第十七章
动力学普遍方程和拉格朗日方程
简 介
考察由 n个质点的、具有理想约束的系统。根据
达朗伯原理，有
),,2,1(0FFF IN niiii ??????? ???
主动力
惯性力
令系统有任意一组虚位移 ),,2,1(r ni
i ????
??
系统的总虚功为 ),,2,1(0rδ)FFF(
IN nii
i
iii ?????????
????
一,动力学普遍方程
利用理想约束条件 ),,2,1(0rδF
N ni
i
ii ???????
??
),,2,1(0rδ)FF( I nii
i
ii ????????
???
得到
),,2,1(0rδ)aF( nim i
i
iii ????????
???
动力学普遍方程
任意瞬时，作用于具有理想约束的系统上
的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元
功之和等于零。 —— 动力学普遍方程
注意到：
ii amF
?? ??
I
),,2,1(0rδ)FF( I nii
i
ii ????????
???
),,2,1(0rδ)FF( I nii
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ni
zzmFyymFxxmF iiiiziiiiyi
i
iiix
,,,????
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21
0δ)(δ)(δ)( ??????
动力学普遍方程 的直角坐标形式
动力学普遍方程
? ? ? ? ? ?iiiiiiiiiziyixi zyxzyxFFF δ,δ,δrδ,,,a,,,F ??? ?????????
),,2,1(0rδ)aF( nim i
i
iii ????????
???
动力学普遍方程的意义和应用
? 由于动力学普遍方程中不包含约束力，因
此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
? 动力学普遍方程是将 达朗伯原理和虚位移原理
而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
二、广义坐标和广义力
2、广义坐标
用来表示质点系位置的独立参数
1、系统的自由度
具有 n 个质点的 稳定完整 系统，如果受有 S 个
约束，
该系统的自由度为,SnN ?? 3
确定系统在空间的位置所需要的独立参
数的个数。
对于 稳定完整系统 广义坐标的个数等于
系统的自由度
由 n个质点所
组成的质点系 主 动 力
虚 位 移
广义坐标
第 i个质
点的位矢
nF,,F,F 21
??? ???
)rδ,,rδ,rδ(rδ 21 n???? ????
Nqqq,,,21 ???
),,,(rr 21 Nii qqq ???? ??
质点位置坐标,,,,,,,,,,222111 nnn zyxzyxzyx ??
SnN ?? 3
3,广义力
第 i个质
点的位矢
第 i个质点
的虚位移 j
N
j j
i
i qq δ
rrδ
1
?
? ?
?? ??
由系统的虚功表达式
i
n
i
iW rδFδ
1
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j
n
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定义：
上式中,),,2,1( Nkq
k ????
称为与第 j个广义坐标 对应的广义主动力
kQ kq
第 j 个广义坐标 对应的 广义虚位移
kq
有势力的 广义力
k
k q
VQ
?
?＝－特别地：
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
kq
三,拉格朗日方程
kk
k q
T
q
T
tQ ?
?
?
? －＝ )(
d
d
?
对于 主动力为有势力的情况,拉格朗日方程 可改写为：
0)(dd ＝－
kk q
L
q
L
t ?
?
?
?
?
式中：
L＝ T－ V
L 称为拉格朗日函数，或动势
动力学普遍方程和拉格朗日方程
简 介
考察由 n个质点的、具有理想约束的系统。根据
达朗伯原理，有
),,2,1(0FFF IN niiii ??????? ???
主动力
惯性力
令系统有任意一组虚位移 ),,2,1(r ni
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系统的总虚功为 ),,2,1(0rδ)FFF(
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利用理想约束条件 ),,2,1(0rδF
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动力学普遍方程
任意瞬时，作用于具有理想约束的系统上
的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元
功之和等于零。 —— 动力学普遍方程
注意到：
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动力学普遍方程 的直角坐标形式
动力学普遍方程
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动力学普遍方程的意义和应用
? 由于动力学普遍方程中不包含约束力，因
此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
? 动力学普遍方程是将 达朗伯原理和虚位移原理
而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
二、广义坐标和广义力
2、广义坐标
用来表示质点系位置的独立参数
1、系统的自由度
具有 n 个质点的 稳定完整 系统，如果受有 S 个
约束，
该系统的自由度为,SnN ?? 3
确定系统在空间的位置所需要的独立参
数的个数。
对于 稳定完整系统 广义坐标的个数等于
系统的自由度
由 n个质点所
组成的质点系 主 动 力
虚 位 移
广义坐标
第 i个质
点的位矢
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定义：
上式中,),,2,1( Nkq
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称为与第 j个广义坐标 对应的广义主动力
kQ kq
第 j 个广义坐标 对应的 广义虚位移
kq
有势力的 广义力
k
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?＝－特别地：
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
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三,拉格朗日方程
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对于 主动力为有势力的情况,拉格朗日方程 可改写为：
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式中：
L＝ T－ V
L 称为拉格朗日函数，或动势
