第三章 晶体的宏观对称
一,对称的概念
对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和
更广泛的含义,变换中的不变性；建造大自然的密码；审
美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。
二,晶体对称的特点
1） 由于晶体内部都具有格子构造, 通过平移, 可
使相同质点重复, 因此, 所有的晶体结构都是
对称的 。
2） 晶体的对称受格子构造规律的限制, 因此, 晶
体的对称是有限的, 它遵循, 晶体对称定律, 。
3） 晶体的对称不仅体现在外形上, 同时也体现在
物理性质 。
由以上可见,格子构造使得所有晶体都是对称的,
格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中
出现的 。
三、晶体的宏观对称要素对称操作
使对称图形中相同部分重复的操作，叫 对
称操作 。
在进行对称操作时所应用的辅助几何要素
（点、线、面），称为 对称要素 。
晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称
操作如下：
☆ 对称面 — P 操作为反映。 可以有多个对称面存
在，如 3P,6P等,
(请同学们在晶体模型上找对称面,示范模型 )
☆ 对称轴 — Ln 操作为旋转 。 其中 n 代表轴次,意
指旋转 360度相同部分重复的次数。旋转一次的
角度为 基转角 ?,关系为,n=360/?。
(请同学们在晶体模型上找对称轴 )
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质, 这种质点格子
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有 n = 1,2,3，
4,6这五种, 不可能出现 n = 5,n 〉 6的情况 。
为什么呢？
1,直观形象的理解：
垂直五次及高于六次的
对称轴的平面结构不能
构成面网, 且不能毫无
间隙地铺满整个空间,
即不能成为晶体结构 。
2,数学的证明方法为：
t’ = mt
t’= 2tsin(?-90)+ t = -2tcos ? + t
所以, mt = -2tcos ? + t
2cos ? = 1- m
cos ? = (1 - m)/2
-2 ? 1 - m ? 2
m = -1,0,1,2,3
相应的 ? ＝ 0 或 2 ?, ? /3,
? /2,2 ? /3,?
（ 但是, 在准晶体中可以有 5,8,10,12次
轴 ）
t
t’
t t??
☆ 对称中心 — C 操作为反伸。只可能在晶体中心，
只可能一个。
（请同学们在晶体模型上找对称中心）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现
且两两反向平行、同形等大。
☆ 旋转反伸轴 –Lin 操作为 旋转 +反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P Li 3= L3C Li 4 Li 6= L3P
? 值得指出的是, 除 Li4外, 其余各种旋转反伸轴
都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来
代替, 其间关系如下：
Li1 = C,Li2 = P,Li3 = L3 +C，
Li6 = L3 + P
? 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留 Li4
和 Li6,而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代
替。这是因为 Li4不能被代替,Li6在晶体对称
分类中有特殊意义。
（请同学们在模型上找 Li4 和 Li6）
但是，在晶体模型上找 Li4往往是比较困难的，因为容
易误认为 L2。
我们不能用 L2代替 Li4,就像我们不能用 L2代替 L4一样。
因为 L4高于 L2, Li4也高于 L2 。 在晶体模型上找对
称要素，一定要找出最高的。
**********
最后，请同学们找出几个模型上所有对称要素。
(模型示范 )
第三章第一次课结束
四、对称要素的组合
我们首先回忆一下上次实习课的结果：
例如,1810号,L44L25PC
2510号,L66L27PC
1306号,L33L23PC
从上面的结果可以看出什么规律？
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素
的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。
第三章第二次课开始
对称要素组合定理：
定理 1,Ln?L2??LnnL2 (L2与 L2的夹角是 Ln基转角的一半 )
逆定理,L2与 L2相交，在其交点且垂直两 L2会产生 Ln，其基
转角是两 L2夹角的两倍。并导出其他 n个在垂直 Ln平面内的
L2。
例如, L4?L2??L44L2,L3?L2??L33L2
思考, 两个 L2相交 30°,交点处并垂直 L2所在平面会产生什么
对称轴?
定理 2,Ln?P ? ?LnP ? C (n为偶数 )
逆定理,Ln ?C ? LnP ? C (n为偶数 )
P ?C ? LnP ? C (n为偶数 )
这一定理说明了 L2,P,C三者中任两个可
以产生第三者。
因为偶次轴包含 L2 。
定理 3,Ln ?P// ?LnnP//（ P与 P夹角为 Ln基转角的一
半）；
逆定理,两个 P相交，其交线必为一 Ln，其基转角为 P
夹角的两倍，并导出其他 n个包含 Ln的 P。
（定理 3与定理 2对应）
思考,两个对称面相交 60°,交线处会产生什么对称轴?
定理 4,Lin ? P// =Lin ?L2 ? ?Linn/2 L2 ? n/2 P// （ n为偶数）
?Linn L2 ? nP//（ n为奇数）
五,32个对称型（点群）及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶
体形态的 对称型 或 点群 。一般来说，当强调对
称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？ 因为对称型中所有对称操作可构
成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时
有一点不动，所以称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导
出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅
有 32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
A类对称型 （ 高次轴不多于一个 ） 的推导：
1） 对称轴 Ln单独存在, 可能的对称型为 L1； L2； L3；
L4； L6 。
2） 对称轴与对称轴的组合 。 在这里我们只考虑 Ln与垂
直它的 L2的组合 。 根据上节所述对称要素组合规律
Ln?L2→ LnnL2, 可能的对称型为,（ L1L2=L2 ） ；
L22L2=3L2； L33L2； L44L2； L66L2
如果 L2与 Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴,
这时就不属于 A类对称型了 。
3） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 P的组合 。 考虑到组
合规律 Ln(偶次 )??P⊥ → Ln(偶次 )PC,则可能的对称型为：
（ L1P=P） ； L2PC； （ L3P=Li6） ； L4PC； L6PC。
4）对称轴 Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规
律 Ln ? P∥ → LnnP，可能的对称型为,（ L1P=P）
L22P； L33P； L44P； L66P。
5） 对称轴 Ln与垂直它的对称面以及包含它的对
称面的组合 。 垂直 Ln的 P与包含 Ln的 P的交线必
为垂直 Ln的 L2,即 Ln ? P⊥ ? P∥ =Ln ? P⊥ ?
P∥ =LnnL2(n + 1)P（ C） （ C只在有偶次轴垂直
P 的情况下产生 ）, 可 能 的 对 称 型 为,
(L1L22P=L22P ） ； L22L23PC=3L23PC ；
（ L33L24P=Li63L23P） ； L44L25PC； L66L27PC。
6） 旋转反伸轴单独存在 。 可能的对称型为,Li1=C；
Li2=P； Li3=L3C；； Li6=L3P。
7）旋转反伸轴 Lin与垂直它的 L2（或包含它的 P）的
组合。根据组合规律，当 n为奇数时 LinnL2nP，可能
的对称型为,（ Li1L2P=L2PC）； Li33L23P=L33L23PC；
当 n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为：
（ Li2L2P=L22P）； Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
? 这样推导出来的对称型共有 27个，见表 3－ 2。
? 还有 5个是 B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
? 请同学们将表 3－ 2中空格的内容填上，空格中的内容与
表中其他内容是重复的。
Ln LnnL2 Ln?P(C) Ln?nP Ln?nL2
(n+1)P(C)
Lin Lin nL2 nP
Lin n/2L2 n/2P
L1 Lin = C
L2 3L2 L2?PC L2?2P 3L2 3PC Li2 = P
L3 L33L2 L3?3P Lin =L3
C
L3? 3L2 3PC
L4 L44L2 L4?PC L4?4P L4?4L2 5PC Li4 Li4 2L2?2P
L6 L66L2 L6?PC L6?6P L6?6L2 7PC Li6
=L3 P
Li6 3L2 3P= L3 3L2
4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表 3-4。
这个表非常重要，一定要熟记。
从这个表可知有 7个晶系，在第一章我们已经知道有 7种
空间格子形式，对应 7个晶系。
请同学们思考：由对称形式可以划出 7个晶系，由空间格
子形式也可以划出 7个晶系，两种方法怎么统一？
（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。）
32个对称型见表 3-4。
2、功能晶体材料的划分，见表 3-5。
3、在自然界出现概率的划分，见表 3-6。
通过对比表 3－ 5与表 3－ 6，可知，自然界出现概
率高的是一些对称程度高的晶体，而功能晶体
材料要求是一些对称程度低的。所以需要人工
晶体。
七、五次对称轴、二十面体与准晶
这部分内容只要求大概了解。
当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，
但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所
以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十
面体结构。
但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体
结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁 。
本章重点总结：
1) 对称要素,P,Ln,C,Lin；
2) 对称要素组合,4个定理；
3) 对称型：要学会用组合定理判断正确与否；
4) 晶体的对称分类,3个晶族,7个晶系,32个晶类。
一,对称的概念
对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和
更广泛的含义,变换中的不变性；建造大自然的密码；审
美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。
二,晶体对称的特点
1） 由于晶体内部都具有格子构造, 通过平移, 可
使相同质点重复, 因此, 所有的晶体结构都是
对称的 。
2） 晶体的对称受格子构造规律的限制, 因此, 晶
体的对称是有限的, 它遵循, 晶体对称定律, 。
3） 晶体的对称不仅体现在外形上, 同时也体现在
物理性质 。
由以上可见,格子构造使得所有晶体都是对称的,
格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中
出现的 。
三、晶体的宏观对称要素对称操作
使对称图形中相同部分重复的操作，叫 对
称操作 。
在进行对称操作时所应用的辅助几何要素
（点、线、面），称为 对称要素 。
晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称
操作如下：
☆ 对称面 — P 操作为反映。 可以有多个对称面存
在，如 3P,6P等,
(请同学们在晶体模型上找对称面,示范模型 )
☆ 对称轴 — Ln 操作为旋转 。 其中 n 代表轴次,意
指旋转 360度相同部分重复的次数。旋转一次的
角度为 基转角 ?,关系为,n=360/?。
(请同学们在晶体模型上找对称轴 )
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质, 这种质点格子
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有 n = 1,2,3，
4,6这五种, 不可能出现 n = 5,n 〉 6的情况 。
为什么呢？
1,直观形象的理解：
垂直五次及高于六次的
对称轴的平面结构不能
构成面网, 且不能毫无
间隙地铺满整个空间,
即不能成为晶体结构 。
2,数学的证明方法为：
t’ = mt
t’= 2tsin(?-90)+ t = -2tcos ? + t
所以, mt = -2tcos ? + t
2cos ? = 1- m
cos ? = (1 - m)/2
-2 ? 1 - m ? 2
m = -1,0,1,2,3
相应的 ? ＝ 0 或 2 ?, ? /3,
? /2,2 ? /3,?
（ 但是, 在准晶体中可以有 5,8,10,12次
轴 ）
t
t’
t t??
☆ 对称中心 — C 操作为反伸。只可能在晶体中心，
只可能一个。
（请同学们在晶体模型上找对称中心）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现
且两两反向平行、同形等大。
☆ 旋转反伸轴 –Lin 操作为 旋转 +反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P Li 3= L3C Li 4 Li 6= L3P
? 值得指出的是, 除 Li4外, 其余各种旋转反伸轴
都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来
代替, 其间关系如下：
Li1 = C,Li2 = P,Li3 = L3 +C，
Li6 = L3 + P
? 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留 Li4
和 Li6,而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代
替。这是因为 Li4不能被代替,Li6在晶体对称
分类中有特殊意义。
（请同学们在模型上找 Li4 和 Li6）
但是，在晶体模型上找 Li4往往是比较困难的，因为容
易误认为 L2。
我们不能用 L2代替 Li4,就像我们不能用 L2代替 L4一样。
因为 L4高于 L2, Li4也高于 L2 。 在晶体模型上找对
称要素，一定要找出最高的。
**********
最后，请同学们找出几个模型上所有对称要素。
(模型示范 )
第三章第一次课结束
四、对称要素的组合
我们首先回忆一下上次实习课的结果：
例如,1810号,L44L25PC
2510号,L66L27PC
1306号,L33L23PC
从上面的结果可以看出什么规律？
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素
的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。
第三章第二次课开始
对称要素组合定理：
定理 1,Ln?L2??LnnL2 (L2与 L2的夹角是 Ln基转角的一半 )
逆定理,L2与 L2相交，在其交点且垂直两 L2会产生 Ln，其基
转角是两 L2夹角的两倍。并导出其他 n个在垂直 Ln平面内的
L2。
例如, L4?L2??L44L2,L3?L2??L33L2
思考, 两个 L2相交 30°,交点处并垂直 L2所在平面会产生什么
对称轴?
定理 2,Ln?P ? ?LnP ? C (n为偶数 )
逆定理,Ln ?C ? LnP ? C (n为偶数 )
P ?C ? LnP ? C (n为偶数 )
这一定理说明了 L2,P,C三者中任两个可
以产生第三者。
因为偶次轴包含 L2 。
定理 3,Ln ?P// ?LnnP//（ P与 P夹角为 Ln基转角的一
半）；
逆定理,两个 P相交，其交线必为一 Ln，其基转角为 P
夹角的两倍，并导出其他 n个包含 Ln的 P。
（定理 3与定理 2对应）
思考,两个对称面相交 60°,交线处会产生什么对称轴?
定理 4,Lin ? P// =Lin ?L2 ? ?Linn/2 L2 ? n/2 P// （ n为偶数）
?Linn L2 ? nP//（ n为奇数）
五,32个对称型（点群）及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶
体形态的 对称型 或 点群 。一般来说，当强调对
称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？ 因为对称型中所有对称操作可构
成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时
有一点不动，所以称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导
出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅
有 32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
A类对称型 （ 高次轴不多于一个 ） 的推导：
1） 对称轴 Ln单独存在, 可能的对称型为 L1； L2； L3；
L4； L6 。
2） 对称轴与对称轴的组合 。 在这里我们只考虑 Ln与垂
直它的 L2的组合 。 根据上节所述对称要素组合规律
Ln?L2→ LnnL2, 可能的对称型为,（ L1L2=L2 ） ；
L22L2=3L2； L33L2； L44L2； L66L2
如果 L2与 Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴,
这时就不属于 A类对称型了 。
3） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 P的组合 。 考虑到组
合规律 Ln(偶次 )??P⊥ → Ln(偶次 )PC,则可能的对称型为：
（ L1P=P） ； L2PC； （ L3P=Li6） ； L4PC； L6PC。
4）对称轴 Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规
律 Ln ? P∥ → LnnP，可能的对称型为,（ L1P=P）
L22P； L33P； L44P； L66P。
5） 对称轴 Ln与垂直它的对称面以及包含它的对
称面的组合 。 垂直 Ln的 P与包含 Ln的 P的交线必
为垂直 Ln的 L2,即 Ln ? P⊥ ? P∥ =Ln ? P⊥ ?
P∥ =LnnL2(n + 1)P（ C） （ C只在有偶次轴垂直
P 的情况下产生 ）, 可 能 的 对 称 型 为,
(L1L22P=L22P ） ； L22L23PC=3L23PC ；
（ L33L24P=Li63L23P） ； L44L25PC； L66L27PC。
6） 旋转反伸轴单独存在 。 可能的对称型为,Li1=C；
Li2=P； Li3=L3C；； Li6=L3P。
7）旋转反伸轴 Lin与垂直它的 L2（或包含它的 P）的
组合。根据组合规律，当 n为奇数时 LinnL2nP，可能
的对称型为,（ Li1L2P=L2PC）； Li33L23P=L33L23PC；
当 n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为：
（ Li2L2P=L22P）； Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
? 这样推导出来的对称型共有 27个，见表 3－ 2。
? 还有 5个是 B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
? 请同学们将表 3－ 2中空格的内容填上，空格中的内容与
表中其他内容是重复的。
Ln LnnL2 Ln?P(C) Ln?nP Ln?nL2
(n+1)P(C)
Lin Lin nL2 nP
Lin n/2L2 n/2P
L1 Lin = C
L2 3L2 L2?PC L2?2P 3L2 3PC Li2 = P
L3 L33L2 L3?3P Lin =L3
C
L3? 3L2 3PC
L4 L44L2 L4?PC L4?4P L4?4L2 5PC Li4 Li4 2L2?2P
L6 L66L2 L6?PC L6?6P L6?6L2 7PC Li6
=L3 P
Li6 3L2 3P= L3 3L2
4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表 3-4。
这个表非常重要，一定要熟记。
从这个表可知有 7个晶系，在第一章我们已经知道有 7种
空间格子形式，对应 7个晶系。
请同学们思考：由对称形式可以划出 7个晶系，由空间格
子形式也可以划出 7个晶系，两种方法怎么统一？
（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。）
32个对称型见表 3-4。
2、功能晶体材料的划分，见表 3-5。
3、在自然界出现概率的划分，见表 3-6。
通过对比表 3－ 5与表 3－ 6，可知，自然界出现概
率高的是一些对称程度高的晶体，而功能晶体
材料要求是一些对称程度低的。所以需要人工
晶体。
七、五次对称轴、二十面体与准晶
这部分内容只要求大概了解。
当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，
但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所
以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十
面体结构。
但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体
结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁 。
本章重点总结：
1) 对称要素,P,Ln,C,Lin；
2) 对称要素组合,4个定理；
3) 对称型：要学会用组合定理判断正确与否；
4) 晶体的对称分类,3个晶族,7个晶系,32个晶类。
