第七章 晶体内部结构的微观对称
前面几章我们学习了晶体宏观对称理论,本章将从宏观进入微
观,探讨晶体结构内部微观对称, 要注意宏观与微观的对比,
四个方面的内容：
一、十四种空间格子－－晶体结构中的周期性平移对称；
二、内部对称要素－－宏观对称要素与平移对称结合产生
的内部结构特有的对称要素；
三、空间群－－与宏观晶体的点群对应；
四、等效点系－－与宏观晶体的单形对应。
一、十四种空间格子（十四种布拉维格子）
1,平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点 (相当点 )的分
布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为
的。
平行六面体的选择原则如下：
1） 所选取的平行六面体应能反映结点分
布整体所固有的对称性；
2） 在上述前提下, 所选取的平行六面体
中棱与棱之间的直角关系力求最多；
3）在满足以上二条件的基础上，所选取
的平行六面体的体积力求最小。
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm mm2
4mm
mm2
引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；
另外请思考：如果上面的图案对称为 3m，该怎么画？
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体
定向的原则是一致的（回忆晶体定向原
则？），也就是说，我们在宏观晶体上选出
的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方
向的行列。
2,各晶系平行六面体的形状和大小
? 平行六面体的 形状 和 大小 用它的三根棱长
（轴长） a,b,c及棱间的夹角（轴角） ?、
?,?表征。这组参数（ a,b,c； ?,?,?）
即为 晶胞参数,
? 在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的 晶体
常数特点,是根据晶轴对称特点得出的, 宏观
上的 晶体常数 与 微观的晶胞参数 是对应的,但
微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的
具体数值。
3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）
1）原始格子 （ P）,结点分布于平行六面体的八个角顶上。
2）底心格子 （ C,A,B）,结点分布于平行六面体的角顶
及某一对面的中心。
3）体心格子 （ I）,结点分布于平行六面体的角顶和体中心。
4）面心格子 （ F）,结点分布于平行六面体的角顶和三对面
的中心。
其中底心、体心、面心格子称带心的格
子，我们在前面画格子的例子中已经知道
有带心格子的存在，这是因为有些晶体结
构在符合其对称的前提下不能画出原始格
子，只能画出带心的格子。
4,十四种布拉维格子
七个晶系 ---七套晶体常数 — 七种平行六面体种形状。
每种形状有四种类型，那么就有 7× 4=28种空间格子？
但在这 28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还
有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，
因此,只有 14种空间格子，也叫 14种布拉维格子。
（ A.Bravais于 1848年最先推导出来的）
举例说明：
1,四方底心格子 可转变为体积更小的四方原始格子 ；
2,在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安
置结点，则完全不符合等轴晶系具有 4L3的对称特点，
故不可能存在 立方底心格子 。
例 1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
例 2：立方底心格子不符合等轴晶系对称
思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
还应指出的是,对于三、六方晶系的四轴定
向也可转换成三轴定向，变为菱面体格子。
我们一般都用四轴定向。
另外，六方原始格子为六方柱的顶底面加心，
不要误认为六方底心格子。
十四种空间格子见表 7-1。
二、晶体内部结构的对称要素
研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平
移对称性,除了平移对称外,晶体结构还有与
宏观形态上一样的旋转,反映对称,并且这些
旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产
生内部结构特有的一些对称要素：
1．平移轴
为一直线，图形沿此直线移动一定距离，
可使相等部分重合，晶体结构中任一行列都
是平移轴。
举例：
2．螺旋轴
为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定
角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中
的每一质点都与其相同的质点重合 。
举例：
螺旋轴的国际符号一般写成 ns。 n为轴次，
s为小于 n的自然数。
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为 T，则
质点平移的距离 t应为 （ s/n） ·T，其中 t称
为螺距。
螺旋轴据其轴次和螺距可分为 21； 31,32；
41,42,43； 61,62,63,64,65共 11种。
它们各代表什么意思？
举例,41 意为按右旋方向旋转 90度后移距
1/4 T；而 43意为按右旋方向旋转 90度后移距
3/4 T。那么,41和 43是什么关系？
43在旋转 2个 90度后移距 2× 3/4 T=1T+1/2T，
旋转 3个 90度后移距 3× 3/4 T=2T+1/4T。 T的整
数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以,43相
当于旋转 270度移距 1/4T，也即反向旋转 90度移
距 1/4T 。
所以,41和 43是旋向相反的关系。
1/4
1/23/4
0
3/4
1/21/4
0
41 43
规定,41为右旋,43则为左旋。但 43右旋时移距应为
3/4T。
即螺旋轴的国际符号 ns是以右旋为准的。
凡 0<s<n/2者, 为右旋螺旋轴 （ 包括 31,41,61,62） ；
凡 n/2<s<n者, 为左旋螺旋轴 （ 包括 32,43,64、
65） ；而 s=n/2者, 为中性螺旋轴 （ 包括 21,42、
63） 。
3．滑移面
是一假想的平面，当结构对此平面反映，并平行
此平面移动一定距离后，结构中的每一个点与其
相同的点重合。
例如, NaCl晶体结构,
示晶体格架,
滑移面按其滑移的方向和距离可分为 a、
b,c,n,d五种。
其中 a,b,c为轴向滑移，移距分别为 1/2a，
1/2b,1/2c。
n为对角线滑移，移距为 1/2（ a+b） or 1/2
（ b+c）等。
d为金刚石型滑移，移距为 1/4（ a+b）等。
?举例：
三、空间群
? 空间群 为晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空
间群共有 230种，空间群亦称之为费德洛夫群（ Fedrov
group）或圣佛利斯群（ Schoenflies group） 。
? 空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型
（点群）可产生多个空间群，所以 32个对称型（点群）
可产生 230种空间群。
? 空间群与对称型（点群）的区别：
有限图形（晶体形态） ------无限图形（晶体结构）
点操作（有一个点不动） ------ 空间操作
m,n,n,------ m,n,n,ns，
a,b,d、、、
空间群与对称型（点群）体现了晶体内部
结构的对称与晶体外形对称的统一。如在
晶体外形的某一方向上有 4，则在晶体内
部结构中相应的方向可能是 4,41,42或
许 43，也可能有 2。
空间群的国际符号包括两个组成部分，前一部分
为大写英文字母，表示格子类型（ P,C（ A、
B）,I,F）；后一部分与对称型（点群）的国
际符号基本相同，只是其中晶体的某些宏观对称
要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符
号。
例如,P42/mnm
它的点群是什么？格子类型是什么？在 什么方
向有什么对称要素？
空间群的投影很复杂，见图 7-16。
四、等效点系
等效点系 是指：晶体结构中由一原始点经
空间群中所有对称要素操作所推导出来的规
则点系 。 等效点系与空间群的关系, 相当于
单形与对称型 （ 点群 ） 的关系 。
在晶体结构中, 质点按等效点系分布, 同种
类型质点占据一套或几套等效点系, 不同种
类型质点不能占据同一套等效点系 。
思考：晶体结构中同种质点－－相当点－－等
效点
本章重点总结：
? 平行六面体的选择，即格子的画法；
? 内部结构的对称与外部形态对称的统一；
? 为什么只有 14种空间格子的原因；
? 会读懂内部对称要素的各种符号：
如,31,42,65,n,d,
? 空间群及其国际符号：如,Pn3m,Cmcm,
前面几章我们学习了晶体宏观对称理论,本章将从宏观进入微
观,探讨晶体结构内部微观对称, 要注意宏观与微观的对比,
四个方面的内容：
一、十四种空间格子－－晶体结构中的周期性平移对称；
二、内部对称要素－－宏观对称要素与平移对称结合产生
的内部结构特有的对称要素；
三、空间群－－与宏观晶体的点群对应；
四、等效点系－－与宏观晶体的单形对应。
一、十四种空间格子（十四种布拉维格子）
1,平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点 (相当点 )的分
布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为
的。
平行六面体的选择原则如下：
1） 所选取的平行六面体应能反映结点分
布整体所固有的对称性；
2） 在上述前提下, 所选取的平行六面体
中棱与棱之间的直角关系力求最多；
3）在满足以上二条件的基础上，所选取
的平行六面体的体积力求最小。
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm mm2
4mm
mm2
引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；
另外请思考：如果上面的图案对称为 3m，该怎么画？
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体
定向的原则是一致的（回忆晶体定向原
则？），也就是说，我们在宏观晶体上选出
的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方
向的行列。
2,各晶系平行六面体的形状和大小
? 平行六面体的 形状 和 大小 用它的三根棱长
（轴长） a,b,c及棱间的夹角（轴角） ?、
?,?表征。这组参数（ a,b,c； ?,?,?）
即为 晶胞参数,
? 在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的 晶体
常数特点,是根据晶轴对称特点得出的, 宏观
上的 晶体常数 与 微观的晶胞参数 是对应的,但
微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的
具体数值。
3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）
1）原始格子 （ P）,结点分布于平行六面体的八个角顶上。
2）底心格子 （ C,A,B）,结点分布于平行六面体的角顶
及某一对面的中心。
3）体心格子 （ I）,结点分布于平行六面体的角顶和体中心。
4）面心格子 （ F）,结点分布于平行六面体的角顶和三对面
的中心。
其中底心、体心、面心格子称带心的格
子，我们在前面画格子的例子中已经知道
有带心格子的存在，这是因为有些晶体结
构在符合其对称的前提下不能画出原始格
子，只能画出带心的格子。
4,十四种布拉维格子
七个晶系 ---七套晶体常数 — 七种平行六面体种形状。
每种形状有四种类型，那么就有 7× 4=28种空间格子？
但在这 28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还
有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，
因此,只有 14种空间格子，也叫 14种布拉维格子。
（ A.Bravais于 1848年最先推导出来的）
举例说明：
1,四方底心格子 可转变为体积更小的四方原始格子 ；
2,在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安
置结点，则完全不符合等轴晶系具有 4L3的对称特点，
故不可能存在 立方底心格子 。
例 1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
例 2：立方底心格子不符合等轴晶系对称
思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
还应指出的是,对于三、六方晶系的四轴定
向也可转换成三轴定向，变为菱面体格子。
我们一般都用四轴定向。
另外，六方原始格子为六方柱的顶底面加心，
不要误认为六方底心格子。
十四种空间格子见表 7-1。
二、晶体内部结构的对称要素
研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平
移对称性,除了平移对称外,晶体结构还有与
宏观形态上一样的旋转,反映对称,并且这些
旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产
生内部结构特有的一些对称要素：
1．平移轴
为一直线，图形沿此直线移动一定距离，
可使相等部分重合，晶体结构中任一行列都
是平移轴。
举例：
2．螺旋轴
为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定
角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中
的每一质点都与其相同的质点重合 。
举例：
螺旋轴的国际符号一般写成 ns。 n为轴次，
s为小于 n的自然数。
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为 T，则
质点平移的距离 t应为 （ s/n） ·T，其中 t称
为螺距。
螺旋轴据其轴次和螺距可分为 21； 31,32；
41,42,43； 61,62,63,64,65共 11种。
它们各代表什么意思？
举例,41 意为按右旋方向旋转 90度后移距
1/4 T；而 43意为按右旋方向旋转 90度后移距
3/4 T。那么,41和 43是什么关系？
43在旋转 2个 90度后移距 2× 3/4 T=1T+1/2T，
旋转 3个 90度后移距 3× 3/4 T=2T+1/4T。 T的整
数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以,43相
当于旋转 270度移距 1/4T，也即反向旋转 90度移
距 1/4T 。
所以,41和 43是旋向相反的关系。
1/4
1/23/4
0
3/4
1/21/4
0
41 43
规定,41为右旋,43则为左旋。但 43右旋时移距应为
3/4T。
即螺旋轴的国际符号 ns是以右旋为准的。
凡 0<s<n/2者, 为右旋螺旋轴 （ 包括 31,41,61,62） ；
凡 n/2<s<n者, 为左旋螺旋轴 （ 包括 32,43,64、
65） ；而 s=n/2者, 为中性螺旋轴 （ 包括 21,42、
63） 。
3．滑移面
是一假想的平面，当结构对此平面反映，并平行
此平面移动一定距离后，结构中的每一个点与其
相同的点重合。
例如, NaCl晶体结构,
示晶体格架,
滑移面按其滑移的方向和距离可分为 a、
b,c,n,d五种。
其中 a,b,c为轴向滑移，移距分别为 1/2a，
1/2b,1/2c。
n为对角线滑移，移距为 1/2（ a+b） or 1/2
（ b+c）等。
d为金刚石型滑移，移距为 1/4（ a+b）等。
?举例：
三、空间群
? 空间群 为晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空
间群共有 230种，空间群亦称之为费德洛夫群（ Fedrov
group）或圣佛利斯群（ Schoenflies group） 。
? 空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型
（点群）可产生多个空间群，所以 32个对称型（点群）
可产生 230种空间群。
? 空间群与对称型（点群）的区别：
有限图形（晶体形态） ------无限图形（晶体结构）
点操作（有一个点不动） ------ 空间操作
m,n,n,------ m,n,n,ns，
a,b,d、、、
空间群与对称型（点群）体现了晶体内部
结构的对称与晶体外形对称的统一。如在
晶体外形的某一方向上有 4，则在晶体内
部结构中相应的方向可能是 4,41,42或
许 43，也可能有 2。
空间群的国际符号包括两个组成部分，前一部分
为大写英文字母，表示格子类型（ P,C（ A、
B）,I,F）；后一部分与对称型（点群）的国
际符号基本相同，只是其中晶体的某些宏观对称
要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符
号。
例如,P42/mnm
它的点群是什么？格子类型是什么？在 什么方
向有什么对称要素？
空间群的投影很复杂，见图 7-16。
四、等效点系
等效点系 是指：晶体结构中由一原始点经
空间群中所有对称要素操作所推导出来的规
则点系 。 等效点系与空间群的关系, 相当于
单形与对称型 （ 点群 ） 的关系 。
在晶体结构中, 质点按等效点系分布, 同种
类型质点占据一套或几套等效点系, 不同种
类型质点不能占据同一套等效点系 。
思考：晶体结构中同种质点－－相当点－－等
效点
本章重点总结：
? 平行六面体的选择，即格子的画法；
? 内部结构的对称与外部形态对称的统一；
? 为什么只有 14种空间格子的原因；
? 会读懂内部对称要素的各种符号：
如,31,42,65,n,d,
? 空间群及其国际符号：如,Pn3m,Cmcm,
