结晶学阶段总结
在前面第 1— 5章中,我们系统地学习了有关晶体宏观
形态对称的理论知识,这几章的内容是一个有机整体,
现在将这几章的内容融会贯通一下,进行一个总结,并
容纳一些第 6章的内容,
(第 6章的内容我们只要求初步了解 )
1.为什么对称型也称点群?
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的
对称型 或 点群 。一般来说，当强调对称要素时称对
称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个
群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，
所以称为点群 (与空间群对应 )。
（在点群中，每一个操作可作为一个群元素，操作的复
合就相当于群元素与群元素的乘积，这样就可以对点
群中的操作进行运算。）
群的数学定义, 群是一组元素的集合,这些元素满
足 4个条件, (1)封闭性, a,b,c,d…,,ab=c,ac=b,
bd=a…,
(2)结合律, (ab)c=a(bc)
(3)单位元, ea=ae=a
(4)逆元素, a的逆元素 a-1,a a-1=e
对应到点群中，一个群元素就是一个对称操作。
举例, 点群 2/m(L2PC),里面有 4个群元素,
2/m{2,m,1,1},
验证封闭性,2m=1,21=m,m1=2,2m1=1
母群 -子群关系,
点群 4{41,42,43,44=1},其中 42 = 21,44=22=1,
所以点群 4里面包含点群 2{21,22=1}
点群 4{(4)1,(4)2,(4)3,(4)4=1},其中 (4)2 = 21,
(4)4=22=1,所以点群 4里面包含点群 2{21,22=1}
所以我们在晶体模型上,在有 4的地方往往看成是 2。
2.判断一个对称型是否正确,
L2P L42L25P L33L23P L66L2
L66P L66L26P L33PC
(请同学们判断它们的正确与否 )
这实际上在验证点群的封闭性。
即对称型的完整性对应于点群的封闭性。
3,国际符号的简化：
2/m 2/m 2/m = mmm
4/m 3 2/m = m3m
4/m 2/m 2/m = 4/m mm
3 2/m = 3 m
(模型示范简化的过程 )
4,区分对称型的国际符号,
m3-3m,23-32,6/m mm-6mm,
m3m-mmm,mm-mmm,3m-3m
5,共轭类与非共轭类,极轴
可通过对称操作使之相互重合的同类对称要素,
称为共轭类,反之为非共轭类
例如,L44L2中,其中 4个 L2中,有两个为共轭类,另
两个为另一共轭类
极轴,通过对称操作不能使两端重合的轴,
例如, 上述的 L44L2,L4,L2都不是极轴。
但 L33P中,L3是极轴,
L33L2中,L3不是极轴,但 L2是极轴 (如石英 )
L33P L33L2
6,各晶系晶面符号的含义及区别,
等轴晶系,四方晶系,斜方晶系,(001)与 [001],
(010)与 [010],[110]与 [001],(110)与 (010).
单斜晶系, (001)与 [001],[100]与 [001],(001)
与 (100),(100)与 (010)
三方与六方晶系,(1010)与 (0001),(1010)与
(1120)
等轴晶系的 {hhl}可能 ={111}?
四方晶系的 {hhl}可能 ={111}?
斜方晶系的 {hhl}可能 ={111}? {hkl}可能 ={111}?
7,在极射赤平投影图上推导单形及 7种形号,
例如,L44L25PC
{001}:平行双面,{100}:四方柱,{110}:四方柱
{hhl}:四方双锥,{h0l}:四方双锥,{hk0}：复四方柱，
{hkl},复四方双锥。
所有的投影点（像望花筒）相互自洽，这也是群的封闭性的体现。
每个对称型都能设置 7个位置推导出 7种单形，而
且只能有 7个位置及 7种单形，不可能大于 7种单形。
这 7个位置分别位于赤平投影图中最小重复单位三
角形的 3个顶点,3条边及中心位置。
因此，表 5－ 1～ 5－ 7中，
每个对称型只有 7种形号。
8,每个晶系为什么具有不同的形号？
这是因为每个晶系的对称要素投影图中最小重复单位三
角形不同：
等轴晶系 四方晶系
(请同学们说明上图中第 1-7号位置各是什么单形符号,由
此对比等轴晶系与四方晶系的 7个形号不同,)
三方、六方晶系 低级晶族
(请同学们说明上图中第 1-7号位置各是什么单形符号 )
1
2
5
3
4
6
7
9,单形相聚的条件：
只有对称型相同的单形才能相聚,
怎么理解?
我们上次实习有两组单形,1)菱面体 +六方柱
2)立方体 +五角十二面体
它们的对称型一样吗?它们可以相聚吗?
判断单形是否可以相聚要考虑结晶单形的对称型, 实际上
就是在表 5－ 1～表 5－ 7的 146个结晶单形中，属于同一个对
称型的单形就可以相聚。
在前面第 1— 5章中,我们系统地学习了有关晶体宏观
形态对称的理论知识,这几章的内容是一个有机整体,
现在将这几章的内容融会贯通一下,进行一个总结,并
容纳一些第 6章的内容,
(第 6章的内容我们只要求初步了解 )
1.为什么对称型也称点群?
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的
对称型 或 点群 。一般来说，当强调对称要素时称对
称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个
群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，
所以称为点群 (与空间群对应 )。
（在点群中，每一个操作可作为一个群元素，操作的复
合就相当于群元素与群元素的乘积，这样就可以对点
群中的操作进行运算。）
群的数学定义, 群是一组元素的集合,这些元素满
足 4个条件, (1)封闭性, a,b,c,d…,,ab=c,ac=b,
bd=a…,
(2)结合律, (ab)c=a(bc)
(3)单位元, ea=ae=a
(4)逆元素, a的逆元素 a-1,a a-1=e
对应到点群中，一个群元素就是一个对称操作。
举例, 点群 2/m(L2PC),里面有 4个群元素,
2/m{2,m,1,1},
验证封闭性,2m=1,21=m,m1=2,2m1=1
母群 -子群关系,
点群 4{41,42,43,44=1},其中 42 = 21,44=22=1,
所以点群 4里面包含点群 2{21,22=1}
点群 4{(4)1,(4)2,(4)3,(4)4=1},其中 (4)2 = 21,
(4)4=22=1,所以点群 4里面包含点群 2{21,22=1}
所以我们在晶体模型上,在有 4的地方往往看成是 2。
2.判断一个对称型是否正确,
L2P L42L25P L33L23P L66L2
L66P L66L26P L33PC
(请同学们判断它们的正确与否 )
这实际上在验证点群的封闭性。
即对称型的完整性对应于点群的封闭性。
3,国际符号的简化：
2/m 2/m 2/m = mmm
4/m 3 2/m = m3m
4/m 2/m 2/m = 4/m mm
3 2/m = 3 m
(模型示范简化的过程 )
4,区分对称型的国际符号,
m3-3m,23-32,6/m mm-6mm,
m3m-mmm,mm-mmm,3m-3m
5,共轭类与非共轭类,极轴
可通过对称操作使之相互重合的同类对称要素,
称为共轭类,反之为非共轭类
例如,L44L2中,其中 4个 L2中,有两个为共轭类,另
两个为另一共轭类
极轴,通过对称操作不能使两端重合的轴,
例如, 上述的 L44L2,L4,L2都不是极轴。
但 L33P中,L3是极轴,
L33L2中,L3不是极轴,但 L2是极轴 (如石英 )
L33P L33L2
6,各晶系晶面符号的含义及区别,
等轴晶系,四方晶系,斜方晶系,(001)与 [001],
(010)与 [010],[110]与 [001],(110)与 (010).
单斜晶系, (001)与 [001],[100]与 [001],(001)
与 (100),(100)与 (010)
三方与六方晶系,(1010)与 (0001),(1010)与
(1120)
等轴晶系的 {hhl}可能 ={111}?
四方晶系的 {hhl}可能 ={111}?
斜方晶系的 {hhl}可能 ={111}? {hkl}可能 ={111}?
7,在极射赤平投影图上推导单形及 7种形号,
例如,L44L25PC
{001}:平行双面,{100}:四方柱,{110}:四方柱
{hhl}:四方双锥,{h0l}:四方双锥,{hk0}：复四方柱，
{hkl},复四方双锥。
所有的投影点（像望花筒）相互自洽，这也是群的封闭性的体现。
每个对称型都能设置 7个位置推导出 7种单形，而
且只能有 7个位置及 7种单形，不可能大于 7种单形。
这 7个位置分别位于赤平投影图中最小重复单位三
角形的 3个顶点,3条边及中心位置。
因此，表 5－ 1～ 5－ 7中，
每个对称型只有 7种形号。
8,每个晶系为什么具有不同的形号？
这是因为每个晶系的对称要素投影图中最小重复单位三
角形不同：
等轴晶系 四方晶系
(请同学们说明上图中第 1-7号位置各是什么单形符号,由
此对比等轴晶系与四方晶系的 7个形号不同,)
三方、六方晶系 低级晶族
(请同学们说明上图中第 1-7号位置各是什么单形符号 )
1
2
5
3
4
6
7
9,单形相聚的条件：
只有对称型相同的单形才能相聚,
怎么理解?
我们上次实习有两组单形,1)菱面体 +六方柱
2)立方体 +五角十二面体
它们的对称型一样吗?它们可以相聚吗?
判断单形是否可以相聚要考虑结晶单形的对称型, 实际上
就是在表 5－ 1～表 5－ 7的 146个结晶单形中，属于同一个对
称型的单形就可以相聚。
