笫 7章 锁相环路
7.1 概 述
7.2 PLL基本原理
7.3 PLL的线性分析
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
7.4.2 一阶环路的非线性分析
7.4.3 二阶环路的非线性分析
7.5 集成锁相环介绍
7.6 PLL电路实例与应用举例
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
（ 1）研究的问题：捕捉特性和同步特性等。
?捕捉特性 指环路进入锁定状态的 条件, 过程 及所需的 时间 等。
▼ 条件,当输入信号刚刚加到 PLL输入端时，有 起始频差,
00 oi ??? ???
若 超过某个数值,环路将不能进入锁定状态，??
p?
称 为 PLL的 捕捉频带 。
p?
▼ 过程,环路进入锁定状态的过程，一般有两个过程：
频率牵引和相位锁定 。
▼ 时间,称从输入信号加到环路的输入端起，到环路进入锁定
状态的时间为 捕捉时间,用 表示。
pT
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 1）
?同步特性 是指在环路已进入锁定状态后，压控振荡器能跟踪
输入信号频率变化的范围，又称为 PLL的 非线性跟踪特性 。
▼ 当环路已处于锁定状态后，改变输入信号的频率，由于环路
的反馈控制作用,压控振荡器的频率将随输入信号频率变化 。
但压控振荡器的频率变化范围是有限的。
▼ 当输入信号频率变化超过某一边界值 后，压控振荡器
不再能跟踪它的变化，环路将失锁。通常称 为 同步频带
或保持频带，它表示了环路的同步特性。
H?
H?
▼ 锁相环是一个非线性系统。但是,在锁定情况下的跟踪过程
可以用线性系统近似处理。
)30(
6
)( o?? ?t
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 2）
?分析方法主要采用相平面图法
这是一种求解非线性微分方程的图解法，
适用于一阶和二阶环路。
▼ 在组成环路的各部件中,仅考虑鉴相器非线性特性。
并假定其特性为正弦函数 。
▼ 仅讨论一阶环路和采用理想积分滤波器的二阶环路
的捕捉特性。
7.4.2 一阶环路的非线性分析
0)()(s i n)()( 1 ????
dt
tdtpHK
dt
td
eFP
e ???
)()()()( 0001 ttttt iioi ?????? ??????
对于一阶 PLL:
0)()(s i n)( 1 ????
dt
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eP
e ???
对于输入频率阶跃 时，一阶 PLL能锁定。
0??
0)(s i n
)(
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???? tK
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 1）
一阶环路，其环路方程为：
0)(s i n
)(
??
?
???? tK
dt
td
eP
e
epe K ??? s in0 ???
?
式中 。该式表示的是 误差相位 值
不同时，其时间变化率是怎样的。所以，尽管式中没有表
示 误差相位 是怎样随时间变化的，但却完全可以描述反馈
控制过程中,误差相位 的变化情况。
000 oi ??? ??? e?
下面用图解法求解该非线性微分方程。
?
?? eeee
dt
tdt ???? )(,)( e? ?
e?
设,以 为自变数,为因变数。
以 为横坐标,为纵坐标。据上式可画出 ～
的曲线，如下图所示，称其为 相平面图 。
e? ?
e?
?
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?
返回 1
一阶环路的相平面图
e?
?
e?
2
?
2
3?? ?2
0??
0??
pK
? ? ?
a b c0
返回 2
返回 3
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 3）
（ 1）相平面图的特点：
?曲线上的任何一点都表示系统的一个状态，称曲线上的点
为 状态点,称曲线为 相轨迹 。
?
e?
?
e?
?相轨迹上状态点的运动方向,在横轴的上方,> 0,
表明 误差相位 的值将随时间的增加而增加。在横轴下方，
< 0，表明 误差相位 的值随时间而减小。
?
e?
?在曲线与横轴的交点,a,b,c … 点处,= 0,
称为 系统的平衡点 。
?称 a 和 C 点称为稳定平衡点, b 点为不稳定平衡点。
0?? pK
?曲线与横轴相交的情况决定于 和 的值。
相平面图
（ 2）一阶环路的非线性分析（相位锁定过程） 相平面图
?当 时，不论 起始为何值，环路总能达到
稳定平衡点。这就是说，只要满足,环路就能
进入锁定状态，所以 一阶环路的捕捉带为 。
pK?? 0? e?
pK?? 0?
pp K??
PL ?? ?
?稳定平衡点的表示式为：
若,则可得近似式：
pK??? 0?
p
e K
0)( ?? ???
它与一阶环路在输入信号为频率阶跃时的稳态相差是一致的。
?一阶环路的快捕带 等于捕捉带 。所谓快捕带是指环路
在锁定过程中,误差相位 的变化不超过 2 的最大起始频差。?L
?
,.,,,,,,2,1,0,2a r c s i n)( 0 ????
?
?? nn
K pe
?
?
?
?捕捉时间
pT
▼ 为计算捕捉时间，可以利用相
图求出与 t 的关系曲线，
然后求捕捉时间。
▼ 理论上环路达到稳定平
衡点的 时间是无穷长 。
▼ 实际上,当 小于某值时，认为达到稳态。
e?
?一阶环路的同步带 等于捕捉带 。
H? P?
HLP ??? ??
相平面图
（ 3）一阶环路的非线性分析（频率牵引过程）（ ）
pK?? 0?
?当 时,其相图如图 7.4.3所示 。
从图中可以看出，在这种情况下，没有 = 0的平衡点，
当然，也就没有稳定平衡点。
因此,环路不能进入锁定状态,称其为失锁状态。
pK?? 0?
?
e?
e?
?
e?
0??
pK
1t
2t
3t
4t
? 定性分析：
从
e?
??0
所需时间为 。
2t
e?
所需时间为 。
从 ?? 2?
24 tt ?
)( 242 ttt ??
返回
?由图 7.4.3所示曲线可以看出：
0?
?
e? e?
? 在失锁状态下，由于, 将连续变化。
? 但是由于在不同 值时，具有不同的 。
e?
?
e?
? 所以 的时间函数不是具有正斜率的直线 。
e?
?鉴相器的输出信号是非正弦波形，且正、负值部分不对称，
因此其中 存在着直流分量,这个直流分量的大小由下式确定：
]1)([ 2 ?
?
?
?
?
PP
dP KKKV
??
上图
?这个直流分量使压控振荡器的振荡频率向输入信号的频率靠
近,这种现象称为“频率牵引”。
t
t
e?
?2
?3
?4
?
1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t
0
0
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?失锁状态下 和 随时间变化的曲线
e? e?sin
PV
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 9）
)(tV?
0?
V?
i?
0??
??
0??
??
PKPK?
0
?? ???
? 一阶环路的频率牵引现象
7.4.3 *二阶环路的非线性分析
（ 1）相轨迹方程
用相图法分析二阶环路较一阶环路复杂，下面以含理想积分
滤波器二阶环路为例说明其原理。
0
)(
))(s i n ()(
)( 1
????
dt
td
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dt
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1
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c os
11
2
上式称为采用理想积分滤波器的二阶环路的 相轨迹方程 。
（ 2）相平面图上相轨迹的特点
?
?
???
e
eP
eP
e
e KK
d
d
?
?
?
?
?
?
?
? s i n
c os
11
2
?当 很大时，上式右端第二项可以略去,相轨迹近似为
正弦形 。
?
e?
?当 = 0 时，相轨迹的斜率等于,即在 轴上，
所有相轨迹曲线的斜率相等 。e? 12?
?
PK?
?
e?
?相轨迹对呈周期性,周期为 。因此，为了描述环路性能，
只需作出 的图形即可。 ?2
??? ??? e
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 1）
?当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的稳定
平衡点。 ?? ne 2?
?
e?
?当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的
不稳定平衡点。
?
e? ?? )12( ?? ne
?在起始频差 较大时，相轨迹近似于正弦波。 每变
化, 将有所下降，也即频差有所减小。 从起始状态
到进入曲线 (2)以前是频率牵引过程 。
?
e? e
?
?2 ?
e?
?进入曲线 (2)后为 相位锁定过程,它使两者之间的频率差减小
为零，而保持一固定的相差。
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 2）
?
e?
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返回 1 返回 2
B
B
CC
A
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0
0
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2
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2
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0
1
2
3
4
4
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t
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（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 3）
?有源比例积分滤波器（放大器增益有限）
? 二阶环路的捕捉带为：
? 二阶环路的快捕带为：
? 环路的捕捉时间近似为：
nPP K ??? 2?
nL ??? 2?
32 2/)(
nPT ?????
举例 1：
r a dVKVsr a dK d /4,./103 6 ????7-8 已知某 PLL的,
环路滤波器采用 RC低通滤波器, 如图所示 。 其元件数值如
图所示 。 求
1,闭环传递函数；
2,环路带宽 。 C
R
d v P v
F? 01,0
?K 10
举例 2：
7-9 某锁相环路采用图所示无源比例积分滤波器, 滤波器的
参数为 。 环路增益 。
输入信号为
其中 若压控振荡器的中心
频率 鉴相器具有正弦鉴相特性, 求
环路锁定后, 压控振荡器输出电压 的表示式 （ 假定其
幅度为 ） 。
mss 10,25.1 21 ???? 4105 ??
dKK ?
))(s i n5.0s i n ()( 0 VttVtv iimi ??? ?
,/2 0 0,/10 60 sr a dsr a di ????
,/10005.1 60 sr a do ???
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mV0
举例 1求解, 返回
已知,VKVsr a dK
d 4,./103 6 ???? sr a dK P /1012
6??
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闭环传递函数：
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2
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c
令,求得环路带宽：
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举例 2求解, 返回
已知,sr a dKKK
dP /105 4??? ?
闭环传递函数：
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环路锁定后的稳态相差：
输出信号：
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118.1)( ??jH C
7.1 概 述
7.2 PLL基本原理
7.3 PLL的线性分析
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
7.4.2 一阶环路的非线性分析
7.4.3 二阶环路的非线性分析
7.5 集成锁相环介绍
7.6 PLL电路实例与应用举例
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
（ 1）研究的问题：捕捉特性和同步特性等。
?捕捉特性 指环路进入锁定状态的 条件, 过程 及所需的 时间 等。
▼ 条件,当输入信号刚刚加到 PLL输入端时，有 起始频差,
00 oi ??? ???
若 超过某个数值,环路将不能进入锁定状态，??
p?
称 为 PLL的 捕捉频带 。
p?
▼ 过程,环路进入锁定状态的过程，一般有两个过程：
频率牵引和相位锁定 。
▼ 时间,称从输入信号加到环路的输入端起，到环路进入锁定
状态的时间为 捕捉时间,用 表示。
pT
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 1）
?同步特性 是指在环路已进入锁定状态后，压控振荡器能跟踪
输入信号频率变化的范围，又称为 PLL的 非线性跟踪特性 。
▼ 当环路已处于锁定状态后，改变输入信号的频率，由于环路
的反馈控制作用,压控振荡器的频率将随输入信号频率变化 。
但压控振荡器的频率变化范围是有限的。
▼ 当输入信号频率变化超过某一边界值 后，压控振荡器
不再能跟踪它的变化，环路将失锁。通常称 为 同步频带
或保持频带，它表示了环路的同步特性。
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▼ 锁相环是一个非线性系统。但是,在锁定情况下的跟踪过程
可以用线性系统近似处理。
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7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 2）
?分析方法主要采用相平面图法
这是一种求解非线性微分方程的图解法，
适用于一阶和二阶环路。
▼ 在组成环路的各部件中,仅考虑鉴相器非线性特性。
并假定其特性为正弦函数 。
▼ 仅讨论一阶环路和采用理想积分滤波器的二阶环路
的捕捉特性。
7.4.2 一阶环路的非线性分析
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 1）
一阶环路，其环路方程为：
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式中 。该式表示的是 误差相位 值
不同时，其时间变化率是怎样的。所以，尽管式中没有表
示 误差相位 是怎样随时间变化的，但却完全可以描述反馈
控制过程中,误差相位 的变化情况。
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下面用图解法求解该非线性微分方程。
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设,以 为自变数,为因变数。
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返回 1
一阶环路的相平面图
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返回 2
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 3）
（ 1）相平面图的特点：
?曲线上的任何一点都表示系统的一个状态，称曲线上的点
为 状态点,称曲线为 相轨迹 。
?
e?
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?相轨迹上状态点的运动方向,在横轴的上方,> 0,
表明 误差相位 的值将随时间的增加而增加。在横轴下方，
< 0，表明 误差相位 的值随时间而减小。
?
e?
?在曲线与横轴的交点,a,b,c … 点处,= 0,
称为 系统的平衡点 。
?称 a 和 C 点称为稳定平衡点, b 点为不稳定平衡点。
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?曲线与横轴相交的情况决定于 和 的值。
相平面图
（ 2）一阶环路的非线性分析（相位锁定过程） 相平面图
?当 时，不论 起始为何值，环路总能达到
稳定平衡点。这就是说，只要满足,环路就能
进入锁定状态，所以 一阶环路的捕捉带为 。
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?稳定平衡点的表示式为：
若,则可得近似式：
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它与一阶环路在输入信号为频率阶跃时的稳态相差是一致的。
?一阶环路的快捕带 等于捕捉带 。所谓快捕带是指环路
在锁定过程中,误差相位 的变化不超过 2 的最大起始频差。?L
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▼ 为计算捕捉时间，可以利用相
图求出与 t 的关系曲线，
然后求捕捉时间。
▼ 理论上环路达到稳定平
衡点的 时间是无穷长 。
▼ 实际上,当 小于某值时，认为达到稳态。
e?
?一阶环路的同步带 等于捕捉带 。
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HLP ??? ??
相平面图
（ 3）一阶环路的非线性分析（频率牵引过程）（ ）
pK?? 0?
?当 时,其相图如图 7.4.3所示 。
从图中可以看出，在这种情况下，没有 = 0的平衡点，
当然，也就没有稳定平衡点。
因此,环路不能进入锁定状态,称其为失锁状态。
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? 定性分析：
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所需时间为 。
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返回
?由图 7.4.3所示曲线可以看出：
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? 在失锁状态下，由于, 将连续变化。
? 但是由于在不同 值时，具有不同的 。
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?鉴相器的输出信号是非正弦波形，且正、负值部分不对称，
因此其中 存在着直流分量,这个直流分量的大小由下式确定：
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上图
?这个直流分量使压控振荡器的振荡频率向输入信号的频率靠
近,这种现象称为“频率牵引”。
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?失锁状态下 和 随时间变化的曲线
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 9）
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? 一阶环路的频率牵引现象
7.4.3 *二阶环路的非线性分析
（ 1）相轨迹方程
用相图法分析二阶环路较一阶环路复杂，下面以含理想积分
滤波器二阶环路为例说明其原理。
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上式称为采用理想积分滤波器的二阶环路的 相轨迹方程 。
（ 2）相平面图上相轨迹的特点
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所有相轨迹曲线的斜率相等 。e? 12?
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?相轨迹对呈周期性,周期为 。因此，为了描述环路性能，
只需作出 的图形即可。 ?2
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相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 1）
?当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的稳定
平衡点。 ?? ne 2?
?
e?
?当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的
不稳定平衡点。
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?在起始频差 较大时，相轨迹近似于正弦波。 每变
化, 将有所下降，也即频差有所减小。 从起始状态
到进入曲线 (2)以前是频率牵引过程 。
?
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e?
?进入曲线 (2)后为 相位锁定过程,它使两者之间的频率差减小
为零，而保持一固定的相差。
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 2）
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（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 3）
?有源比例积分滤波器（放大器增益有限）
? 二阶环路的捕捉带为：
? 二阶环路的快捕带为：
? 环路的捕捉时间近似为：
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举例 1：
r a dVKVsr a dK d /4,./103 6 ????7-8 已知某 PLL的,
环路滤波器采用 RC低通滤波器, 如图所示 。 其元件数值如
图所示 。 求
1,闭环传递函数；
2,环路带宽 。 C
R
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举例 2：
7-9 某锁相环路采用图所示无源比例积分滤波器, 滤波器的
参数为 。 环路增益 。
输入信号为
其中 若压控振荡器的中心
频率 鉴相器具有正弦鉴相特性, 求
环路锁定后, 压控振荡器输出电压 的表示式 （ 假定其
幅度为 ） 。
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举例 1求解, 返回
已知,VKVsr a dK
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令,求得环路带宽：
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举例 2求解, 返回
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闭环传递函数：
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环路锁定后的稳态相差：
输出信号：
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