《突变函数》完整资料：h12可数集与基数

11 1.2 映射 可数集与基数 教学目的 继续介绍集合论的基础内容 , 如映射 , 基数 , 可数集与不可 数集等 . 本节要点 一一对应的思想与方法贯穿本节的核心 .基数的概念 .可数 集的讨论 ,都要用的一一对应的方法 .证明两个不同的集对等 , 从而具有相 同的基数 , 特别地 , 要证明一个集是可数集 , 有时需要一定的技巧 , 因而具 有一定的难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其方法和技巧 . 映射 在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉 . 在数学分析中函数的定义域通常 是 n R 的子集 , 值域是实数集或者复数集 . 若将函数的定义域和值域换成一般的集 , 就得 到映射的概念 . 定义 1 设 ,X Y 是两个非空集 . f 是某一法则 使得按照这个法则 , 对每个 ,Xx∈ 有唯一的的 Yy∈ 与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的 映射 , 记为 .: YXf → 当 y 与 x 对应时 , 称 y 为 x 在映射 f 下的像 , 记为 ).(xfy = 称 X 为 f 的 定义域 . 在上述定义中 , 若 Y 是实数集或复数集 , 习惯上仍称 f 为函数 . 设 A 为 X 的子集 . 称 Y 的子集 )}(,:{ xfyAxy =∈ 使得存在 为 A 在映射 f 下的 像 , 记为 ).(Af 特别地 , 称 )(Xf 为 f 的 值域 . 设 B 是 Y 的子集 . 称 X 的子集 })(:{ Bxfx ∈ 为集 B 在映射 f 下的 原像 , 记为 ).( 1 Bf ? 在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射 . 除此之外 , 我们还经常会遇到许多 其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射 , 求导运算可以看作是 可导函数集到函数集的映射 , 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等 . 设 YXf →: 是 X 到 Y 的映射 . 若 ,)( YXf = 则称 f 为 到上的 (或满射 ). 若当 21 xx ≠ 时 ),()( 21 xfxf ≠ 则称 f 是 一一的 (或单射 ). 如果 f 是 X 到 Y 的一一的到上 的映射 , 有时我们称 f 是 X 与 Y 之间的一个 一一对应 . 映射的逆与复合 设 f 是 X 到 Y 的一一的到上的映射 . 则对每个 ,Yy∈ 存在唯一 12 的 Xx∈ 使得 .)( yxf = 因此我们可以定义一个 Y 到 X 的映射 g 如下 : 对每个 ,Yy∈ 令 ,)( xyg = 其中 x 是 X 中的唯一存在的满足 yxf =)( 的元 . 称这样定义的映射 g 为 f 的 逆映射 , 记为 . 1? f 显然逆映射是反函数概念的推广 . 若 f 是 X 到 Y 的一一的到上 的映射 , 则由逆映射的定义知道成立以下等式 : .,))((,,))(( 11 YyyyffXxxxff ∈=∈= ?? 设 YXf →: 和 ZYg →: 分别是 X 到 Y 的和 Y 到 Z 的映射 . 令 .)),(()( Xxxfgxh ∈= 则 h 是 X 到 Z 的映射 . 称 h 为 f 与 g 的 复合映射 , 记为 .fg o 显然复合映射是复合函 数概念的推广 . 利用复合映射的记号 , (1)式可以写成 ., 11 YX iffiff == ?? oo 其中 X i 和 Y i 分别为 X 和 Y 上的恒等映射 . 设 A 是 X 的子集 , f 和 f ~ 分别是 A 到 Y 的和 X 到 Y 的映射 . 若对每个 Ax∈ 成立 ),()( ~ xfxf = 则称 f ~ 是 f 在 X 上的 延拓 , 称 f 是 f ~ 在 A 上的 限制 , 记为 . ~ A ff = 定义 2 设 BA, 是两个非空集 . 若存在一个从 A 到 B 的一一的到上的映射 , 则称 A 与 B 是 对等的 , 记为 A ~ .B 此外规定 ?~ .? A 与 B 是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系 . 对等关系具有如下性质 : ).i( A ~ .A (反身性) . ).ii( 若 A ~ ,B 则 B ~ .A (对称性 ). ).iii( 若 A ~ ,BB~ ,C 则 A ~ .C (传递性) . 基数 有时我们需要比较两个集的元素的多与少. 对于有限集, 我们可以通过数出 每个集的元素的个数的方法比较两个集的元素的多与少. 两个无限集是否可以比较元素 的多与少? 初看起来, 既然无限集都有无限多个元素, 似乎两个无限集不能比较元素的 多与少. 现在我们换一种方式来来考虑这个问题. 在比较两个有限集的元素的多与少的 时候,还可以采用另一种方法, 即 一一对应 的方法. 如果 A 与 B 之间能建立一个一 一对应, 则 A 与 B 具有同样多的元素. 如果 A 与 B 的一个真子集之间能建立一个一一 对应, 则 A 的元素比 B 的元素少.这种方法也适用于无限集的情形. 先看两个例子. 例1 数集 )1,0( 与实数集 1 R 对等 . 对任意 ),1,0(∈x 令 π? ) 2 1 tan()( ?= xx . 则 ? 是 )1,0( 到 1 R 的一一对应的映射 . 因此 )1,0( ~ 1 R . (见图 2 1). 13 图 2 1 在例 1 中, )1,0( 是 1 R 的真子集, 但 )1,0( 与 1 R 对等. 一个集和自己的一个真子集 对等,这在有限集是不可能. 可以证明这是无限集的一个特征. 由于 )1,0( 与 1 R 对等, 在这个意义下, 我们可以说, )1,0( 与 1 R 具有一样多的元 素.又如圆周去掉一点后与全直线对等. 两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的 (图 2-2). 图 2-2 例2 数集 )1,0( 与自然数集 N 不对等 . 证明 首先注意到 , 区间 )1,0( 的实数可以表示为十进制无穷小数: L 321 .0 aaax = , P x′ X Y O x x x′ O π) 2 1 tan( ?= xy X Y y x O 2 1 1 14 其中 i a 是 9,,1,0 L 中的数字, 并且有无限多个 i a 不为零.例如 5.0 表示为 ,499.0 L 不 表示为 L500.0 . 这样, )1,0( 中每个实数的表示是惟一的. 用反证法. 若 )1,0( 中的实数可以与自然数建立一一对应的关系 . 则 )1,0( 的全部 实数可以排序成为一个无穷序列: },,,,{)1,0( 321 Lxxx= ,.0 )1( 3 )1( 2 )1( 11 Laaax = ,.0 )2( 3 )2( 2 )2( 12 Laaax = ,.0 )3( 3 )3( 2 )3( 13 Laaax = .LLLLLLLLL 现在考虑小数 L 3210 .0 aaax = , 其中 i a 是 9,,1,0 L 中的数字, L,,, )3( 33 )2( 22 )1( 11 aaaaaa ≠≠≠ . (例如, 若 1 )( ≠ i i a , 令 1= i a . 若 ,1 )( = i i a 则令 2= i a ).则 )1,0( 0 ∈x , 但是 i xx ≠ 0 ),3,2,1( L=i (因 为至少 0 x 与 i x 的第 i 位数字不同).这与假设矛盾! 因此 )1,0( 中的实数不能与自然数建 立一一对应的关系 . 由于自然数集 N 与区间 )1,0( 的一个子集 }, 1 1 ,, 3 1 , 2 1 { LL +n 对等, 结合例 1, 我 们有理由说自然数集 N 比区间 )1,0( 的元素少. 以上两个例子表明, 利用一一对应的思想, 可以比较两个无限集的元素的多与少. 下 面我们把这种想法精确化. 定义 3 对于所有相互对等的集 , 我们称他们给予同一个记号 , 称为这其中每一个集 的 基数 . 集 A 的基数记为 .A 由基数的定义 , 如果 A 与 B 对等 , 则 .BA = 规定集 },,2,1{ nL 的基数为 n , 空集 ?的基数为 0. 用符号 ω 表示自然数集 N 的 基数 . 实数集 1 R 的基数用 c 表示 , 称之为连续基数 . 因此有限集的基数等于该集中元素 的个数 . 这样 , 集的基数就是有限集的元素个数的推广 . 定义 4 设 BA, 是两个集 . 若 A 与 B 的一个子集对等 , 则称 A 的基数小于或等于 B 的基数 , 记为 .BA ≤ 若 A 与 B 的一个子集对等 , 但 A 与 B 不对等 , 则称 A 的基数小于 B 的基数 , 记为 .BA < 15 有限集与无限集 利用对等的概念, 我们可以给出有限集和无限集的严格定义. 设 A 是一非空集. 若存在一个自然数 ,n 使得 A 与集 },,2,1{ nL 对等, 则称 A 为有限集. 规 定空集是 有限集 . 若 A 不是有限集, 则称 A 为 无限集 . 下面先讨论一类重要的集 可数集,即具有可数基数的集. 可数集 在无限集中, 有一类是以后会经常遇到的, 也是最简单的, 就是下面要讨 论的可数集. 定义 5 与自然数集 N 对等的集称为 可数集 . 换言之 , 具有可数基数的集称为可数集 . 由可数集的定义知道 , 若 A 是可数集 , B 与 A 对等 , 则 B 是可数集 . 等价定义 : 集 A 是可数集当且仅当 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编号排序必须 既无遗漏 , 也无重复 .): }.,,,,{ 21 LL n aaaA = 可数集的简单例 : 自然数集 N , 整数集 Z , 奇自然数集 , 偶自然数集 . 它们的元素可以分别排序成为无穷序列 },,,,,2,2,1,1,0{ LL nn ??? },,12,,5,3,1{ LL ?n }.,2,,6,4,2{ LL n 由例 1 知道 , 区间 )1,0( 和实数集 1 R 都不是可数集. 后面我们将要看到更多的可数集, 它们的可数性不是这样显而易见的. 例如我们马 上要证明有理数集是可数集. 以下定理表明, 可数集在无限集中具有最小基数. 定理 1 任何无限集必包含一个可数子集 . 换言之 , 若 A 为无限集 , 则 .A≤ω 证明 在 A 中任取一个元 , 记为 . 1 a 假定 11 ,, ?n aa L 已经取定 . 由于 A 是无限集 , 故 },,{ 11 ? ? n aaA L 不空 . 在 },,{ 11 ? ? n aaA L 中任取一个元 , 记为 . n a 这样一直作下去 , 就得到 A 中的一个无穷序列 }.{ n a 令 },,,{ 211 LaaA = 则 1 A 是 A 的一个可数子集 . 推论 .c<ω 证明 由定理 1, .c≤ω 由例 1 和例 2, .)1,0( ω≠=c 因此 .c<ω 定理 2 若 A 是可数集 , B 是有限集 , 则 BA∪ 是可数集 . 证明 不妨设 .?=∩ BA 若不然 , 由于 ),( ABABA ?∪=∪ 用 AB ? 代替 B 即 可 .设 },,,{ 21 LaaA = }.,,{ 1 n bbB L= 则 BA∪ 得元素可以编号排序为 }.,,,,{ 211 LL aabbBA n =∪ 因此 BA∪ 是可数集 . 定理 3 可数集的任何无限子集还是可数集 . 证明 设 A 为可数集 ,则 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 16 .,,,, 21 LL n aaa 设 B 是 A 的一个无限子集 . 则 B 中的元素是上述序列的一个子列 .,,, , 21 LL k nnn aaa 将 k n a 与 k 对应 , 即知 B 是可数集 . 定理 4 若 ),2,1( L=nA n 是一列可数集 , 则 U n i i A 1= 和 U ∞ =1i i A 都是可数集 . 即可数集 的有限并或可数并还是可数集 . 证明 设 ,,2,1},,,,{ ,21 LLL == naaaA nmnnn 是一列可数集 . 有限并的情形 : U n i i A 1= 的元素可以按下面的方式编号排序 : L LLLLLLLLLL L L 321 2322212 1312111 nnnn aaaA aaaA aaaA ↓↓↓ ↓↓↓ ↓↓↓ 可数并的情形 : U ∞ =1n n A 的元素可按如下方式编号排序 : 1 A 11 a 12 a 13 a L 14 a 2 A 21 a ↗ 22 a ↗ 23 a ↗ L 24 a 3 A 31 a ↗ 32 a ↗ L 33 a 4 A 41 a ↗ L 42 a 在编号排序时, 若碰到前面已编号的重复元素, 则跳过去不再编号排序. 于是 U n i i A 1= 和 U ∞ =1n n A 的元素都可以按上述方式编号排序成为一无穷序列 . 所以 U n i i A 1= 和 U ∞ =1n n A 都是可数 集 . 定理 5 若 ),2,1( L=nA n 是一列有限集 , 则 U ∞ =1n n A 是有限集或可数集 . 证明 留作习题 . 17 思考题 任意个有限集或可数集的并是否一定是可数集. 为什么? 利用可数集的运算性质,从一些已知的可数集,可以得到更多的可数集. 例 3 有理数集 Q 是可数集 . 事实上 , 对每个 ,,2,1 L=n 令 }., 3 , 2 , 1 { L nnn A n = 则每个 n A 是可数集 . 由于 正有理数集 + Q = , 1 U ∞ =n n A 由定理 4 知道 + Q 是可数集 . 类似地 , 可以证明负有理数集 ? Q 是可数集 . 因此 =Q + Q ∪ ? Q }0{∪ 是可数集 . 定理 6 若 n AA ,, 1 L 是可数集 , 则它们的乘积集 n AA ××L 1 是可数集 . 证明 用数学归纳法 . 当 1=n 时定理的结论当然成立 . 假定 11 ? ×× n AA L 是可数集 . 设 }.,,{ 21 LaaA n = 对每个 ,1≥k 令 }.{ 11 knk aAAE ×××= ? L 则 k E 与 11 ? ×× n AA L 对等 , 故每个 k E 是可数集 . 由于 . 1 1 U L ∞ = =×× k kn EAA 因此由定理 4 知道 n AA ××L 1 是可数集 . 图 2 3 是 2=n 的情形 . 图 2 3 推论 设 n II ,, 1 L 是 n 个可数集 . 则 },,:{ 11,, 1 nnii IiIiaA n ∈∈= L L 是可数集 . k E 1 A 2 A 1 a 2 a 3 a i a 1 b 2 b k b 18 证明 将 n ii a ,, 1 L 与 ),,( 1 n ii L 对应 , 即知 A 与 n II ××L 1 对等 . 由定理 6, n II ××L 1 是可数集 , 故 A 是可数集 . 例 4 设 n Q 是 n R 中的有理点 (即座标全为有理数的点 )的全体所成的集 . 则 . 43421 L n QQQ ××= n 由例 3 和定理 6, n Q 是可数集 . 例 5 整系数多项式的全体是可数集 . 证明 对任意自然数 ,n 令 n P 是 n 次整系数多项式的全体 . 将 n 次整系数多项式 n n xaxaa +++ L 10 与 ),,( 10 n aaa L 对应 , 即知 n P ~ ∏ = n i i 0 Z (其中 ZZZ = ?10 ,, n L }0{?= ZZ n ). 由定理 5, ∏ = n i i 0 Z 是可数集 , 故 n P 是可数集 . 再利用定理 4, U ∞ ?0n n P 是可 数集 . 即整系数多项式的全体是可数集 . 实数 x 称为是一个 代数数 , 若 x 是某个整系数多项式的根 . 定理 7 代数数的全体是可数集 . 证明 由例 5, 可以设整系数多项式的全体为 }.,,{ 21 Lpp 又设 },:{ 是代数数xxA = }:{ 的零点是 nn pxxA = , .,2,1 L=n 则每个 n A 是有限集 , 并且 . 1 U ∞ = = n n AA 即 A 可以表示为一列有限集的并 . 利用定理 5, 代数数的全体是可数集 . 具有连续基数的集 定理 8 若 A 为无限集 , B 为有限集或可数集 , 则 .ABA =∪ 证明 不妨设 ,?=∩ BA 否则用 AB ? 代替 B 即可 . 因为 A 为无限集 , 由定理 1, A 包含一个可数子集 . 1 A 由于 BA ∪ 1 是可数集 , 故 )( 1 BA ∪ ~ 1 A . 又因为 ,)()( 11 ?=∪∩? BAAA 因此我们有 BAAABA ∪∪?=∪ 11 )( )()( 11 BAAA ∪∪?= ~ ..)( 11 AAAA =∪? 19 这表明 .ABA =∪ 由定理 8 知道 , 若 A 的基数是 ,c 则 A 加上或去掉一个可数集后 , 其基数不变 . 换言 之 , 相对应具有连续基数的集而言 , 可数集是无足轻重的 . 例 6 无理数集的基数为 .c 证明 记无理数集为 ,A 有理数集为 Q . 则由定理 8, 我们有 . 1 cAA ==∪= RQ 因此无理数集的基数为 .c 设 x 是一个实数 . 若 x 不是代数数 , 则称 x 为 超越数 . 若类似于例 6 可以知道 , 超越 数的全体具有基数 .c 这表明超越数是存在的 , 而且要比代数数多得多 . 定理 9 直线上的任何区间的基数都是 .c 证明 由例 1 知道区间 )1,0( 具有基数 .c 由于 },1,0{)1,0(]1,0[ ∪= 由定理 8, .)1,0(]1,0[ c== 类似可证区间 ]1,0( 和 )1,0[ 都具有基数 .c 令 ),,()1,0(: ba→? xabax )()( ?+=? . 则 ? 一一对应的映射 . 因此 .),( cba = 类似可证任何有界区间都具有基数 .c 利用函数 xtan 作适当的映射 , 可以证明任何无界区间都具有基数 .c 思考题 试直接给出区间 ]1,0[ 与 )1,0( 的元素之间的一个对应关系, 从而证明 .]1,0[ c= p 进制小数 设 1>p 为一自然数 , }{ n a 是一个数列 , 其中 n a 只取 1,,1,0 ?pL 为 值 . 则级数 LL ++++ n n p a p a p a 2 2 1 1 (1) 收敛 , 并且其和 ].1,0[∈x 我们可以把级数 (2)的和记为 ..0 21 LL n aaax = (2) 称上式的右边为 p 进制小数 . 在 p 进制小数 (2)中 , 若有无穷个 ,0≠ n a 则称之为无限 p 进制小数 , 否则称之为有限 p 进制小数 . 这样 , 一个无限 p 进制小数表示区间 ]1,0( 中的 一个实数 . 引理 10 无限 p 进制小数与区间 ]1,0( 中的实数一一对应 . 证明 以 2=p 为例 . 一般情形是类似的 . 上面我们已经知道 , 一个无限二进制小数 表示区间 ]1,0( 中的一个实数 . 反过来 , 设 ].1,0(∈x 则存在 0 1 =k 或 1, 使得 , 2 1 2 11 + ≤< k x k 20 令 . 11 ka = 又存在 0 2 =k 或 1, 使得 . 2 1 222 2 21 2 21 + +≤<+ kk x kk 令 . 22 ka = 这样一直作下去 , 得到一个数列 },{ n a 其中 .10或= n a 并且容易知道有无 穷个 .1= n a 显然由这样的数列 }{ n a 构成的级数 (1)的部分和 n s 满足 .1, 2 1 0 ≥<?< nsx n n 令 ∞→n 得到 .lim n n sx ∞→ = 即 x 是级数 (1)的和 . 于是 x 可以唯一地表示成无限二进制小 数 ..0 21 LL n aaax = 二元数列 若 }{ n a 为一数列 , 并且每个 n a 只取 0 或 1 两个可能的值 , 则称 }{ n a 为 二 元数列 . 定理 11 ).i( 二元数列的全体所成的集具有连续基数 .c ).ii( 设 X 为一可数集 , 则由 X 的全体子集所成的集 )(XP 具有连续基数 .c 证明 ).i( 将二元数列的全体所成的集记为 ,A 无限二进制小数的全体记为 .E 则由 引理 10, .]1,0( cE == 对每个自然数 ,1≥n 令 }.,0:),,{( 21 niaAaaB in >=∈= L 再令 . 1 U ∞ = = n n BB 则 B 是可数个有限集的并 . 由定理 4, B 是可数集 . 作映射 ,: EBAf →? 使得 ..0)),,(( 2121 LL aaaaf = 则 f 是一一的到上的 , 故 BA? ~ .E 因此 .cEBA ==? 由定理 8 知道 , .cBAA =?= ).ii( 设 }.,,,,{ 21 LL n xxxX = 作 )(XP 到二元数列的集 A 的映射 ? ,使得 ),,,()( 21 LaaC =? ∈C ).(XP 其中 ? ? ? ? ∈ = .0 ,1 Cx Cx a n n n 若 若 则 ? 是一一的到上的 . 故 )(XP ~ A , 因此 .)( cAX ==P 21 注 1 从定理 11 的证明过程知道 , 集 }0,10:),,{( 21 ≠== ii aaaaA 并且有无限多个或L 也具有连续基数 .c 这个结果在后面 1.4 例 1 中会用到 . 若 A 是一个有限集 , 其元素的个数为 .n 容易知道 A 有 n 2 个子集 . 用基数表示就是 .2)( A A =P 由于这个原因 , 对一个有限集或无限集 A , 若 ,aA = 则用 a 2 表示 )(XP 的基数 . 这样 , 定理 11 )ii( 的结论可表示成 .2 c= ω 小 结 本节利用一一对应的思想 , 给出了集的基数和可数集的定义 . 集的基数是有 限集元素的个数在无限集的推广 . 可数集是具有最小基数的无限集 . 可数集经过有限或可 数并运算后仍是可数集 . 有理数集是一个重要的可数集 . 直线上的区间是典型的不可数集 . 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应当掌握的基本技巧 . 习 题 见习题一 ,第 10 题 第 17 题 .