154
5.3 绝对连续函数与不定积分
教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿
-莱布尼兹公式.
教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式.
定义1 设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 若对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对
],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=i
ii
ab
1
)(时, 成立
,)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
则称)(xf是],[ ba上的绝对连续函数.
关于绝对连续函数显然成立如下事实:
).i( 绝对连续函数是连续函数.
).ii( 若gf ,是绝对连续函数, α是实数. 则fα和gf +是绝对连续函数.
例1设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数. 则f的不定积分
CdttfxF
x
a
+=
∫
)()(
(其中C是任意常数)是],[ ba上的绝对连续函数.
证明 由积分的绝对连续性( 4.2定理9), 对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba中
的任意可测集A , 当δ<)(Am时,
∫
<
A
dttf .)( ε 于是对],[ ba上的任意有限个互不相
交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时, 令,),(
1
U
n
i
ii
baA
=
= 则
.)()(
1
δ<?=
∑
=
n
i
ii
abAm于是
.)()()()()(
111
ε<=≤=?
∫
∑
∫
∑
∫
∑
===
A
n
i
b
a
n
i
b
a
n
i
ii
dttfdttfdttfaFbF
i
i
i
i
因此F是],[ ba上的绝对连续函数.
例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件, 则f是],[ ba上的绝对连续函数.
证明 对任意,0>ε 令
M
ε
δ = ( M是Lipschitz常数). 则当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,
155
.)()()(
11
ε<?≤?
∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii
abMafbf
故f是],[ ba上的绝对连续函数.
定理2 绝对连续函数是有界变差函数.
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 则对,1=ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任
意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时, 成立
.1)()(
1
<?
∑
=
n
i
ii
afbf 取自然数k使得.δ<
?
k
ab
设bxxa
n
=<<= L
0
是],[ ba的
一个分割, 它将区间],[ ba分成k等分. 对],[
1 ii
xx
?
任一分割,
01 imi
xttx =<<=
?
L 由
于,)(
1
1
1
δ<?=?
?
=
?∑ ii
m
i
ii
xxtt因此
.1)()(),,(
1
10
≤?=
∑
=
?
m
i
iimf
fftfttV L
于是.,,1,1)(
1
kifV
i
i
x
x
L=≤
?
利用5.2定理2, 得到
.)()(
1
1
kfVfV
k
i
x
x
b
a
i
i
≤=
∑
=
?
因此f是],[ ba上的有界变差函数. 定理证毕.
推论3 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 则f在],[ ba上几乎处处可导, 并且f ′是
Lebesgue可积的.
证明 利用推论4即知推论成立.
定理4 若f是],[ ba上的绝对连续函数, 则f的变差函数)( fV
x
a
也是绝对连续的.
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 由定理2, f是],[ ba上的有界变差函数. 因
此函数)( fV
x
a
有意义. 对任意,0>ε 设δ是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设
n
iii
ba
1
)},{(
=
是],[ ba上的互不相交的开区间使得δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)( . 对每个,,,1 ni L= 设
i
i
k
ii
i
bxxxa
i
=<<<=
)()(
1
)(
0
L
是),(
ii
ba的任一分割. 则},,1,,,1),,{(
1
nikjxx
i
i
j
i
j
LL ==
?
是],[ ba上的限个互不相
156
交的开区间, 并且这些小区间的长度之和
.)()(
111
)(
1
)(
δ<?=?
∑∑∑
===
?
n
i
n
i
ii
k
j
i
j
i
j
abxx
i
由f的绝对连续性得到
.)()(),,(
11
)(
1
)(
1
)()(
1
)(
0
ε<?=
∑∑∑
==
?
=
n
i
n
j
i
j
i
j
n
i
i
n
ii
f
i
i
xfxfxxxV L
对),(
ii
ba ( .,,1 ni L= )的所有分割取上确界得到
.)()()(
11
ε≤=?
∑∑
==
n
i
b
a
n
i
a
a
b
a
fVfVfV
i
i
ii
这表明)( fV
x
a
是],[ ba上的绝对连续函数.
定理5 设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数. 则f的不定积分
CdttfxF
x
a
+=
∫
)()(
在],[ ba上几乎处处可导并且a.e..)()( xfxF =′
证明 由例1知道)(xF是],[ ba上的绝对连续函数. 因而由推论3知道)(xF在
],[ ba上几乎处处可导. 往证a.e..)()( xfxF =′先证明若?是],[ ba上的Lebesgue可积
函数, 则成立
.)()(
∫∫∫
≤
′
?
?
?
?
?
?
b
a
b
a
x
a
dxxdxdtt ?? (1)
事实上, 由于
∫
+
x
a
dtt)(?和
∫
?
x
a
dtt)(?都是单调增加的函数, 5.1定理5, 我们有
.)()(
∫∫∫
++
≤
′
?
?
?
?
?
?
b
a
b
a
x
a
dxxdxdtt ??
.)()(
∫∫∫
??
≤
′
?
?
?
?
?
?
b
a
b
a
x
a
dxxdxdtt ??
因此
.)()()(
)()()(
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
=+≤
′
?
?
?
?
?
?
+
′
?
?
?
?
?
?
≤
′
?
?
?
?
?
?
?+
+?+
b
a
b
a
b
a
b
a
x
a
b
a
x
a
b
a
x
a
dxxdxxdxx
dxdttdxdttdxdtt
???
???
157
即(1)成立. 由4.5定理2, 对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个连续函数g , 使得
.ε<?
∫
b
a
dtgf 由数学分析中熟知的定理知道).()( xgdttg
x
a
=
′
?
?
?
?
?
?
∫
对函数gf ?应用
(2)式, 我们有
.2)()(2
)()())()((
)()())()((
)()(
ε<?≤
?+
′
?
?
?
?
?
?
?≤
?+
′
?
?
?
?
?
?
?=
?
′
?
?
?
?
?
?
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫
b
a
b
a
b
a
x
a
b
a
x
a
b
a
x
a
dxxgxf
dxxfxgdxdttgtf
dxxfxgdttgtf
dxxfdttf
由0>ε的任意性我们得到.0)()( =?
′
?
?
?
?
?
?
∫∫
b
a
x
a
dxxfdttf 因此
a.e..0)()( =?
′
?
?
?
?
?
?
∫
xfdttf
x
a
此即a.e..)()( xfxF =′ .
定理6 设f是],[ ba上的绝对连续函数, 并且在],[ ba上0)( =′ xf a.e. 则f在
],[ ba上恒为常数.
证明 先证明).()( bfaf = 对任意0,>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限
个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时, 成立
.)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
设},0)(:],[{
0
=′∈= xfbaxE ,],[
0
EbaE ?= 则.0=mE 对于上面的,δ 由2.3
定理6(i), 存在开集,EG ? 使得.<δmG由直线使开集的构造定理, 存在一列开区间
)},,{(
ii
ba 使得
U
i
ii
baG ).,(=
另一方面, 由于当,],[
0
EGba ?? 故对任意,],[ Gbay ?∈ .0)( =′ yf于是存在
相应的,0>h 使得当),( hyhyy +?∈′时,
158
.)()( yyyfyf ?′<?′ ε
这样开区间族}],[),,({)},{( Gbayhyhyba
ii
?∈+?∪构成了],[ ba的一个开覆盖. 由
有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间, 不放设为
),,(,),,(
11 kk
baba L ),(,),,(
1111 llll
hyhyhyhy +?+? L
仍然覆盖],[ ba . 我们可以在点
lkk
yybaba ,,,,,,,
111
LL之外再加上一些分点, 构成
],[ ba的一个分点组
,
10
bxxxa
n
=<<<= L
使得对任何给定的小区间),(
1 ii
xx
?
, 不外乎出现以下两种情况:
(1). 对某个,j ).,(),(
1 jjii
baxx ?
?
(2). 对某个,j ),(),(
1 jjjii
yhyxx ??
?
或),(),(
1 jjjii
hyyxx +?
?
.
于是我们有
).(
)()()()(
)()()()(0
)2(
1
)2(
1
)1(
1
1
1
abxx
xfxfxfxf
xfxfafbf
ii
iiii
n
i
ii
?+≤?+<
?+?≤
?≤?≤
∑
∑∑
∑
?
??
=
?
εεεε
其中
∑
)1(
表示对出现情况(1)的),(
1 ii
xx
?
求和,
∑
)2(
表示对出现情况(2)的),(
1 ii
xx
?
求
和. 由0>ε的任意性得到).()( bfaf = 对任意],,[ bax∈ 用],[ xa代替],[ ba , 同样可
以得到).()( afxf =因此f在],[ ba上恒为常数.
定理7 (微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼
兹公式
],[,)()()( baxdttfafxf
x
a
∈′=?
∫
(2)
的充要条件是)(xf是绝对连续函数.
证明 由例1即知必要性成立. 往证充分性. 设)(xf是绝对连续的. 由推论3, f在
],[ ba上几乎处处可导, 并且f ′是Lebesgue可积的. 令
,)()()(
∫
′?=
x
a
dttfxfx? .],[ bax∈ (4)
由定理5知道, 在],[ ba上0)( =′ x? a.e.. 根据定理6, )(x?在],[ ba使恒为常数. 因此
159
).()()( afax ==?? 代入(4)即得(2).
推论8 (分部积分公式)设gf ,是],[ ba上的绝对连续函数. 则成立
.
∫∫
′?=′
b
a
b
a
b
a
dxfgfgdxgf (5)
证明 容易知道fg是],[ ba上的绝对连续函数. 利用定理7, 我们有
.)()()()()( dxfgdxgfdxfgagafbgbf
b
a
b
a
b
a
∫∫∫
′+′=′=?
由此即得(5). 推论证毕.
小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分. 这
使得Lebesgue积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证.
习 题 习题五, 第15题第30题.
