73 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生 了可测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R上的Lebesgue可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我 们在讨论积分的时候更加便利. 本章3.1和3.2讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. 3.3在欧 氏空间 n R上讨论可测函数与连续函数的联系. 3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用 测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可测 的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要 应用. 本节和以后若无特别申明,函数一词均指取值于 ? R的广义实值函数, 取值于 1 R 的函数仍称为实值函数. 在2.1我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组 合),( FX为一可测空间, 若X是一个非空集, F是X上的?σ代数. 称F中的集为 F -可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义1 设),( FX为一可测空间, E是一个可测集. →Ef : ? R为定义在E上的 函数. 若对任意实数a, 总有 ,})(:{ F∈<∈ axfEx (图1 1是 1 RX =时的示意图) 则称f为E上的F -可测函数(简称为E上的可测函数). 特别地, X上的可测函数也称为可测空间),( FX上的可测函数. ),( FX上的可测函数 74 和非负可测函数的全体分别记为),( FXM和).,( FXM + 图1 1 注1 设),( FX为一可测空间, E是一个可测集. 容易知道 },:{ FF ∈?= AEAA E 是一个?σ代数. 因此),( E E F是一个可测空间. 显然f是E 上的可测函数当且仅当f是可测空间),( E E F上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数 的性质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间),( FX取为是 n R上的Lebesgue可测空间))(,( nn RR M , E 是 n R中的Lebesgue可测集, 则E上的可测函数称为Lebesgue可测函数. 类似地, 若可测 空间),( FX取为是 n R上的Borel可空间))(,( nn RR B , E是 n R中的Borel可测集, 则 E上的可测函数称为Borel可测函数. 因此按定义, f是E上的Lebesgue可测函数(或者 Borel可测函数), 若对任意实数a, })(:{ axfEx <∈ 是Lebesgue可测集(相应地, Borel可测集). 以后Lebesgue可测函数可以简称为L可测函 数. 显然每个Borel可测函数是Lebesgue可测函数. 一般地, 设 1 F和 2 F是X上的两个代数?σ并且? 1 F 2 F , 则由可测函数的定义知 道, 每个 1 F -可测函数都是 2 F -可测函数. 例1 设),( FX是一可测空间, cxf ≡)(是X上的常数函数. 则f是),( FX上的可 测函数. 这是因为对任意实数,a ? ? ? ≤? > =< . })(:{ ca caX axfx 若 若 X 1 R )(xf a 1 E 21 })(:{ EEaxfx ∪=< 2 E 32143421 75 由于?和X都是可测集, 故对任意实数a, 总有.})(:{ F∈< axfx 因此f是可测的. 例2设),( FX为一可测空间, .XA ? 则A的特征函数 A I为可测函数当且仅当A 为可测集. 这是因为, 对任意实数a, ? ? ? ? ? > ≤< ≤? =< .1 10 0 })(:{ aX aA a axIx c A 若 若 若 由此易知结论成立. 例3 n R上的连续函数是Borel可测函数(因而也是Lebesgue可测函数). 这是因为对 任意实数a, })(:{ axfx <是 n R中的开集, 而开集是Borel集, 因此f是Borel可测的. 例4 设f是定义在区间],[ ba上的单调函数. 则f是],[ ba上的Borel可测函数. 事 实上, 对任意实数,a 由于f是单调的, 容易知道集})(:{ axfx <是区间, 单点集或者空 集. 总之, })(:{ axfx <是Borel集. 因此f是Borel可测的. 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征. 定理2 设),( FX为一可测空间, ? → RXf :是定义在X上的函数. 则以下(1) (4) 是等价的: (1). f是可测函数. (2). 对任意实数a, .})(:{ F∈≤ axfx (3). 对任意实数a, .})(:{ F∈> axfx (4). 对任意实数a, .})(:{ F∈≥ axfx 此外, 上面的(1) (4)蕴涵 (5). 对任意∈B )( 1 RB , .)( 1 F∈ ? Bf 若f是实值函数, 则(1) (5)是等价的. 证明 (1)?(2). 因为f可测,故对任意实数a, .})(:{ F∈< axfx 于是有 })(:{ axfx ≤ ∈+<= ∞ = } 1 )(:{ 1 n axfx n I F . (2)?(3).这是因为 .})(:{})(:{ F∈≤=> c axfxaxfx (3)?(4).这是因为 .} 1 )(:{})(:{ 1 F∈?>=≥ ∞ = I n n axfxaxfx (4)?(1). 这是因为 .})(:{})(:{ F∈≥=< c axfxaxfx 因此, (1) (4)是等价的. 为证(1) (4)蕴涵(5), 我们证明(2)?(5). 76 (2)?(5).令})(:{ 11 FA ∈?= ? AfA R . 利用逆像的性质 ,)()( 1 1 1 1 UU ∞ = ? ∞ = ? = n n n n AfAf ,))(()( 11 cc AfAf ?? = 容易证明A是一个代数?σ . 又令C是直线上左开右闭区间的全体. 容易证明 )(Cσ = )( 1 RB (见第一章习题第42题). 对任意左开右闭区间],,( ba 我们有 .})({:})(:{)],(( 1 F∈≤?≤= ? axfbxfxbaf 故C ? A , 从而)( 1 RB = )(Cσ ? A . 这表明对任意∈B )( 1 RB , .)( 1 F∈ ? Bf 若f是实值函数, 我们还有 (5)? (1).设f是实值函数. 由于),( a?∞是Borel集, 因此 .)),((})(:{ 1 F∈?∞=≤ ? afaxfx 设f是可测函数. 由于单点集}{a ( a是实数)是Borel集, 因此由定理2(5)知道 })({})(:{ 1 afaxfx ? ==是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的: }.)(:{},)(:{ },)(:{},)(:{ bxfaxbxfax bxfaxbxfax <≤≤< ≤≤<< 此外, 由于,})(:{})(:{ 1 I ∞ = >=+∞= n nxfxxfx故})(:{ +∞=xfx是可测集. 同理, })(:{ ?∞=xfx也是可测集. 可测函数的运算封闭性 下面我们讨论可测函数类的运算封闭性. 为此, 先对广义实 值函数的运算作一些规定. 设f和g是定义在X上的广义实值函数. 定义 ? ? ? ∞=±∞= + =+ . )(,)(0 )()( ))(( mxgxf xgxf xgf 若 若右端有意义 )}.(),(min{))(()},(),(max{))(( xgxfxgfxgxfxgf =∧=∨ 又设}{ n f是一列广义实值函数. 定义 ),(sup))(sup( 11 xfxf n n n n ≥≥ = ),(lim))(lim( xfxf n n n n ∞→∞→ = 类似可定义函数cffg, ( c是实数), n n ff 1 inf, ≥ 和 n n f ∞→ lim等. 设f是定义在X上的函数. 令 ? ? ? < ≥ = + .0)(0 0)()( xf xfxf f 若 若 ? ? ? <? ≥ = ? .0)()( 0)(0 xfxf xf f 若 若 77 分别称函数 + f和 ? f为f的正部和负部(图1 2). + f和 ? f都是非负值函数, 并且成立 等式 ., ?+?+ +=?= ffffff 图1 2 为简单计, 我们以后将集})(:{ axfx <简写成},{ af <将集)}()(:{ xgxfx ≤简 写成}{ gf ≤等等. 定理 3 设f和g是两个可测函数. 则函数cf (c是实数), gf + , fg , f , gf ∨ 和gf ∧都是可测函数. 证明 (1). 若.0,0 ≡= cfc则 此时cf当然是可测函数. 当0≠c时, 对任意实数 a , 有 ? ? ? ? ? <> >< =< .0}{ 0}{ }{ c c a f c c a f acf 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf是可测函数. (2). 先设f和g不取异号∞为值. 设}{ n r是有理数的全体. 由于agf <+当且仅 当存在 n r使得 n rf <并且. n rag ?< 因此 .}){}({}{ 1 U ∞ = ?<∩<=<+ n nn ragrfagf 由上式f和g的可测性知道}{ agf <+是可测集. 因此gf +是可测函数. 再考虑一般 情形. 令 X Y )(xf O )(xf + )(xf ? 78 }.,{},{ +∞=?∞=∪?∞=+∞== gfgfA 则A是可测集. 我们有 }).{(}){(}{ agfAagfAagf c <+∩∪<+∩=<+ 由于在 c A上f和g不取异号∞为值, 由前面的证明知道}{ agfA c <+∩是可测集. 又 由于在A上,0=+ gf 故 ? ? ? ≤? > =<+∩ .0 0 }{ a aA agfA 若 若 所以}{ agfA <+∩是可测集. 因此}{ agf <+是可测集. 这就证明了gf +是可测 函数. (3). 先证 2 f是可测函数. 由于 ? ? ? <? ≥?> ∩ < =< .0 0}{}{ }{ 2 a aafaf af 若 若 由上式知}{ 2 af <是可测集. 故 2 f是可测函数. 再由等式 ])()[( 4 1 22 gfgfgf ??+= 即知gf是可测函数. (4). 由于 ? ? ? ≤? >?>∩< =< .0 0}{}{ }{ a aafaf af 若 若 }.)(:{})(:{}))((:{ },)(:{})(:{}))((:{ axgxaxfxaxgfx axgxaxfxaxgfx ≤∪≤=≤∧ ≤∩≤=≤∨ 由此知道f , gf ∨和gf ∧都是可测函数. 推论4若f是可测函数,则f的正部 + f和负部 ? f都是可测函数. 证明 容易知道.0)(,0 ∨?=∨= ?+ ffff 再由定理3即知推论成立. 定理5 设}{ n f是一列可测函数. 则函数 n n fsup , n n finf , n n flim和 n n flim都是可测 函数. 特别地, 若对每个,Xx∈ 极限)(lim xf n n 存在(有限或∞± ), 则 n n flim是可测函数. 证明 由于对任意实数a , 我们有 .}{}inf{,}{}sup{ 11 II ∞ = ∞ = ≥=≥≤=≤ n nn n n nn n afafafaf 由此知 n n fsup和 n n finf都是可测函数. 由于 79 n n flim = ,supinf k nk n f ≥ n n flim = .infsup k nk n f ≥ 因此知 n n flim和 n n flim都是可测函数. 例5 设f是可测空间),( FX上的实值可测函数, g是 1 R上的连续函数. 则复合函 数))(()( xfgxh =是),( FX上的可测函数. 证明 由例3知道g是 1 R上的Borel可测函数, 因此对任意 ∈B )( 1 RB , ∈ ? )( 1 Bg ).( 1 RB由于f是可测的, 由定理2, ∈ ?? ))(( 11 Bgf .F 因此 = ? )( 1 Bh ∈ ?? ))(( 11 Bgf .F 再次应用定理2知道)(xh是),( FX上的可测函数. . 以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性, 这将使我们在讨论积分的 性质时十分便利. 简单函数与可测函数 定义6 设),( FX为一可测空间. 称型如 ∑ = = n i Ai xIaxf i 1 )()( 的函数为),( FX上的简单函数. 其中 n aa L, 1 是实数, n AA ,, 1 L是互不不相交的可测集, 并且. 1 U n i i AX = = 容易证明下面的定理7和定理8 , 其证明留作习题. 定理7 函数f为简单函数当且仅当f为只取有限个实值的可测函数. 定理8 设f和1g都是简单函数. 则cf (c为实数), gf + , fg , f , gf ∨和 gf ∧都是简单函数. 设}{ n f是一函数列. 若对每个,Xx∈ 总有,1),()( 1 ≥≤ + nxfxf nn 则称}{ n f是单 调增加的函数列, 记为 ↑n f . 类似地可以定义单调减少的函数列. 设)(xf为一给定函数. 若对每个,Xx∈ 总有),()(lim xfxf n n = 则称}{ n f处处收敛于f . 定理9 设f是一非负可测函数. 则存在单调增加的非负简单函数列}{ n f处处收敛 于f . 证明 对每个,1≥n 令 ∑ = ≥ <≤ ? + ? = n nn n k nfk f k n n xnIxI k xf 2 1 }{ } 22 1 { ).()( 2 1 )( (图1 3是示意图)由于f是非负可测函数, 故每个 n f是非负简单函数. 易知}{ n f是单调 增加的. 对任意, 0 Xx ∈ 若,)( 0 +∞<xf 则当)( 0 xfn >时, . 2 1 )()(0 00 n n xfxf <?≤ 80 故).()(lim 00 xfxf n n = 若,)( 0 +∞=xf 则,)( 0 nxf n = .1≥n 于是.)(lim 0 +∞=xf n n 此时也有).()(lim 00 xfxf n n = 因此}{ n f处处收敛于f . 图1 3 注3 由定理的证明可以看出, 若f还是有界的, 则}{ n f收敛于f是一致的. 事实上, 若,0 Mf ≤≤ 则当Mn ≥时, 对任意,Xx∈ 成立 . 2 1 )()(0 n n xfxf ≤?≤ 因此}{ n f在X上一致收敛于f . 推论10 设f为可测函数. 则存在简单函数列}{ n f处处收敛于f并且 .1, ≥≤ nff n 若f还是有界的, 则上述收敛是一致的. 证明 由于f可测, 故 ?+ ff和都是非负可测函数. 由定理9 , 存在简单函数列 }{ n g和},{ n h 使得., ?+ ↑↑ fhfg nn 令.1, ≥?= nhgf nnn 由定理8知道}{ n f是简 单函数列, 并且 .)(limlim fffhgf nn n n n =?=?= ?+ .fffhgf nnn =+≤+≤ ?+ 若f是有界的, 则 ?+ ff和都是有界的. 由注3知道}{ n g和}{ n h分别一致收敛于 ?+ ff和. 因此}{ n f一致收敛于f . 推论11 设f为一给定函数. 则f为可测函数的充要条件是存在简单函数列}{ n f处 处收敛于f . n k 2 1? n 2 1 21 } 22 1 { EE k f k nn ∪=<≤ ? n k 2 y n )(xf )(xf n n 2 2 x {{ 1 E 2 E O 81 证明 必要性由推论10即得. 由于简单函数是可测函数, 可测函数列的极限是可测 函数, 故充分性成立. 定理9表明, 一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近. 而一 般可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差. 由于非负简单函数往往 较容易处理.因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的. 推论11给出了可测函数 的一个构造性特征. 这个构造性特征也可以作为可测函数的定义. 这两种定义是等价的. 小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数, 讨论了可测函数的基本性质. 可测 函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 本节还介绍了一类特殊的可测函数, 即简单函数. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函 数, 特别是在积分理论中有重要应用. 习 题 习题三, 第1题第17题.