160 习 题 五 1. 设 E 是 1 R 中一族(开的 闭的 半开半闭的)区间的并集. 证明 E 是 Lebesgue 可测集. 2. 设 f 是 1 R 上有界的单调增加函数. 证明 f 在 1 R 上几乎处处可导并且 f ′在 1 R 上 L 可积. 3. 试在 ]1,0[ 上作一严格单调增加的函数 ),(xf 使得在 ]1,0[ 上 a.e..0)( =′ xf 提示 : 利用 5.1 定理 6. 4. 计算函数 xxf sin)( = 在 ]2,0[ π 上的全变差 , 并求 ).( 0 fV x 5. 设 f 和 g 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 证明 fg 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 6. 证明若 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数, 则 f 也是 ],[ ba 上的有界变差函数.举 例说明反过来结论不一定对. 7. 若 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数, 并且 f 在 ],[ ba 上连续, 则 f 是 ],[ ba 上的有 界变差函数. 8. 设 f 是 ],[ ba 上的可微函数并且 f ′有界, 则 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 9. 证明 2 cos)( xxf = 是 ],0[ π 上的有界变差函数 . 10. 设 f 是 ],0[ a 上的有界变差函数 , ).0)0(()( 1 )( 0 == ∫ Fdttf x xF x 证明 F 是 ],0[ a 上的有界变差函数 . 提示 : 先设 f 是单调增加的 . 11. 设 }{ n f 是 ],[ ba 上的一列有界变差函数 , 使得 ),1()( ≥≤ nMfV n b a 并且 ].,[),()(lim baxxfxf n n ∈= ∞→ 证明 ],[ baVf ∈ 并且 .)( MfV b a ≤ 12. 证明 : 函数 f 在 ],[ ba 上是有界变差的当且仅当存在 ],[ ba 上的有界增函数 ? , 使得当 byxa ≤<≤ 时 , ).()()()( xyxfyf ?? ?≤? 13. 证明函数 ? ? ? ? ? = ≤<? = .00 , 2 1 0, ln 1 )( x x xxf 当 当 在 ] 2 1 ,0[ 是连续的有界变差的 . 但 f 在 ] 2 1 ,0[ 上不满足任何 0>α 阶的 Lipschitz 条件 . 即 161 不存在常数 ,0>M 使得对任意 ], 2 1 ,0[, ∈yx 成立 .)()( α yxMyfxf ?≤? 14. 设 f 是 ],[ ba 上的连续函数, g 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 则成立 ).()(sup)()( gVxfxdgxf b a bxa b a ≤≤ ≤ ∫ 15. 设 f 在 ],[ dc 上满足 Lipschitz 条件 , g 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , 并且 .)( dxgc ≤≤ 则复合函数 ))(( xgf 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 16. 设 f 是 ],[ dc 上的绝对连续函数 , g 是 ],[ ba 上严格增加的绝对连续函数 , 并且 .)( dxgc ≤≤ 则复合函数 ))(( xgf 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 17. 设 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , .1≥p 则 p f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 18. 设 gf , 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 证明 fg 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 19. 设 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , 并且在 ],[ ba 上 a.e..0)( =′ xf 证明 f 在 ],[ ba 上为常数 . 20. 利用 5.3 定理 5 证明 , 若 f 是 ],[ ba 上的 L 可积函数 , 并且对任意 ,bca ≤≤ 恒 有 ,0= ∫ c a fdx 则 a.e..0=f 21. 设 }{ n f 是 ],[ ba 上的一列绝对连续函数 , 并且存在 ],[ ba 上的可积函数 ),(xF 使得 a.e..)1( ≥≤′ nFf n 又设 a.e..),()(lim),()(lim xgxfxfxf n n n n =′= 证明 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , 并且 a.e..gf =′ 22. 设 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , 并且 a.e..,0)( ≥′ xf 证明 f 是单调增加的 . 23. 设 f 是 ],[ ba 上的单调增加函数 . 证明 f 可以分解成 ,hgf += 其中 g 是单 调增加的绝对连续函数 , h是单调增加的函数并且 a.e..0=′h 24. 设 f 是 ],[ ba 上的单调增加函数 , 并且成立 ).()()( afbfdxxf b a ?=′ ∫ 则 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 25. 证明函数 )0)0(( 1 sin)( 2 2 == f x xxf 在 ]1,0[ 上处处可导 , 但不是绝对连续的 . 提示 : 考察 )(xf ′ 在 ]1,0[ 上的可积性 . 26. 证明 : 定义在区间 ],[ ba 上的实值函数满足 Lipschitz 条件当且仅当它是有界可 测函数的不定积分 . 27. 设 ),2,1(L=nf n 是 ],[ ba 上的单调增加的绝对连续函数 , 并且级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf 在 162 ],[ ba 处处收敛 . 证明 =)(xf ∑ ∞ =1 )( n n xf 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 28. 设 }{ n f 是 ],[ ba 上的一列绝对连续函数 , 使得 ,)( 1 +∞<′ ∑ ∫ ∞ =n b a n dxxf 并且级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf 在 ],[ ba 中某点 c收敛 . 证明 ).i( 级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf 在 ],[ ba 上处处收敛 . ).ii( =)(xf ∑ ∞ =1 )( n n xf 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , 并且成立 a.e..)()( 1 ∑ ∞ = ′=′ n n xfxf 提示 : 利用定理 6.3.7 和第四章习题第 18 题的结论 . 29. 设 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 . 证明 ).()( fVdxxf b a b a =′ ∫ 30. 设 f 是 ],[ ba 上的绝对连续函数 , ],[ baE ? 并且 .0)( =Em 证明 .0))(( =Efm 提示 : 利用定理 2.3.6 和直线上开集的构造定理 .