《突变函数》完整资料：h46乘积测度与 Fubini 定理

124 4.6 乘积测度与Fubini定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了2.2测度的延拓定理. Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设X和Y是两个非空集, ., YBXA ?? 称BA×为YX ×中的矩形(定义 ?=×??=?× BA , ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R =× 1 R . 2 R 当A和B是直线上的 有界区间时, BA×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间, 但可以将 1 R =× 1 R 2 R这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形 具有如下性质(图6 1): (1). ).()()()( 21212211 BBAABABA ∩×∩=×∩× (2). )].()[(])[()()( 21211212211 BBAABAABABA ?×∩∪×?=×?× 图6-1 设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间. 若,A∈A ,B∈B 则称BA×为可测矩形. 设C是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C是一个半 )()( 21212 BBAAE ?×∩= 1211 )( BAAE ×?= X 1 A 44484476 2 A 1 E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 B 1 B Y 4434421 2 E 125 环. 由C生成的代数?σ )(Cσ称为A与B的乘积σ -代数, 记为.BA× 在C上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×BA C , 令 ).()())(( BABA νμνμ ?=×× (1) 定理1 由(1)式定义的集函数νμ×是C上的测度. 证明 显然0))(( =?×νμ . 往证νμ×在C上是可数可加的. 设BA×是一个可测 矩形, }{ nn BA ×是一列互不相交的可测矩形使得. 1 U ∞ = ×=× n nn BABA 由于}{ nn BA ×是 互不相交的, 故成立 .)()()()( 1 ∑ ∞ ? = n BABA yIxIyIxI nn 对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 .)()()()( 1 ∑ ∞ = = n BnB yIAyIA n μμ 再对y积分得到.)()()()( 1 ∑ ∞ = ?=? n nn BABA νμνμ 这就是 .))(())(( 1 ∑ ∞ = ××=×× n nn BABA νμνμ 即νμ×在C上是可数可加的. 因此νμ×是C上的测度. 设R是由C生成的环, 即 }.1,,,:{ 1 1 ≥== = kEEEA k k i i 是互不相交的可测矩形 U R 注意由于∈×YX ,R 故R实际上是一个代数. 按下面的方式将νμ×延拓到R上. 若 ∈E ,R E的一个分解式为, 1 U k i ii BAE = ×= 则令 .)()())(( 1 ∑ = ?=× k i ii BAE νμνμ (2) 由2.2.引理7, ))(( BA××νμ的值不依赖于BA×的分解式的选取. 由定理1和2.2 定理8立即得到如下定理. 定理2 由(2)式定义的集函数νμ×是R上的测度. 设 ? × )( νμ是由νμ×导出的外测度, νμ× M是 ? × )( νμ可测集的全体所成的?σ代 126 数. 由2.2定理5, ? × )( νμ在 νμ× M上是一个测度, 称这个测度为μ和ν的乘积测度, 仍 记为νμ× . 称测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX为),,( μAX与),,( νBY乘积空间. 由 2.2.定理10, 测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX是完备的. 容易证明若μ和ν都是?σ有限 的, 则νμ×也是?σ有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ = ).(Rσ 由BA×的定义和2.2定理5, 我 们有 BA× = )(Cσ = ?)(Rσ νμ× M . 因此νμ×也是BA×上的测度. 有时也称测度空间),,( νμ××× BAYX为),,( μAX 与),,( νBY乘积空间. 下面我们将证明Fubini定理. 为此需要作一些准备. 设., XxYXE ∈×? 称集}),(:{ EyxYyE x ∈∈=为E在x的截口. 类似地, 对 ,Yy∈ 称集}),(:{ EyxXxE y ∈∈=为E在y的截口. 注意 x E和 y E分别是Y和X 的子集(图6 2). 图6 2 容易验证关于截口成立 ,)()().i( 11 UU ∞ = ∞ = = n xnx n n EE .)().ii( xxx FEFE ?=? 同样, 关于y的截口也成立类似的性质. 定理3 设),,( μAX和),,( νBY是两个?σ有限的测度空间, ∈E BA× . 则 ).i(对任意,Xx∈ 必有.B∈ x E ).ii()( x Eν和是),,( μAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫ =× .)())(( μννμ dEE x (3) X Y x E y E x y E ? ? ? ? ? ? ? 44434421 127 证明 ).i(设C是可测矩形的全体. 令 F }.,:{ BBA ∈∈×∈= x EXxE对任意 若∈×= BAE ,C 则当Ax∈时, .BE x =当Ax?时, .?= x E 故对任意 ,Xx∈ .B∈ x E 因此.FC ? 利用截口的性质容易证明F是一个代数?σ . 因此得 到=×BA ?)(Cσ .F 即对任意Xx∈必有.B∈ x E )ii(先设.)( +∞<Yν 由本定理的结论),i( 对任意,Xx∈ 必有.B∈ x E 故函数 )( x Eν有意义. 令 }.)(:{可测的是ABAF x EE ν×∈= 若BAE ×=是一个可测矩形, 则)()()( xIBE Ax νν =是A可测的. 这表明.FC ? 往 证F是一个λ类. 显然∈×YX .F 设∈FE, F并且.FE ? 注意到 ,)()( +∞<≤ YF x νν 我们有 ).()()())(( xxxxx FEFEFE νννν ?=?=? 故))(( x FE ?ν是A可测的. 因此∈? FE ,F 即F对包含差运算封闭.再设 ?}{ n E F并且. ↑n E 则.)( ↑xn E 于是有 ).)((lim))(())(( 11 xn n n xnx n n EEE ννν ∞→ ∞ = ∞ = == UU 由上式看出))(( 1 x n n E U ∞ = ν是A可测的. 因此∈ ∞ = U 1n n E ,F 即F对单调增加的集列的并运 算封闭. 所以F是包含C的一个λ类. 注意到C是一个π类. 由1.3.推论12, 我们有 =×BA ?)(Cσ .F 即对任意∈E BA× , )( x Eν是A可测的. 若.)( +∞=Yν 由于),,( νBY是?σ有限的, 因此存在Y的一列互不相交的可测集}{ n Y使得+∞<)( n Yν并且. 1 U ∞ = = n n YY 对每个 ,1≥n 在B上定义测度 ∈∩= BYBB nn ),()( νν .B 则.)()( +∞<= nn YY νν 设∈E BA× . 则由上面所证, 每个,1≥n )( xn Eν是A可测 的. 我们有 .)()())(()( 111 ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = =∩=∩= n xn n nx n nxx EYEYEE νννν U 由此可见)( x Eν是A可测的. 在BA×上定义集函数λ如下: 128 ∈= ∫ EdEE x ,)()( μνλ BA× . 则λ是非负值集函数并且.0)( =?m 设}{ n E是BA×中的一列互不相交的集. 则由单 调收敛定理得到 .)())(( ))(())(()( 11 111 ∑ ∫ ∑ ∫∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = == == n n n xn n xnx n n n n EdE dEdEE λμν μνμνλ UUU 即λ是可数可加的. 故λ是BA×上的测度. 若BAE ×=是一个可测矩形, 则 ).)(()()(.)()()()( EBAdxIBdEE Ax νμνμμνμνλ ×=?=== ∫∫ 故在C上.νμλ ×= 测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环R上.νμλ ×= 由于μ和 ν都是?σ有限的, 容易知道λ和νμ×也是?σ有限的(参见习题). 由2.2定理6知道 在BA×上.νμλ ×= 这表明对任意∈E ,BA× (3)式成立. 注1 由定理3, 我们也可以用(3)式来定义BA×上的乘积测度,νμ× 这样定义的 νμ×与我们前面定义的 νμ× M上的乘积测度νμ×在BA×上是一致的. 但是这样得到 的乘积测度空间),,( νμ××× BAYX一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度 的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX , 这样就避免了对 ),,( νμ××× BAYX再进行完备化的讨论. 引理4 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的测度空间, 若∈E νμ× M并且 .0))(( =× Eνμ 则对几乎所有,Xx∈ B∈ x E并且a.e.,0)( = x Eν 证明 由2.2定理11, 存在∈F =)(Rσ ,BA× 使得EF ?并且 .0))(())(( =×=× EF νμνμ 定理3 )ii(蕴涵a.e.0)( = x Fν 由于B关于ν是完备的, 因此由 xx FE ?得到 ∈ x E a.e.,B并且a.e.0)( = x Eν . 定理5 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间, ∈E νμ× M . 则 ).i(则对几乎所有,Xx∈ 必有.B∈ x E ).ii()( x Eν是),,( μAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫ =× .)())(( μννμ dEE x (4) ).iii(若),( yxf是),,( νμ νμ ×× × MYX上的可测函数, 则对几乎所有,Xx∈ 函数 ),()( yxfyf x =是),,( νBY上的可测函数. 证明 设∈E νμ× M . 由2.2定理13, 存在∈F BA× 和∈N νμ× M , ,0))(( =× Nνμ使得.NFE ?= 由引理4, ∈ x N a.e.,B并且a.e.0)( = x Nν 再利用 定理3, 我们有 129 ∈?= xxx NFE a.e.,B 因此)i(得证. 由定理3, )( x Fν是A可测的. 由于A关于μ是完备的, 并且 a.e.),()()()( xxxx FNFE νννν =?= 故)( x Eν是A可测的(参见第三章习题第7题). 注意到,0))(( =× Nνμ 由定理3 )ii( , 我 们有 ∫∫ ==×=× ).()())(()))(( xx EdFFE ννννμνμ 即(4)成立. 因此)ii(得证. 由于对任意实数,a ∈< }),(:),{( ayxfyx νμ× M . 于是由结论)i( , 对几乎所有,Xx∈我们有 ∈<=<∈ x ayxfyxayxfYy }),(:),{(}),(:{.B 即),()( yxfyf x =是),,( νBY上的可测函数. 因此)iii(得证. 由对称性,关于 y E和)(( y Eμ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果. 设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间, ),( yxf是YX ×上的可测函数. 若对几 乎所有固定的,Xx∈ ),( yxf在Y上的积分存在. 记.),()( νdyxfxg Y ∫ = ( )(xg可能 在一个?μ零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令)(xg =0). 若)(xg是X上的可测 函数并且在X上的积分存在, 则称f的二次积分存在, 并且称μdxg X ∫ )(为f的二次积 分,记为( ) μν dfd XY ∫∫ 或. ∫∫ XY fdd νμ 类似可以定义另一个顺序的二次积分 ∫∫ YX fdd .μν 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果. 定理6 (Fubini定理)设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间. 则 ).i(若f是),,( νμ νμ ×× × MYX上的非负可测函数, 则 ∫ = Y dyxfxI ν),()(和 ∫ = X dyxfyJ μ),()(分别是X和Y上的非负可测函数. 并且成立 ∫ × =× YX df νμ ( ) μν dfd XY ∫∫ = ( ) . ∫∫ YX dfd νμ (5) ).ii(若f是),,( νμ νμ ×× × MYX上的可积函数, 则 ∫ = Y dyxfxI ν),()(和 ∫ = X dyxfyJ μ),()(分别是关于μ和ν可积的. 并且(5)成立. 证明 ).i(由对称性, 我们只需证明 ∫ = Y dyxfxI ν),()(是X上的非负可测函数, 并 且成立 ∫ × =× YX df νμ ( ) μν dfd XY ∫∫ (6) 130 先设 E If =是特征函数, 其中∈E νμ× M . 由定理5 )i( , 对几乎所有,Xx∈ ∈ x E .B 于 是 ).()(),( x YY EE EdyIdyxI x ννν == ∫∫ a.e..?μ 由定理5 )ii( , )( x Eν是X上的可测函数. 并且 ( ) ..)()()( μνμννμνμ ddIdEEdI XY E X x YX E ∫∫∫∫ ==×=× × 这表明当f是特征函数时, ∫ = Y dyxfxI ν),()(是X上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当f是非负简单函数时, )(xI是X上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设f是非负可测函数. 则存在非负简单函数列}{ n f使得.ff n ↑ 由上面的证 明, ∫ = Y nn dyxfxI ν),()(是X上的非负可测函数. 由单调收敛定理得到 .),(),( ∫∫ ↑ YY n dyxfdyxf νν 因此)(xI是X上的非负可测函数. 再对函数列}{ n I应用 单调收敛定理, 我们有 ( ) ( ) .limlim μνμννμνμ dfdddfdfdf XYXY n nYX n nYX ∫∫∫∫∫∫ ==×=× ∞→×∞→× 即(6)成立. 因此)i(得证. ).ii(由对称性, 我们只需证明)(xI是关于μ可积的, 并且(6)成立. 由)i(的结论, ∫ + Y dyxf ν),(和 ∫ ? Y dyxf ν),(是X上的非负可测函数. 因此)(xI是X上的可测函数. 对 + f和 ? f分别运用(6), 我们有 ()() ().μν μνμν νμνμνμ dfd ddfddf dfdfdf XY XYXY Y XYX ∫∫ ∫∫∫∫ ∫ = ?= ×?×=× ?+ ×× ?+ × 注意由于f是关于νμ×可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允 许的. 这就证明了)(xI是关于μ可积的, 并且(6)成立. 推论7 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间, f是 ),,( νμ νμ ×× × MYX上的可测函数. 若 +∞< ∫∫ XY dfd μν 或 ,+∞< ∫∫ YX dfd νμ 则f可积并且成立 ∫ × =× YX df νμ ∫∫ XY fdd νμ = ∫∫ YX fdd .μν (7) 证明 设+∞< ∫∫ XY dfd μν . 由Fubini定理, 我们有 131 ∫ × =× YX df νμ .+∞< ∫∫ YX dfd μν 即f可积. 再由Fubini定理即知(7)成立. 注2 在Fubini定理中, 若),( yxf是可积的. 则由于 ∫ = Y dyxfxI ν),()(是关于μ 可积的. 因此函数)(xI几乎处处有限. 这表明对几乎所有,Xx∈ ),()( yxfyf x =是关 于ν可积的. 同理, 对几乎所有,Yy∈ 函数),()( yxfxf y = 是关于μ可积的. 注3在Fubini定理中, 若去掉),,( μAX和),,( νBY是完备的这个条件, 则当f是 ),,( νμ××× BAYX上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定 理6的证明是类似的. 只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了. 例1 设),,( μAX是一个?σ有限的测度空间, f是X上的非负可测函数, .1 +∞<≤ p 则 ∫∫ +∞ ? >= 0 1 .}))(:({ dttxfxtpdf pp μμ 证明 令},0)(:),{( ≥>= txftxE 则}.)(:{ txfxE t >= 显然txf ?)(是乘积 空间)),(,( 11 mX ××× μRR MF上的可测函数, 故 ∈>?= }0)(:),{( txftxE )( 1 RMF × . 因此函数),()( txIxI EE t =是关于 )( 1 RMF ×可测的. 由Fubini定理我们有 .}))(:({ )( )( )( 0 1 0 })(:{ 1 0 })(:{ 1 )( 0 1 ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∞+ ? ∞+ > ? ∞+ > ? ? >= = = = dttxfxpt dxIdtpt dtxIptd dtptddxf p X txfx p X txfx p X xf p X p μ μ μ μμ 下面我们将本节的结果用到 n R上的Lebesgue积分上去. 定理8 设)( 1 RB和)( 2 RB分别是 1 R和 2 R上的Borel ?σ代数, 1 m和 2 m分别是 1 R和 2 R上的Lebesgue测度. 则×)( 1 RB =)( 1 RB )( 2 RB并且在)( 2 RB上 . 211 mmm =× 即 =××× )),()(,( 11 1111 mmRRRR BB ).),(,( 2 22 mRR B 证明 设R是 2 R中的左开右闭方体的全体生成的环, R′是由 2 R中的Lebesgue可 测矩形的全体生成的环. 则=)(Rσ ),( 2 RB =′)(Rσ ×)( 1 RB ).( 1 RB 由于?RR′, 因此 =)( 2 RB =′? )()( RR σσ ×)( 1 RB ).( 1 RB 反过来, 令 1 p和 2 p是 2 R到 1 R的投影函数, 即.,),( 1 xyxp = yyxp =),( 2 . 则 1 p和 2 p都是连续的, 因而是 2 R上的Borel可测函数. 由3.1定理2, 若∈BA, )( 1 RB , 则 ∈ ? )( 1 1 Ap )( 2 RB , ∈ ? )( 1 2 Bp ).( 2 RB 于是 132 ).()()()()( 21 2 1 1 11 RRR B∈∩=×∩×=× ?? BpApBABA 故?′R ).( 2 RB 于是 ×)( 1 RB =)( 1 RB ?′)(Rσ ).( 2 RB 因此×)( 1 RB =)( 1 RB )( 2 RB . 由乘积测度的定义容易知道在R上. 211 mmm =× 由 2.2定理6知道在)(Rσ上. 211 mmm =× 即在)( 2 RB上面. 211 mmm =× 定理9 两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间, 即 =×× × ),,( 11 11 mm ii mm MRR ).),(,( 2 22 mRR M (8) 证明 仍设R , R′, 1 m和 2 m如定理8. 由定理8, =××× )),()(,( 11 1111 mmRRRR BB ).),(,( 2 22 mRR B 此即 =×′× )),(,( 11 11 mmRσRR ).),(,( 2 2 mRσR 由2.2定理15, ),,( 11 11 mm ii mm ×× × MRR和)),(,( 2 22 mRR M分别是 )),(,( 11 11 mm ×′× RσRR和)),(,( 2 2 mRσR的完备化空间. 因此(8)成立. 推论10 设f是 2 R上的非负L可测函数或L可积函数.则成立 = ∫ 2 R dxdyf ∫∫ 11 RR dxfdy = . ∫∫ 11 RR dyfdx 特别地, 当+∞< ∫∫ 11 RR dxfdy或者+∞< ∫∫ 11 RR dyfdx时, 成立 ∫∫ 11 RR dxfdy = . ∫∫ 11 RR dyfdx (我们将 2 R上的L积分记为. 2 xdydf R ∫ ) 证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,( 11 11 mm ii mm ×× × MRR上, 并利用定 理9 即得. 显然, 对 p R与 q R的乘积空间 qp+ R的情形,成立与推论10类似的结果. 例2 计算).0()( sin 0 baxdee x x I bxax <<?= ∫ ∞+ ?? 解 我们有 .sin)( sin 00 ∫∫∫ ∞+ ? ∞+ ?? =? b a xybxax xdyedxxdee x x 由于 .ln 1 sin 00 +∞<==≤ ∫∫∫∫∫ ∞+ ? ∞+ ? a b dy y dxedydxxedy b a b a xy b a xy 由Fubini定理(推论7), 我们有 .arctgarctg 1 1 sinsin 2 00 abdy y xdxedyxdyedxI b a b a xy b a xy ?= + = == ∫ ∫∫∫∫ +∞ ? +∞ ? 133 小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了2.2测度的延 拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理Fubini定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第43题第57题.