113 4.4 Lebesgue积分与Riemann积分 教学目的 本节讨论直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)与 Lebesgue积分之间的关系.同时给出Riemann可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数Riemann可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广. 利用 Lebesgue积分的性质, 可以解决一些Riemann积分的问题. Riemann积分的回顾 先回顾一下Riemann积分的定义. 设],[ ba是直线上的一个有 界闭区间. 一个有限序列},,,{ 10 k xxxPL=称为是],[ ba的一个分割, 若 . 10 bxxxa k =<<<=L 设P和Q是],[ ba的两个分割. 如果,QP ? 则称Q是P的 一个加细. 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数, k ii xP 0 }{ = =是],[ ba的一个分割. 对每个 ,,,1 kiL= 令 ]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{ 11 iiiiii xxxxfMxxxxfm ?? ∈=∈= f关于分割P的Darboux下和与Darboux上和分别定义为 .)(),(,)(),( 1 1 1 1 ∑∑ = ? = ? ?=?= k i iii k i iii xxMPfSxxmPfs ),( Pfs和),( PfS的几何意义分别是曲线)(xfy =的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯 形与外接阶梯形面积(见引言的插图). 显然对],[ ba的任意一个分割P , 总有 ).,(),( PfSPfs ≤ 又容易验证以下实事: (1) .若 1 P和 2 P是],[ ba的两个分割, 并且 2 P是 1 P的加细, 则有 ),,(),( 21 PfsPfs ≤ ).,(),( 12 PfSPfS ≤ (2).对],[ ba的任意两个分割 1 P和 2 P ,总有 ).,(),( 21 PfSPfs ≤ 因此当P取遍],[ ba的所有分割时, f的下和),( Pfs的全体所成的数集上有界, 上和 ),( PfS的全体所成的数集下有界.令 },],[:),(sup{)(的分割是baPPfsfI = }.],[:),(inf{)(的分割是baPPfSfI = 分别称I和I为f的下积分和上积分. 如果,II = 则称f在],[ ba上是Riemann可 积的, 并且称I和I的公共值为f在],[ ba上的Riemann积分(简称为R积分). 为避免与 114 Lebesgue积分混淆, 下面将f在],[ ba上的Riemann积分和Lebesgue积分分别暂记为 ∫ b a fdx)R(和.)L( ∫ b a fdx 引理1 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数. 则以下三项是等价的; ).i( f在],[ ba上是Riemann可积的 ).ii(对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割P , 使得 .),(),( ε<? PfsPfS ).iii(存在],[ ba的一列分割},{ n P 使得 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 证明 ).ii()i( ? 设f在],[ ba上是Riemann可积的.记=I .)R( ∫ b a fdx 则对任意 ,0>ε 存在],[ ba的两个分割 1 P和 2 P使得 , 2 ),( 1 ε <? PfsI . 2 ),( 2 ε <?IPfS 令. 21 PPP ∪= 则P是 1 P和 2 P的加细. 于是我们有 .)),(()),((),(),(),(),( 1212 ε<?+?≤?≤? PfsIIPfSPfsPfSPfsPfS ).iii()ii( ?显然 ).i()iii( ?设 n P是],[ ba的一列分割,使得 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 对任意,0>ε 取 0 n使得 .),(),( 00 ε<? nn PfsPfS 于是 ε<?≤? ),(),( 00 nn PfsPfSII . 由于0>ε是任意的,故必有.II =即f在],[ ba上是Riemann可积的. Riemann可积的充要条件与两种积分的关系 定理2 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数. 则 ).i( f在],[ ba上Riemann可积的充要条件是f在],[ ba上几乎处处连续(即f的不 连续点的全体是一个Lebesgue零测度集). ).ii(若f是Riemann可积的, 则f是Lebesgue可积的, 并且两种积分相等, 即 = ∫ b a fdx)R(.)L( ∫ b a fdx 证明 设f在],[ ba上是Riemann可积的. 由引理1知存在],[ ba的一列分割 )1}(,{ 0 ≥= nxxP n kn L使得 115 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 我们可适当选取上面的分割序列}{ n P , 使得 1+n P是 n P的加细. 对每个自然数,1≥n 令 ]},,[:)(inf{ 1 )( ii n i xxxxfm ? ∈= ]}.,[:)(sup{ 1 )( ii n i xxxxfM ? ∈= .,,1 n kiL= 再对每个自然数,1≥n 令 .)(,)( 1 ],( )( 1 ],( )( 11 ∑∑ == ?? +=+= n ii n ii k i xx n in k i xx n in IMafhImafg 则}{ n g和}{ n h都是简单函数列, 并且}{ n g单调增加, }{ n h单调减少.而且满足 .1, ≥≤≤ nhfg nn 再令.lim,lim n n n n hhgg ∞→∞→ == 由于f是有界的, 故g和h都是有界 可测函数, 并且成立 ].,[),()()( baxxhxfxg ∈≤≤ (1) 由控制收敛定理和 n g与 n h的定义, 我们有 ),,(lim)L(lim)L( n n b a n n b a Pfsdxggdx ∞←∞→ == ∫∫ (2) ).,(lim)L(lim)L( n n b a n n b a PfSdxhhdx ∞←∞→ == ∫∫ (3) 由于,0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 结合(2)与(3)得到 .0)()L( =? ∫ b a dxgh 注意到,hg ≤ 由4.2定理7和上式得到a.e..hg = 因此若令},{ hgA ≠= 则 .0)( =Am 再设B是所有分割 n P的分点的全体. 则B是可数集. 因此.0)( =∪BAm 容 易知道当BAx ∪?时, f在x连续. 因此f在],[ ba上几乎处处连续. 故)i(的必要性得 证. 由于a.e.,hg = 结合)1(知道a.e..gf = 故f是L可测的. 又由于f在],[ ba上是 有界的, 因此f在],[ ba上是Lebesgue可积的. 又由于当∞→n时, .0),(),(),()R(0 →?≤?≤ ∫ nnn b a PfsPfSPfsfdx 因此 ∫ = ∞→ b a n n fdxPfs .)R(),(lim 再结合(2)我们有 ∫∫∫ === ∞→ b a n n b a b a fdxPfsgdxfdx .)R(),(lim)L()L( 故)ii(得证. 往证)i(的充分性. 设f在],[ ba上几乎处处连续. 又设}{ n P是],[ ba的一列分割, 其 中}{ n P把],[ ba分成 n 2个等长的小区间. 按前述方式定义函数g和.h 显然当x是f的 连续点时, ).()()( xhxfxg == 因此a.e..hg = 由(2)与(3)得到 0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 116 由引理1知道f在],[ ba上是Riemann可积的. 故)i(的充分性得证. 定理2给出了函数f在],[ ba上Riemann可积的一个简单明了的判别条件, 同时也 表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广, 并且Lebesgue积分的可积函数类比Riemann 积分的可积函数类大. 在4.1中我们曾指出]1,0[上的Dirichlet函数)(xD是L可积的. 但 由于)(xD在]1,0[上处处不连续, 由定理2知道)(xD不是Riemann可积的. 这个例子表 明Lebesgue积分的可积函数类严格地大于Riemann积分的可积函数类. 广义Riemann积分与Lebesgue积分的关系 下面的定理仅以无穷区间),[ ∞+a的广义Riemann积分为例. 对其他无穷区间上的 广义Riemann积分和无界函数的广义Riemann积分也有类似的结果. 定理3 设f是定义在),[ ∞+a上的实值函数, 并且对任意,ab > f在],[ ba上是有 界的几乎处处连续的. 则有 .)L()R( ∫∫ +∞+∞ = aa dxfdxf (4) 因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分 ∫ +∞ a fdx)R(绝对收敛. 并 且当 ∫ +∞ a fdx)R(绝对收敛时, 成立 .)L()R( ∫∫ +∞+∞ = aa fdxfdx 证明 由定理2知道对任意,ab > f在],[ ba上是Riemann可积的. 对每个,an ≥ 令 . ],[ nan Iff = 则.ff n ↑ 由于每个 n f是L可测的, 因此f是L可测的. 由单调收敛定 理和定理2, 我们有 .)R()R(lim )L(lim)L(lim)L( ∫∫ ∫∫∫ ∞+ ∞∞← ∞→ +∞ ∞→ +∞ == == a n an n ana n na dxfdxf dxfdxfdxf (5) 故(4)成立. 因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分 ∫ +∞ a fdx)R( 绝对收敛.. 当 ∫ +∞ a fdx)R(绝对收敛时, f在),[ ∞+a上是Lebesgue可积的. 由于 ff n ≤并且ff n →处处成立, 由控制收敛定理和定理2, 我们有 .)R()R(lim )L(lim)L(lim)L( ∫∫ ∫∫∫ ∞+ ∞∞← ∞→ +∞ ∞→ +∞ == == a n an n ana n na fdxfdx fdxdxffdx (6) 定理证毕. 定理2和定理3表明, 若f在],[ ba上Riemann可积, 或者f在有界或无界区间上 的广义Riemann积分绝对收敛, 则f是Lebesgue可积的并且这两种积分值相等. 在这种 117 情况下,此时f的Riemann积分可视为Lebesgue积分, 因而可以应用Lebesgue积分的性 质例如极限定理等. 定理2和定理3也表明, 若f在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后f在区间上的R积分和L积分都用 ∫ b a fdx和 ∫ +∞ a fdx等表 示, 不会发生混淆. 例1 设. sin )( x x xf = 在数学分析课程中熟知, f在),0[ ∞+上的广义Riemann积 分是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理3, f在),0[ ∞+上不是L可积的. 例2 证明. 2 )1( sin lim 0 2 π = + ∫ ∞+ ∞→ dx xx n x n n 证明 令 , )1( sin )( 2 xx n x n xf n + = .1≥n . 1 1 )( 2 x xg + = 则.1, ≥≤ ngf n 由于广义Riemann积分 ∫ +∞ 0 gdx收敛. 由定理3知道g在),0[ ∞+上是 L可积的. 因此每个 n f是L可积的. 由定理3, ∫ +∞ 0 dxf n 可以视为Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → ).( ∞→n 利用控制收敛定理得到 . 2 arctg 1 1 )1( sin lim 0 0 2 0 2 π == + = + ∞+ ∞+∞+ ∞→ ∫∫ xdx x dx xx n x n n 例3 证明 . 1 1 1 ln 1 1 2 1 0 ∑ ∫ ∞ = = ? n n dx xx 证明 由泰勒级数知道 .10, 1 1 ln 1 1 1 <<= ? ∑ ∞ = ? x n x xx n n (7) (6)式在0=x和1=x不成立. 但,0})1,0({ =m 故(7)式在]1,0[上几乎处处成立. 由于在 ]1,0[上 ,0 1 1 ln 1 )( ≥ ? = xx xf .0)( 1 ≥= ? n x xf n n 由定理3知道它们的积分都可以视为Lebesgue积分. 利用推论3我们有 118 . 1 1 1 ln 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ∑∑ ∫∫ ∑ ∫ ∞ = ∞ = ?∞ = ? === ? nn n n n n dx n x dx n x dx xx Riemann-Stieltjes积分 下面简单介绍与Riemann-Stieltjes积分相应的结果. 设)(xα是],[ ba上的单调增加 的函数, )(xf是定义在有界闭区间],[ ba上的有界实值函数. 又设},,,{ 10 k xxxPL=是 ],[ ba的一个分割. 对每个,,,1 kiL= 令 ,]},[:)(inf{ 1 iii xxxxfm ? ∈= ]}.,[:)(sup{ 1 iii xxxxfM ? ∈= f关于分割P的Darboux下和与Darboux上和分别定义为 ).)()((),(,))()((),( 1 1 1 1 ∑∑ = ? = ? ?=?= k i iii k i iii xxMPfSxxmPfs αααα 定义f关于α的下积分I和上积分I分别为 },],[:),(sup{)(的分割是baPPfsfI = }.],[:),(inf{)(的分割是baPPfSfI = 如果=I I , 则称f在],[ ba上关于α是Riemann-Stieltjes可积的(简称为R-S可积的), 并 称I和I公共值为f在],[ ba上关于α的Riemann-Stieltjes积分(简称为R-S积分), 记为 .)( ∫ b a xdf α 显然, Riemann积分是R-S积分当xx =)(α时的特殊情形. 关于可积性, 不难证明如 下结果, 其证明从略. 定理4 若f是],[ ba上的连续函数, 则对任意单调增加的函数α , f关于α是R-S 可积的. 设α是],[ ba上的右连续单调增加的函数, α μ是由)(xα在],[ ba上导出的R-S测度. 将定理2的证明作适当的修改,可以证明如下定理. 定理5 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数, α是],[ ba上的单调增加的右连续 函数. 则 )i( f在],[ ba上关于α是R-S可积的当且仅当f在],[ ba上关 α μ几乎处处连续. )ii(若f关于α是R-S可积的, 则f关于α是L-S可积的, 并且两种积分相等, 即 = ∫ b a xfd )(α . ∫ b a fd α μ 小 结 本节讨论了直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)与Lebesgue积 分之间的关系. 同时给出Riemann可积函数的一个简明的充要条件. 定理2表明Lebesgue 119 积分是Riemann积分的推广. 定理3表明当广义Riemann积分绝对收敛时, 广义Riemann 积分与Lebesgue积分相等. 利用以上结果和Lebesgue积分的性质, 可以解决一些Riemann 积分的问题. 习 题 习题四, 第26题第38题.