前 言
本课程是为 数学系本科 高年级学生 开设的. 本课程讲述一 般空间上的 测度论的基 础
知识和欧氏空间
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R 上的 Lebesgue 测度与积分理论.
现代数学的 许多分支如 概率论, 泛函分析, 群上调和分析 等越来越多 的用到一般 空
间上的 测度 理论. 对数 学专业 的学 生而言 , 掌 握一般 空间 上的测 度论 的基础 知识 , 已经
变得越来越重要. 因此 本课程将一般空间上的测度论和
n
R 上的 Lebesgue 积分结合起来
讲述, 交叉进 行. 一般是每 章先介绍一般空间上的概念与定理, 然后将
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R 上的 Lebesgue
测度与积分作为特例, 加以重点介绍. 这 样 , 既学习了 Lebesgue 测度与 积分理论, 也 学
习了抽 象空 间上的 测度 论. 从 而提 高了学 习的 效率. 这样 处理的 另一 个好处 是会 使得整
个理论 变得 更统一 , 更 简洁, 而且 从总体 上说 也不会 增加 太多的 学习 负担. 当然 , 由于
增加了 抽象 性和一 般性 , 在 某 些 地 方 可能会 稍稍 增加一 点难 度. 但 这样 的处理 方式 , 在
学习实 变函 数论的 同时 , 也 打 下 了 测 度论的 基础 , 起 到 了 事 半 功倍的 效果 . 因 此 付 出 一
些代价也是值得的.
本课程在内 容安排上, 力求精炼, 突出重点, 结构紧凑, 便于学生对 主要内容获 得
清晰完 整的 印象. 叙述 上尽量 做到 清晰明 了, 定理的 证明 过程详 略适 中, 能 够简 化的尽
量简化 , 有 些地方 适当 留给学 生一 些思考 的余 地. 本 课程 配备了 适量 的习题 , 学 生通过
完成习 题, 可以巩 固和 加深对 教材 内容的 理解 , 掌 握 基 本 的 解体方 法. 课程中 还设 置了
若干思考题,希望它们 对于培养学生的独立思考能力和探索精神起到一定的作用。