93 习 题 三 在以下各题中, 可测集, 可测函数和测度, 除题目中已有说明的外, 都是关于某一给 定的可测空间),( FX或测度空间),,( μFX的. 1. 试分别给出具有如下性质的可测空间),( FX : (1) X上的每个函数都是可测的. (2) 只有常数函数是可测的. 2. 证明: (1).若f在E上可测, 则对E的任意可测子集A , f在A上可测. (2). 若 1 E和 2 E是可测集, f在 1 E和 2 E上可测, 则f在 21 EE ∪上可测 3. 设f是 1 R上的函数. 证明f是L可测的当且仅当对任意有理数,r }{ rf <是 L可测集. 若把条件减弱为对任意有理数,r }{ rf =是L可测集, f是否一定是L可测的? 4. 设f和g都是可测函数, 并且)(xg处处不等于零. 证明 g f 是可测函数. 5. 作出]1,0[上的一个函数f, 使得f是L可测的, 但f不是L可测的. 6. 证明若 2 f可测, }0{ ≥f是可测集. 则f可测. 7. 设f为完备的测度空间),,( μFX上的可测函数, g为X上的函数. 若 a.e.,gf = 则g是可测函数. 当),,( μFX不完备时, 结论是否成立?. 8. 证明函数 ? ? ? ? ? = . , )( 3 为无理数若 为有理数若 xx xx xf 是]1,0[上的L可测函数. 9. 设f是),( FX上的实值可测函数, g是 1 R上的Borel可测函数. 证明复合函数 ))(( xfg是),( FX上的可测函数. 10. 设f和g是),( FX上的两个实值可测函数, h是 2 R上的连续函数. 证明复合函 数),( gfh是),( FX上的可测函数. 11. 设f是定义在),( ba上的函数. 若f在每个),(],[ ba?βα上是L可测的, 则 f在),( ba上是L可测的. 12. 设f是],[ ba上的可微函数. 证明f ′是],[ ba上的L可测函数. 13. 设f是 n R上的L可测函数. 证明对任意∈y , n R )( yxf +是 n R上的L可测 函数. 提示: 先设 A If =是特征函数. 14. 举例说明, 一族可测函数}:{ Itf t ∈的上确界函数 t It ff ∈ = sup不一定可测. 15. 举例说明, 若f是 1 R上的L可测函数, A是 1 R中的L可测集, )( 1 Af ? 不 94 一定是L可测集. 提示: 利用3.1例6中的结果.. 16. 设),( FX是一可测空间, ),( txf是定义在]1,0[×X上的函数. 若对每个 ],1,0[∈t ),( txf对x可测, 对每个,Xx∈ ),( txf对t连续, 证明),(max)( 10 txfxg t≤≤ = 是可测函数. 17. 证明3.1定理.7和定理.8. 18. 设f和g是定义在 1 R上的两个连续函数. 证明若f和g (关于L测度)几乎处 处相等, 则f和g处处相等. 19. 设f和g是)1,0(上单调减少的左连续函数. 若对任意∈c 1 R总有 }),({})({ cgmcfm ≥=≥ 证明).1,0(),()( ∈= xxgxf 20. 设f是有限测度空间),,( μFX上的a.e.有限的可测函数. 证明对任意,0>δ 存 在可测集,XA ? δ 使得,)( δ δ <? AXm 并且在 δ A上, f有界. 21. 设}{ n f是一列可测函数. 证明)(lim:{ xfxA n n ∞→ =存在并且有限}是可测集. 22. 设)( n f是可测函数列. 证明: (1) 若a.e.,,, a.e.a.e. gfgfff nn =?→??→?则 (2) 若,, gfff nn ?→??→? μμ 则a.e.,gf = 23. 证明: (1) 若, a.un. ff n ??→? 则. a.e. ff n ?→? (2) 若, a.un. ff n ??→? 则.ff n ?→? μ 24. 证明若,ff n ?→? μ 则a.e.,limlim n n n n fff ∞→ ∞→ ≤≤ 25. 证明若,, ggff nn ?→??→? μμ 则 .,)().4( .).3( )(.).2( ,).1( fggfX gfgf ff ff nn nn n n ?→?+∞< +?→?+ ?→? ?→? μ μ μ μ μ ααα 则若 是常数 26. 设,ff n ?→? μ ).1(a.e. 1 ≥≤ + nff nn 证明. a.e. ff n ?→? 27. 设}{ k E是一列可测集使得.)( 1 ∑ ∞ = +∞< k k Eμ 若在每个 k E上,ff n ?→? μ 证明 在 U ∞ = = 1k k EE上.ff n ?→? μ 28. 设f是几乎处处有限的可测函数. 证明存在有界可测函数列},{ n f 使得 .ff n ?→? μ 95 29. 设F是 n R中的闭集. 试作 n R上的连续函数列},{ k f 使得 ),()(lim xIxf Fk k = ∞→ ∈x . n R 提示: 先作一列开集},{ k G 使得. 1 I ∞ = = k k GF 30. 设f是定义在],[ ba上的a.e.有限的L可测函数. 证明存在],[ ba上的一列连续 函数},{ n g 使得,a.e.fg n → 并且.1,)(sup)(sup ≥≤ ≤≤≤≤ nxfxg bxa n bxa 31. 设f是定义在L可测集?E n R上的函数. 若对任给的,0>δ 存在闭集 ,EF ? δ 使得,)( δ δ <?FEm并且f在 δ F上连续. 则f是E上的L可测函数.