一个构 成区间 ),( ba , 使得 ),( bax∈ . 由于 A 是开集 , 故存在开区间 ),( βα 使得 Ax ?∈ ),( βα . 令 .}.),(:sup{ },),(:inf{ Axb Axa ?∈= ?∈= βαβ βαα 则 ).,( bax∈ 往证 ),( ba 是 A 的构成区间 . 设 ),,( bax ∈′ 不妨设 .xxa <′< 由 a 的定 义 , 存在 ),,( βα 使得 ,xa ′<<α 并且 Ax ?∈ ),( βα . 因此 Axx ??∈′ ),(),( βαα . 所以 Aba ?),( . 再证 Aba ?, . 事实上 , 若 Aa∈ , 则存在 b c d 1 d 1 c ),(),( dcbaA ∪= a 34 0>ε , 使得 Aaa ?+? ),( εε . 这与 a 的定义矛盾 . 所以 Aa? . 类似可证 Ab? . ).ii( 设 ),( 11 ba 和 ),( 22 ba 是 A 的两个不同的构成区间 . 若 ),( 11 ba 和 ),( 22 ba 相交 , 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中 . 例如 ).,( 112 baa ∈ 但 , 2 Aa ? 这与 Aba ?),( 11 矛盾 . 所以 ),( 11 ba 和 ),( 22 ba 不相交 . 这表明不同的构成区间互不相交 . 在 A 的每个构成区间中选取一个有理数 , 则 A 的构成区间的全体与有理数的一个子集一一 对应 . 所以 A 的构成区间只有有限个或可数个 . 于是 A 的构成区间的全 体可以编号为 ),,( ii bani ,,1L= 或 .,2,1 L=i ).iii( 我们有 U i ii baA ).,(= 事实上 ,由于每个 ,),( Aba ii ? 因此 U i ii Aba .),( ? 另一方面 , 由 ),i( 对每个 Ax∈ , 存在一个构成区间 ),,( ii ba 使得 ∈x ).,( ii ba 因此 ∈x U i ii ba ),,( 所以 U i ii baA ).,(? 这就证明 U i ii baA ).,(= Borel 集 开集和闭集是 n R 中的常见的集 . 但 n R 中有一些常见的集 , 它们既不是开 集 , 也不是闭集 . 例如 , 可数个开集的交不一定是开集 , 可数个闭 集的并不一定是闭集 . 下面我们要考虑的 Borel 集就包含了这类集 , 并且 Borel 集类对一切有限或可数并 交 余和差运算都封闭 . 定义 13 由 n R 中开集的全体所生成的 代数?σ 称为 n R 中的 Borel σ -代数 (或 Borel 集类 ), 记为 .)( n RB )( n RB 中的集称为 Borel 集 . 设 ),,( 1 n aaa L=∈ n R , ),,( 1 n bbb L=∈ n R , .,,1, niba ii L=< 称 n R 的子集 },,1,:),{(),(),( 111 nibxaxxbaba iiinnn LLL =<<=×× 为 n R 中的开 方体 , 记为 ).,( ba 类似可定义 n R 中的其它类型的方体 . 在直线 1 R 和平面 2 R 中方体分别就是区间和矩形 . 定理 14 n R 中所有的开集 , 闭集 , 有限集或可数集 , 各种类型的方体都是 Borel 集 . 证明 由定义即知开集是 Borel 集 . 由于 Borel 集类对余运算封闭 , 而闭集是开集的 余集 , 故闭集是 Borel 集 . 因为单点集 }{a 是闭集 , 所以单点集是 Borel 集 . 由于有限集或 可数集可以表示成单点集的有限并或可数并 , 而 Borel 集类对有限并或 可数并封闭 , 所以 有限集或可数集是 Borel 集 . 由于开方体是开集 , 闭方体是闭集 , 因此开方体和闭方体是 Borel 集 . 往证半开半闭方体是 Borel 集 . 为简单计 , 不妨只考虑直线 上的情形 . 由于等式 I ∞ = += 1 ) 1 ,(],( n n baba 和 Borel 集类对可数交运算的封闭性 , 即知半开半闭区间 ],( ba 是 35 Borel 集 . 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel 集 . 特别地 , 由于有理数集是可数集 , 而无理数集是有理数集的余集 , 由定理 14 知道 , 有理数集和无理数集都是 Borel 集 . 设 ?A n R . 若 A 可表示为一列开集的交 , 则称 A 为 δ G 型集 . 若 A 可以表示为一列 闭集的并 , 则称 A 为 σ F 型集 . 显然 型集 δ G 和 型集 σ F 都是 Borel 集 . 定理 14 和上面的例子表明 , n R 中常见的一些子集都是 Borel 集 . 但有例子表明在 n R 中确实存在不是 Borel 集的子集 . 在 2.3 中我们将给出一个这样的例子 . Cantor 集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集 Cantor(三分 )集 . 例 1 (Cantor 集 )记 ].1,0[ 0 =C 将 0 C 三等分 , 去掉中间的一个开区间 ). 3 2 , 3 1 ( 将剩 下的部分记为 , 1 C 即 ].1, 3 2 [] 3 1 ,0[ 1 ∪=C 它是两个互不相交的闭区间的并 . 将 1 C 的每 个闭区间都三等分 . 再去掉每个闭区间中间的开区间 ) 9 2 , 9 1 ( 和 ). 9 8 , 9 7 ( 将剩下的部分记 为 , 2 C 即 ].1, 9 8 [] 9 7 , 9 6 [] 9 3 , 9 2 [] 9 1 ,0[ 2 ∪∪∪=C 图 4 3 它是 2 2 个两个互不相交的闭区间的并 . 这样一直做下去 , 得到一列集 }.{ n C 其中 n C 是 n 2 个互不相交的闭区间的并 , 每个闭区间的长为 . 3 1 n 最后令 , 1 I ∞ = = n n CK 称之为 Cantor 三分集 , 简称为 Cantor 集 (图 4 3). Cantor 集具有如下的性质 : (1). Cantor 集是闭的疏朗集 . 由于每个 n C 都是闭集 , 而 K 为一列闭集的交 , 故 K 是 0 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8 36 闭集 . 由于 K 是闭集 , 为证 K 是疏朗集 , 只需证明 .?= o K 设 Kx∈ . 对任意 ,0>ε 取 0 n 足够大 , 使得 . 3 1 0 ε< n 由于 0 n C 是 0 2 n 个互不相交的长度为 0 3 1 n 的闭区间的并 , 故 x 的 ?ε 邻域 ),( εε +? xx 内必含有不属于 0 n C 的点 . 于是 ),( εε +? xx 更加含有不属 于 K 的点 . 因此 x 不是 K 的内点 . 这表明 .?= o K 所以 K 是疏朗集 . (2). 在构造 Cantor 集时从 ]1,0[ 中去掉的那些开区间的长度之和为 1. 事实上 , 在第 n 次步骤得到 n C 时 , 去掉了 1 2 ?n 个长度为 n 3 1 的开区间 . 因此去掉的那些开区间的长度 之和为 .1 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? = ∑∑ ∞ = ? ∞ = ? n n n n n (3). Cantor 集具有连续基数 .c 由引理 16 和 K 的定义知道 , 对任意 ,Kx∈ x 可以 唯一的写成 , 333 21 LL ++++= n n nn aaa x 其中 0= i a 或 2 , ,,2,1 L=i 并且有无限个 .2= i a 令 },0,10:),,{( 21 ≠== ii aaaaA 并且有无限个或L 由 1.2 定理 .11 后面的注 1, A 具有连续基数 .c 再作映射 . 3 2 )()( ,: 1 ∑ ∞ = == → n n n n x xxx KA ? ? a 则 ? 是 A 到 Cantor 集 K 的一一的到上的映射 . 由于 A 具有连续基数 ,c 故 K 具有连续 基数 .c 小 结 本节由 n R 上自然的距离结构 , 导出了邻域 , 内点 , 聚点的定义 , 从而给出开 集 , 闭集的定义 . 由开集生成一个 ο -代数即 Borel ο -代数 , 进而引入了 Borel 集 . 本节讨 论了这些集的性质和相互关系 ,给出了直线开集的构造定理 . Cantor 集是一个重要的集 .它 具有一些特别的性质 , 在举反例时常常是有用的 . 学习本节的内容应充分利用几何图形的 直观 , 以帮助理解本节的内容 . 习 题 习题一 , 第 29 题 第 43 题 .