148 5.2 有界变差函数 教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定 理. 定义 1 设 f 是定义在区间 ],[ ba 上的实值函数. 对 ],[ ba 的任一分割 ,}{ 0 n ii xP = = 其 中 n ii x 0 }{ = 满足 , 10 bxxxa n =<<<=L 作和式: .)()(),( 1 10 ∑ = ? ?= n i iinf xfxfxxVL 称 ),( 0 nf xxVL为 f 关于分割 n ii x 0 }{ = 的 变差 . 令 )( fV b a }.],[},,{:),,(sup{ 00 分割是 baxxxxV nnf LL= 称 )( fV b a 为 f 在 ],[ ba 上的 全变差 . 若 ,)( +∞<fV b a 则称 f 是 ],[ ba 上的 有界变差函数 . ],[ ba 上的有界变差函数的全体记为 ].,[ baV 例1 区间 ],[ ba 上的单调函数是有界变差函数. 事实上, 不妨设 f 在 ],[ ba 上是单调增加. 则对 ],[ ba 的任一分割 ,}{ 0 n ii x = 我们有 .).()())()(()()(),( 1 1 1 10 afbfxfxfxfxfxxV n i ii n i iinf ?=?=?= ∑∑ = ? = ? L 因此 ).()()( afbffV b a ?= 所以 ∈f ].,[ baV 例2 若 f 在 ],[ ba 上满足 Lipschitz 条件 : ].,[,,)()( 21221 baxxxxMxfxf i ∈?≤? 其中 0>M 为一常数. 则 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 证明 对 ],[ ba 的任一分割 ,}{ 0 n ii x = 我们有 ).()( )()(),( 1 1 1 1 1 10 abMxxM xxMxfxfxxV n i ii n i ii n i iinf ?=?= ?≤?= ∑ ∑∑ = ? = ? = ? L 因此 ).()( abMfV b a ?≤ 所以 ∈f ].,[ baV 149 下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数. 例3 设 ? ? ? ? ? = ≤< = .00 ,10 1 sin )( x x x x xf 若 若 则 f 是 ]1,0[ 上的连续函数. 但 f 在 ]1,0[ 上不是有界变差函数. 事实上, 对任意 ,1≥n 作 ]1,0[ 的分割 n ii x 0 }{ = 使得 .1,,1,] 2 )[(,1,0 1 0 ?=+?=== ? niinxxx in L π π 则 ∑ ∑ ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? + +?? > ?= 1 2 1 1 10 2 )( 1 2 )1( 1 1 sin 1 sin),( n i n i i i i inf inin x x x xxxV π π π π L ∑ ∑ ? = ? = + > ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + +? = 2 1 2 1 )1( 1 )( 2 1 2 )1( 1 n k n k k ink kk π π π π π 令 令 ∞→n 知道 .)( +∞=fV b a 因此 f 在 ]1,0[ 不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质: ).i( 若 ∈f ,],[ baV 则 f 是有界函数. ).ii( 若 ∈f ,],[ baV , 1 R∈α 则 ∈fα ,],[ baV 并且 ).()( fVfV b a b a αα ≤ ).iii( 若 ∈gf ,,],[ baV 则 ∈+ gf ,],[ baV 并且 ).()()( gVfVgfV b a b a b a +≤+ (1) ).iv( 若 ∈gf ,,],[ baV 则 ∈gf .],[ baV ).v( 若 ∈f ,],[ baV 则对任意 ,c ,bca << 成立 ).()()( fVfVfV b c c a b a += (2) 证明 我们只证明 )iii( 和 )v( , )i( , )ii( 和 )iv( 的证明留作习题. 150 对 ],[ ba 的任一分割 ,}{ 0 n ii x = 我们有 ∑ = ??+ ??+= n i iiiingf xgxfxgxfxxV 1 110 )()()()(),,(L ).()( )()()()( 1 1 1 1 gVfV xgxgxfxf b a b a n i ii n i ii +≤ ?+?≤ ∑∑ = ? = ? 因此 gf + 是 ],[ ba 上的有界变差函数, 并且(1) 式成立. 故 )iii( 得证. 往证 )v( 成立. 对 ],[ ca 的任一分割 n ii x 0 }{ = 和 ],[ bc 的任一分割 ,}{ 0 m ii x = ′ 将它们合并 后得到 ],[ ba 的一个分割 . 00 bxxcxxa mn =′<<′==<<=LL 我们有 ).(),,( )()()()(),,(),,( 0 1 1 1 100 fVxxV xfxfxfxfxxVxxV b a mf m i ii n i iimfnf ≤′= ′?′++?=′′+ ∑∑ = ? = ? L LL 分别对 ],[ ca 的分割和 ],[ bc 的分割取上确界得到 ).()()( fVfVfV b a b c c a ≤+ (3) 另一方面, 对任意 ,0>ε 存在 ],[ ba 的一个分割 ,}{ 0 n ii x = 使得 .)(),,( 0 ε?> fVxxV b a nf L 设 . 1 kk xcx ≤< ? 则 },,,,{ 110 cxxx k? L和 },,,{ nk xxcL分别是 ],[ ca 和 ],[ bc 的分割. 注 意到在 n ii x 0 }{ = 中增加一个分点 c后, f 关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有 ).()(),,,(),,,( ),,,,,,(),,()( 10 100 fVfVxxcVcxxV xxcxxVxxVfV b c c a nkfkf nkkfnf b a +≤+= ≤<? ? ? LL LLLε 由 0>ε 的任意性得到 ).()()( fVfVfV b c c a b a +≤ (4) 综合(3),(4)两式得到(2)式. 因此结论 )v( 得证. 设 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 则对任意 ],,[ bax∈ 由定理 2 )v( 知道 f 也是 ],[ xa 上的有界变差函数. 因此 )( fV x a 是 ],[ ba 上的实值函数, 称之为 f 的变差函数. 由 定理 2 )v( 容易知道 )( fV x a 是单调增加的. 151 定理 3 (Jordan 分解定理 ) f 是 ],[ ba 上的有界变差函数当且仅当 f 可以表成 ,hgf ?= 其中 g 和 h是 ],[ ba 上的单调增加的实值函数. 证明 由例 1 和定理 2, 充分性是显然的. 往证必要性. 设 f 是 ],[ ba 上的有界变差 函数. 令 )),()(( 2 1 )( xffVxg x a += )).()(( 2 1 )( xffVxh x a ?= (5) 则 .hgf ?= 当 12 xx > 时, 利用定理 2 )v( , 我们有 ).()()(),()()( 122 1 2121 fVfVfVxxVxfxf x a x a x x f ?=≤≤? 因此 ).()()()( 21 21 xffVxffV x a x a +≤+ 这表明 ).()( 21 xgxg ≤ 即 g 是单调增加的.类似可证 h也是单调增加的. 推论 4 设 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 则 (1) f 的不连续点的全体至多是一可数集. (2) f 在 ],[ ba 上是 Riemann 可积的. (3) f 在 ],[ ba 上几乎处处可导并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 证明 由 5.1 单调函数的相应性质直接可得. 由定理 3, 每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数 之差. 但这种分解显然不是唯一的. 例如, 若 hgf ?= 是一个这样的分解, 则对任意 常数 c, )()( chcgf +?+= 也是 f 的一个分解. 为避免这种不唯一性, 我们令 )),()()(( 2 1 )( afxffVxp x a ?+= )).()()(( 2 1 )( afxffVxn x a +?= 则 )(xp 和 )(xn 都是单调增加的, 并且满足 ).()()()( xnxpafxf ?=? (6) ).()()( xnxpfV x a += 我们称(6)式为 f 的标准分解.分别称 )(xp 和 )(xn 为 f 的 正变差函数 和 负变差函数 . 定理 5 设 f 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 则 )( fV x a 在 ],[ ba 上是右连续的(或左连续 的)当且仅当 f 在 ],[ ba 上是右连续的(相应地, 左连续的). 证明 我们只证右连续的情形. 左连续的情形证明是类似的. 必要性. 设 )( fV x a 在 ],[ ba 上是右连续的, ).,[ 0 bax ∈ 则对任意 , 0 bxx ≤< 利用 定理 2 )v( , 我们有 152 ).()()(),()()( 0 0 00 fVfVfVxxVxfxf x a x a x x f ?=≤=? 由此知道 f 在 0 x 点是右连续的. 充分性. 设 f 在 ],[ ba 上是右连续的, ).,[ 0 bax ∈ 对任意 ,0>ε 存在 ,0>δ 使 得当 ),( 00 δ+∈ xxx 时, .)()( 0 ε<? xfxf 取区间 ],[ 00 δ+xx 的一个分割 , 0100 δ+=<<<= xtttx n L 使得 .)()()( 0 0 1 1 ε δ ?>? + = ?∑ fVtftf x x n i ii (7) 由于 n ii t 1 }{ = 是区间 ],[ 01 δ+xt 的一个分割, 因此 ).()()( 0 1 2 1 fVtftf x t n i ii δ+ = ? ≤? ∑ (8) 利用(7),(8)两式, 我们有 .2)()( )()()()( )()()( 01 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 εε ε δδ <?+= ??+?< ?= ∑∑ = ? = ? ++ tftf tftftftf fVfVfV n i ii n i ii x t x x t x 于是当 ],[ 10 txx∈ 时, .2)()()()( 1 00 0 ε<≤=? fVfVfVfV t x x x x a x a 因此 )( fV x a 在 0 x 点是右连续的. 下面考虑关于有界变差函数的 R-S 积分. 利用有界变差函数的 J ordan 分解, 我们可 以将 4.4 中定义的关于单调增加函数的 R-S 积分, 推广到关于有界 变差函数的情形. 设 g 是 ],[ ba 上的有界变差函数, )()()( xxxg βα ?= 为 g 的 标准分解. 又设 f 是 ],[ ba 上的有界实值函数. 若 f 关于 α 和 β 都是 R-S 可积的, 则称 f 关于 g 是 R-S 可积的. 并 且定义 f 关于 g 的 R-S 积分 为 ∫∫∫ ?= b a b a b a dfdfdgf .βα 利用 4.4 定理 4, 立即得到如下定理: 定理 6 若 f 是 ],[ ba 上的连续函数, 则对任意有界变差函数 g , f 关于 g 是 R-S 可积的. 由 R-S 积分的定义, 容易证明 定理 7 设 f 是 ],[ ba 上的连续函数, g 是 ],[ ba 上的有界变差函数. 则成立 ).()(sup)()( gVxfxdgxf b a bxa b a ≤≤ ≤ ∫ 153 证明 留作习题. 小 结 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数. 它们可以表为两个单 调增加的函数之差. 与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且 Lebesgue 可积. 与 单调函数不同, 有界变差函数类对线性运算是封闭的. 这在分析 中具有重要意义. 习 题 习题五, 第 4 题 第14题.