120 4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 教学要点Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间),,,( μFX C是可积函数类)(μL的一个子类. 若对任意可积 函数)(μLf ∈和,0>ε 存在一个∈g ,C 使得,εμ <? ∫ dgf 则称可积函数可以用 C中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理1 设),,( μFX是一个测度空间, ).(μLf ∈ 则对任意,0>ε 存在)(μL中的 简单函数,g 使得.εμ <? ∫ dgf 证明 设).(μLf ∈ 由推论3.1.10, 存在一个简单函数列},{ n f 使得}{ n f处处收敛 于f , 并且.1, ≥≤ nff n 由于f可积, 因此每个 n f都可积. 注意到fff n 2≤?并 且),(0 ∞→→? nff n 利用控制收敛定理得到 .0lim ∫ =? ∞→ μdff n n 因此存在一个, 0 n 使得. 0 εμ <? ∫ dff n 令 0 n fg =即知定理成立. Lebesgue积分的逼近 设E是 n R中的L可测集. 用)(EL表示E上的Lebesgue可 积函数的全体. 定理 2 设E是 n R上的一个Lebesgue可测集, ).(ELf ∈ 则对任意,0>ε 存在 n R上具有紧支集的连续函数,g 使得.ε<? ∫ E dxgf 证明 设).(ELf ∈ 先设设 A If = 是特征函数,其中EA?并且.)( +∞<Am 对任 意,0>ε 由2.3定理6, 存在开集G和有界闭集,F 使得,GAF ?? 使得 .)( ε<?FGm 由于F是有界集, 因此存在半径充分大的开球),0( rU使得 121 ).,0( rUF ? 令,)),0(( c rUGB ∩= 则B是闭集并且.?=∩BF 由3.3引理3, 存 在 n R上的连续函数,g 使得,1= F g .0= B g 则g是 n R上具有紧支集的连续函数. 注 意到,1)(0 ≤≤ xg 我们有 .)( )()( ε<?≤ ?+?≤ += ?+?=? ∫∫ ∫∫∫ ?? ? FGm FAmAEm dxfdxg dxgfdxgfdxgf FAAE AAEE 一般情形, 由定理1, 存在)(EL中的简单函数,? 使得. 2 ε ? <? ∫ E dxf 设 . 1 i A k i i Ia ∑ = =? 不妨设,0≠ i a 则,)( +∞< i Am .,,1 ki L= 由上面所证的结果, 对每个 ,,,1 ki L= 存在 n R上具有紧支集的连续函数, i g 使得. 2 i E iA ak dxgI i ε <? ∫ 令 , 1 ∑ = = k i ii gag 则g是 n R上具有紧支集的连续函数. 我们得到 . 222 1 ε εεε ?? =+<?+< ?+?=? ∑ ∫ ∫∫∫ = k i E iAi EEE dxgIa dxgdxfdxgf i 设],[ ba是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i Iaf ∑ = = 1 的函数为],[ ba上的阶梯函数, 其中 n JJ ,, 1 为],[ ba的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯 函数属于.],[ baL 定理 3 设],[ baLf ∈ . 则对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个阶梯函数g , 使得 .ε<? ∫ b a dxgf 证明 设).(ELf ∈ 类似于定理2的证明, 我们不妨设, A If = 其中],[ baA?并 且.)( +∞<Am 由2.3例3, 对任意,0>ε存在开集,U U是有限个开区间的并集, 使 得..))()(( ε<?∪? AUUAm 显然我们可以设),,( baU ? 令, U Ig = 则g是阶梯函 数. 并且 .)()( )()( ε<?+?= ?≤? ∫∫ ?∪? AUmUAm dxIIdxgf AUUA UA b a 122 定理4 设∈f ). 1 (RL 则对任意,0>ε 存在 1 R上的一个具有紧支集的阶梯函数,g 使得 ∫ <? 1 . R εdxgf 证明 设∈f ). 1 (RL 类似于定理2的证明, 我们不妨设, A If =其中.)( +∞<Am 令.,2,1],,[ L=?∩= kkkAA k 则 ↑k A并且. 1 U ∞ = = k k AA 于是).()(lim AmAm k k = ∞→ 因 此对任意,0>ε 存在 0 k使得. 2 )()( 0 ε <? k AmAm 令. 0 k A I=? 则].,[ kkL ?∈? 由定 理3, 存在],[ kk?上的阶梯函数,g 使得. 2 ε ? <? ∫ ? k k dxg 延拓g的定义使得g在 c kk ],[?上为零. 则g是为 1 R上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 . 22 )()( 0 111 ε εε ? ?? =+<?+?= ?+?≤? ∫ ∫∫∫ ? k k k dxgAmAm dxgdxfdxgf RRR 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例1 (Riemann-Lebesgue引理)设].,[ baLf ∈ 则 .0cos)(lim = ∫ ∞→ b an nxdxxf (1) .0sin)(lim = ∫ ∞→ b an nxdxxf (2) 证明 先设 ),( βα If = , 其中].,[),( ba?βα 则 .,0 sinsin cos)(cos)( ∞→→ ? = = ∫∫ n n nn nxdxxfnxdxxf b a αβ β α 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数,f (1)式成立. 现在设].,[ baLf ∈ 对任意 ,0>ε 由定理3, 存在一个阶梯函数g , 使得. 2 ε <? ∫ b a dxgf 由上面证明的结果, 存在 ,0>N 使得当Nn >时, . 2 cos)( ε < ∫ b a nxdxxg 于是当Nn >时有 .. 2 cos)(cos))()((cos)( ε ε <+?≤ +?≤ ∫ ∫∫∫ b a b a b a b a dxgf nxdxxgnxdxxgxfnxdxxf 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. 例2 设f是 n R 上的L可积函数, 则 123 .0)()(lim 0 =?+ ∫ → n dxxftxf t R (3) 证明 先设f是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球),,0( rS使得当),0( rSx?时 .0=f 由于f在),0( rS上连续, 因此f在),0( rS上一致连续. 因此对任意,0>ε 存在 ,0>δ 使得当),,0(, rSxx ∈′′′ δ<′′′ ),( xxd时, 成立.)()( ε<′′?′ xfxf 记 ).()( txfxf t += 于是当δ<),0( td时, 我们有 )).,0(( ),0( rSmdxffdxff rS ttn ε<?=? ∫∫ R 这表明当f是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理2, 存在 n R上的具有 紧支集的连续函数g , 使得 ∫ <? n dxgf R . 3 ε 由上面所证, 存在,0>δ 使得当 δ<),0( td时, ∫ <? n dxgg t R . 3 ε 由4.1例4, 有 . 3 ε <?=? ∫∫ nn dxgfdxgf tt RR 于是当δ<),0( td时, 我们有 . 333 ε εεε =++< ?+?+?≤? ∫∫∫∫ nnnn dxfgdxggdxgfdxff tttt RRRR 因此(3)成立. 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 本节的结果表明Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用 积分的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例 1和例2说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第40题第42题.