? 几个有意义的实际问题
? 相对于定点 的质点系动量矩定理
? 相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
? 刚体平面运动微分方程
第十二章 动量矩定理
? 刚体绕定轴转动的微分方程
？谁最先到 达顶点
几个有意义的实际问题
？
? 几个有意义的实际问题
为什么二者
转动方向相反
? 几个有意义的实际问题
航天器是
怎样实现姿
态控制的
? ? iiiiO vmrvmM ???? ??
mi
m1
mnm3
m2
ri
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩
第 i个 质点对于点 O 的位矢
与质点动量叉乘，所得到的矢
量称为质点对于点 O 的动量矩。
2、质点对定轴的动量矩
1、质点对定点的动量矩
? ? ? ?? ? ziiOiiz vmMvmM ??? ?
iivm
?
? ?vmM O ??
即：质点的动量对于固定
点 O 的矩称为质点对于点 O 的
动量矩。
x
z
yO
质点系中所有质点对于点 O 的动
量矩的矢量和，称为质点系对点 O
的动量矩。
二,质点系的动量矩
1、质点系对定点的动量矩
2、质点系对定轴的动量矩
? ???
i
iizz vmM
?L
显然有,? ?
zOz LL
??
mi
m1
mnm3
m2
ri
iivm
?
? ?vmM O ??
x
z
yO
? ?
? ??
?
??
?
i
iii
i
iiOO
vmr
vmML
??
???
三、刚体的动量矩计算
（ 1）平移刚体
对于平移刚体，仅需将刚体质量假想集中
于质心，然后按照质点的方法计算动量矩。
CCO vmr
??? ??L
x
z
yO Cr?
Cvm
?
OL
?
C
CCO vmr
??? ??L
x
z
yO Cr?
Cvm
?
OL
?
C
证明：
? ??
i
iiiO m vrL
???
∵ 刚体作平移
各点的速度与质心速度相同，
? ??
i
iiiO m vrL
???
得到：
? ? Cii vrm ?? ?? ?
? ? CC vrm ?? ??
CC vmr
?? ??
（ 2）定轴转动的刚体
式中：
刚体绕 z 轴的转动惯量
刚体绕 z 轴的动量
矩等于该刚体对 z 轴的
转动惯量与转动角速度
的乘积。
?zz J?L ??
i
iiz rmJ
2
ω y
x
z
ri
mi
iivm
?
ω
ri
mi
y
x
z
iivm
?
?zz J?L
??
i
iiz rmJ
2
证明：
? ? ?? ??
i
iii
i
iizz rmvmM vL
?
? ???
i
iii rrm ?
?
?
?
?
?
?
? ?
i
ii rm
2?
令：
得：
?zz J?L
??
i
iiz rmJ
2
§ 12 - 2 转动惯量
一、定义 ??
i
iiz rmJ
2
ω
ri
mi
y
x
z
iivm
?
对于刚体
??
m
z dmrJ
2
单位,2mkg ?
量纲：
2LM
二、几种简单形状刚体的转动惯量
1、均质细长杆z
xl 231 lmJ z ?
z
xl
l /2
2
12
1 lmJ
z ?
2、均质薄圆环
2RmJ
z ?
3、均质薄圆板
2
2
1
RmJ z ?
x
y
R
z
x
z
R
z
三、惯性半径
定义,2
zz mJ ??
或
m
J Z
z ??
z? 惯性半径
四、平行移轴公式
2dmJJ zCz ??
刚体对于任意 z 轴的转动惯量 等于刚体对于通
过质心 C 并与该轴平行的轴 的转动惯量
加上刚体的质量 m与两轴距离 d 的平方的乘积。
zJ
Cz zCJ
平行移轴公式 的证明 2dmJJ
zCz ??
C点为刚体的质心，已知 求
zCJ zJ
? ??? ??? 212121 yxmrmJ iizC
? ??? ??? 222 yxmrmJ iiiz
由图可知
dyy
xx
??
?
1
1
得到 ? ?? ?? ??? 2
121 dyxmJ iz
? ?? ? ????? iii mdymdyxm 212121 2
z Cz
x’
y’
z’
d
x
yO C
y
m
1xx?1y
r
1r
平行移轴公式 的证明 2dmJJ
zCz ??
? ?? ?? ??? 2121 dyxmJ iz
? ?? ? ????? iii mdymdyxm 212121 2
由质心坐标公式
?
??
i
i
c m
ymy 1
现在 0?
cy
? ? 01ym i
又有 ? ? mm i
证得：
2dmJJ zCz ??
x x’
z
y
y’
O C
m
1xx?
y
1y
r
1r
d
Cz
z’
x
y
R
zC
Z
求：
zJ
例题 1
例题 2
杆质量为 m 1, 长度为 l
圆盘质量为 m 2, 直径为 d
求：系统的
OJ
O l
质点对于定点 O 的动量矩对时间
的一阶导数，等于作用在质点上的
力对于同一点的力矩
§ 12 - 3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
? ? ? ?FMvmM
t OO
????
?
d
d
质点对于 定点 的动量矩定理。x
y
z
rO A
vm?F
?? ?vmM
O
??
? ?FO ??M
x
y
z
rO A
vm?F
?? ?vmM
O
??
? ?FO ??M
? ? ? ?FMvmM
t OO
????
?
d
d
? ? ? ?vmrdtdvmMt O ???? ??dd
? ? ? ?dt vmdrvmdt rd
????
????
注意到：
? ? ? ? 0???? vmvvmdt rd ???
?
? ? ? ?FMFr
dt
vmdr
O
??????
????
定理得证
证明：
质点系对于定点 O 的动量矩对
时间的一阶导数，等于作用在系统
上 所有外力 对于同一点的主矩。
二、质点系的动量矩定理
eM
d
Ld
O
O
t
?
?
?
质点系对于 定点 的动量矩定理。
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO ri
Fi
Fn
F1
F2
iivm
?
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO ri
Fi
Fn
F1
F2
iivm
?
eM
d
Ld
O
O
t
?? ?
? ? ? ? ? ?eiOiiOiiO FMFMvmMt ?????? ??dd
对质点系中，第 i 个质点
对 质点系，有
? ? ? ? ? ?ein
i
O
i
i
n
i
OiiO
n
i
FMFMvmMdtd ?????? ???
???
??
111
注意到,? ?
0
1
??
?
i
i
n
i
O FM
??
? ? ? ? On
i
iiOiiO
n
i
LdtdvmMdtdvmMdtd
?????
??
?
??
?
?? ??
?? 11
定理得证。
e
d
d
O
O M
t
L ?
?
?
α
ω
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
kjiM eeee ???? zyxO MMM ???
kjiL ???? zyxO LLL ???
e
e
e
d
d
d
d
d
d
z
z
y
y
x
x
M
t
L
M
t
L
M
t
L
?
?
?
三,质点系相对于定轴的动量矩定理
质点系对于 定轴 的动量矩对时间
的一阶导数等于作用在系统上的外
力主矩在投影轴上的投影。
质点系对于定轴的动量矩定理
e
d
d
z
z M
t
L
?
0M e ＝O? CL ?O?
如果外力系对于定点的主矩等于 0，
则质点系对这一点的动量矩守恒。
四,动量矩守恒定理
eM
d
Ld
O
O
t
?
?
?
? 质点系 动量矩定理
的守恒形式
0e ?zM CL z ?
如果外力系对于定轴之矩等于 0，
则质点系对这一轴的动量矩守恒。
e
d
d
z
z M
t
L
?
鼓轮半径为 R,转动惯量为 J,小车和矿
石总 质量为 m。鼓轮在力偶矩 M带动下
绕固定轴 O转动，轨道的倾角为 θ。
求,小车的加速度
例 题
Ov?
θ
M
2 P
1P
Ov?
θ
M
2 P
1P
设圆轮的角速度和角加速度分别为 ?
和 ?,小车的速度加速度分别为 v 和 a。
鼓轮对 O 轴 的 动量矩
小车对 O的 轴动量矩
?JL O ＝1
m v RL O ＝2
mv RJLLL OOO ?? ?21＋＝系统对 O 的 轴总动量矩
解：以鼓轮和小车为研究对象
ω
m v RJL O ??＝
Ov?
θ
M
2 P
1P
ω 由系统的受力图xF
?
y F
?
N F
?
系统外力对 O 轴的矩为：
Rs i nmgMM eO ??? ?
注意到：
应用动量矩定理 e
d
d
O
O M
t
L ?
得到,Rs i nmgMR
t ???? ?? )mv(Jd
d
adtdv,Rv ???
解得,22
mRJ
s i nm g RMRa
?
?? ?
均质圆轮半径为 R,质量
为 m。圆轮在重物 P带动下
绕固定轴 O转动，已知重物
重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
例 题
例 题
设圆轮的角速度和角加速度分别为 ?
和 ?, 重物加速度为 aP 。
圆轮对 O 轴 的 动量矩
重物对 O的 轴动量矩
?? 21 21 mRJL OO ?＝
vRgWm v RL O ?＝2
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝ ?221 21?
系统对 O 的 轴总动量矩
?
?
P
O
W
aP
解：以圆轮和重物为研究对象
例 题 解：
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝ ?221 21?
系统对 O的 轴总动量矩
应用动量矩定理
e
d
d
O
O M
t
L ?
WRvRgWmRt ?? )21(dd 2 ?
P
?
?O
W
aP
得到：
aP=R?
g
Wm
W
a P
?
?
2
WRRagWmR P ???221
代入
？
为什么二者
转动方向相反
几个有意义的实际问题
? 结论与讨论 ? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
航天器是
怎样实现姿
态控制的
？
谁最先到
达顶点
?zz JL ?
§ 12 -- 4 刚体绕定轴转动的运动微分方程
α
ωF1
F2
Fn
Fi
y
x
z
刚体绕 z 轴转动，轴承的支反力对 z 轴的
力矩恒等于零，由质点系的动量矩定理
? ??
?
?
n
i
e
izz FMLt
1d
d ?
注意到：
得到：
? ? ? ??
?
?
n
i
e
izz FMJt
1d
d ??
刚体定轴转动运动微分方程
zz
zz
M
dt
d
J
M
dt
d
J
＝
＝
2
2
?
?
zz MJ ＝?
上式也可写为：
? ? ? ??
?
?
n
i
e
izz FMJt
1d
d ??
刚体对定轴的 转动惯量与角加速度的乘积 等于
作用于刚体上的 主动力对该轴力矩 的代数和
例题
1F
?
2F
?
已知：轮子半径为 R,转动惯量为 J,受力如图
求：轮子转动的角加速度
?
解：根据 刚体定轴转动运动微
分方程
zz MJ ＝?
得到：
? ?RFFJ z 21 ?＝?
? ?
zJ
RFF 21 ?＝?
O
0?
F?
NF
?
例题 飞轮的转动惯量为,角速度为,制动时，闸块对轮子的正压力为,闸块和轮子
间的摩擦系数为 f, 轮子的半径为 R
0J 0?
NF
求：制动所需要的时间
解：以轮子为研究对象
根据 刚体定轴转动运动微分方程
OO MJ ＝?
RfFFRdtdJ NO ?＝?
积分得：
R d tFfdJ NtO
o ??? 0
0 ＝
? ?
解得：
RfF
Jt
N
O 0??
C
A
l
O
k
扭摆装置中，圆盘 A 对通过圆心 C
的铅垂轴的转动惯量为 JC； 弹性杆件
OC 的长度为 l,切变模量为 G,横截
面的极惯性矩为 IP,杆件的质量与圆
盘相比可以忽略不计。
若不考虑空气阻力
求：扭摆的扭转振动周期
例题
C
A
l
O
k
例 题
?
解,假设圆盘扭过一任意角度 φ,根据圆轴扭
转的变形与扭矩的关系
P
x
GI
M
x
?
d
d ?
l
GIk P?
将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数
P
x
GI
M
l
??
应用刚体定轴转动运动微分方程
??? lGIkJ PC －＝－ ???
0???
lJ
GI
C
P＋?? 扭摆的周期为
P
C
GI
lJ
T π2＝
§ 12-5 质点系 相对于质心的 动量矩定理
结论：
质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一
阶导数，等于作用在系统上 所有外力 对于
质心的主矩
? ? eM
d
Ld
C
i
e
iC
C FM
t
????
? ??
特别地：刚体作 平面运动 时
?CC JL ?
mi
x
z
yO Cx′
z′
y′
iv
?
C 为 质点系的质心,O 为定点
? ? ?? ???
i
iii
i
iiOO mvmM vrL
?????
ir
?
Cr
?
ir
??
注意到
iCi rrr
??? ???
? ?? ????
i
iiiCO mrr vL
????
?? ?????
i
ii
i
iiC mrmr vv
????
CCCO Lvmr
???? ???L得到：
式中：
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L
证明：
m
i
x
z
yO Cx′
z′
y′
iv?
ir?
Cr?
ir??
CCCO Lvmr
???? ???L
? ? ? ????
i
e
iiCCC FrLvmrdt
d ?????
对上式求导，并由动量矩定理，得到
?? ?????????
i
e
ii
i
e
iC
C
CCC
C FrFr
dt
Ldvm
dt
drvm
dt
rd ????
?
????
注意到
????
i
e
iCC
C
C
C Fama
dt
vdv
dt
rd ??????,,
得到,定理得证 ? ??? ????
i
e
iC
i
e
ii
C FMFr
dt
Ld ????
?
? 相对于质心 (平移系 )的
质点系动量矩定理
? 质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩对
时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力
系对质心的主矩 。
? ? eM
d
Ld
C
i
e
iC
C FM
t
????
? ??
进一步说明
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L
公式中 是质点的绝对速度
iv
?
建立 以质心为原点的平移参考
系 C x ’ y’ z’
irCi vvv
??? ??
? ?irCi
i
iC vvmr
???? ???? ?L
iri
i
iCi
i
i vmrvmr
???? ?????? ??
∵ 0??????
CCii rrmrm
???
得到：
iri
i
iC vmrL
??? ??? ?
Cv
? im
C
iv
?
x′
z′
y′
Cv
?
irv
?
Cv
?
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L 公式中 是质点的绝对速度iv?
im
Cx′
z′
y′
现得到：
iri
i
iC vmrL
??? ??? ?
irv
?
质点相对于质心
的速度
从而对于作平面运动的刚体有：
?CC JL ?
原来的计算公式为：
?? Cii
i
iiiC JrmvmrL ???? ?? )(
i
2
r＝
irv
?
ir?
?
刚体作平面运动时：
最终结论：
质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一阶导数，
等于作用在系统上 所有外力 对于质心的主矩
e
d
d
C
C M
t
L ?
?
?
特别地：刚体作 平面运动 时
?CC JL ?
?CCCO JvmrL ??? ??
? 当外力对质心的主矩为 0时，
CLL CC ?? 0
质点系相对质心 (平移系 )动量矩守恒定理
0e ＝CM
S
C x?
y?
?
?F2
F1
Fn
Fi
aC
S－ 平面图形；
C－ 平面图形的质心；
?－ 平面图形的角速度；
?－ 平面图形的角加速度；
Oxyz－ 定系；
Cx? y? z? － 动系；x
y
O
F1,F2,…,Fi,…,Fn－ 外 力系
§ 12 – 6 刚体平面运动微分方程
－ 平面图形质心加速度；
Ca
?
? 刚体平面运动微分方程
平面运动 = 随 基点 的平动 + 绕 基点 的转动
在动力学中，应取 质心 为基点
平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
随 质心 的平移规律：质心运动方程
绕 质心 的转动,质点系 相对于质心转动的 动量矩定理
??
i
e
iC Fm
??
a
e
d
d
C
C M
t
L ?
?
?
? 刚体平面运动微分方程
刚体作 平面运动 时 ?
CC JL ?
? ???
i
e
iC
C FM
t
???
d
Ld代入
有 ? ? ? ???
i
e
iCC FMJdt
d ??
? ? eCeiCC MFMJ ?? ??
得到：
? 刚体平面运动微分方程
?? eiC Fm ??a
? ??? eiCC FMJ ??
投影式：
? ??
?
?
?
?
?
e
iCC
e
yCy
e
xCx
FMJ
Fma
Fma
?
?
刚体平面运动微分方程只能对 质心 写出
? ??
?
?
?
?
?
e
iCC
e
n
n
C
e
t
t
C
FMJ
Fma
Fma
?
?
例题
求,1、轮心的加速度；
半径为 r, 质量为 m 的圆轮，水平纯滚动，圆
轮的转动半径为, 圆轮 上作用力偶矩 M。C?
2、圆轮与地面的摩擦系数为 f,
使 圆轮不发生滑动的
maxM
Ca
? αC
M
F?
NF
?
mg
M
Ca
? αC
解,圆轮 受力如图
圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
Fmama CCx ??
N0 Fmgma Cy ???
FrMJ C ???
aC =r?
根据圆轮作纯滚动的条件
联解以上方
程组，得,? ?22 rm
Mra
C
C ?? ?
? ?
r
rFM C22 ???
F?
NF
?
mg
M
Ca
? αC
圆轮纯滚动的条件为：
mgfFfF sNs ??
? ?
r
rFM C22 ???
得到：
? ?
r
rmgfM Cs 22 ???
? ?
r
rmgfM Cs
m a x
22 ??
?
C
半径为 r 的均质圆轮，在倾角 θ
的斜面上，从静止开始向下作无
滑动的滚动。
求,1、圆轮滚动到任意位置
时，质心的加速度；C
例题
θ
2、圆轮在斜面上不发生滑动
所需要的最小摩擦系数。
解：受力分析
C
W＝ mg
FN
1、圆轮质心加速度, 圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
W＝ mg－ 圆轮所受重力；
F － 滑动摩擦力；
FN － 斜面约束力。x?
y?
x
y
O F
Fmgmama CCx ??? ?s in
θ
Nc o s0 Fmgma Cy ??? ?
rFJ C ??
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
根据圆轮作纯滚动的条件
aC =r?
?s in3221 ga,maF CC ??
rFJ
Fmgma
Fmgmama
C
Cy
CCx
?
???
???
?
?
?
N
c os0
s i n
2、圆轮在斜面上不发生滑动
所需要的最小摩擦因数,
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
?s in3221 ga,maF CC ??
?s in31 mgF ?
纯滚动时，滑动摩擦力必须小于最大静摩擦力 FN fs
sNs in3
1 fFmgF ?? ?
?t a n31s m i nN ?fF
例题：关于突然解除约束问题
O FOx
FOy
W=mg
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx= 0,
FOy= mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？
FOy=？
突然解除约束瞬时，杆 OA将绕 O轴转动，
应用定轴转动微分方程
? ?FMJ OO ???
应用质心
运动定理
OxF
lm ??? 0
2
2?
这时,?? 0,?? 0。
需要先求出 ?,再确定约束力。
l
g
2
3??
3
1 2 lmgml ???
OyFmg
lm ??? ?
2
O FOx
FOy
W=mg
AC α
?? nn Fma
?? tt Fma
应用质心运动定理
l
g
2
3??
42
0
mgl
mmgF
F
Oy
Ox
????
?
?
O FOx
FOy
W=mg
AC α
OxF
lm ??? 0
2
2?
OyFmg
lm ??? ?
2
?? nn Fma
?? tt Fma
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动
实例讨论
? 结论与讨论 ? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动
? 相对于定点 的质点系动量矩定理
? 相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
? 刚体平面运动微分方程
第十二章 动量矩定理
? 刚体绕定轴转动的微分方程
？谁最先到 达顶点
几个有意义的实际问题
？
? 几个有意义的实际问题
为什么二者
转动方向相反
? 几个有意义的实际问题
航天器是
怎样实现姿
态控制的
? ? iiiiO vmrvmM ???? ??
mi
m1
mnm3
m2
ri
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩
第 i个 质点对于点 O 的位矢
与质点动量叉乘，所得到的矢
量称为质点对于点 O 的动量矩。
2、质点对定轴的动量矩
1、质点对定点的动量矩
? ? ? ?? ? ziiOiiz vmMvmM ??? ?
iivm
?
? ?vmM O ??
即：质点的动量对于固定
点 O 的矩称为质点对于点 O 的
动量矩。
x
z
yO
质点系中所有质点对于点 O 的动
量矩的矢量和，称为质点系对点 O
的动量矩。
二,质点系的动量矩
1、质点系对定点的动量矩
2、质点系对定轴的动量矩
? ???
i
iizz vmM
?L
显然有,? ?
zOz LL
??
mi
m1
mnm3
m2
ri
iivm
?
? ?vmM O ??
x
z
yO
? ?
? ??
?
??
?
i
iii
i
iiOO
vmr
vmML
??
???
三、刚体的动量矩计算
（ 1）平移刚体
对于平移刚体，仅需将刚体质量假想集中
于质心，然后按照质点的方法计算动量矩。
CCO vmr
??? ??L
x
z
yO Cr?
Cvm
?
OL
?
C
CCO vmr
??? ??L
x
z
yO Cr?
Cvm
?
OL
?
C
证明：
? ??
i
iiiO m vrL
???
∵ 刚体作平移
各点的速度与质心速度相同，
? ??
i
iiiO m vrL
???
得到：
? ? Cii vrm ?? ?? ?
? ? CC vrm ?? ??
CC vmr
?? ??
（ 2）定轴转动的刚体
式中：
刚体绕 z 轴的转动惯量
刚体绕 z 轴的动量
矩等于该刚体对 z 轴的
转动惯量与转动角速度
的乘积。
?zz J?L ??
i
iiz rmJ
2
ω y
x
z
ri
mi
iivm
?
ω
ri
mi
y
x
z
iivm
?
?zz J?L
??
i
iiz rmJ
2
证明：
? ? ?? ??
i
iii
i
iizz rmvmM vL
?
? ???
i
iii rrm ?
?
?
?
?
?
?
? ?
i
ii rm
2?
令：
得：
?zz J?L
??
i
iiz rmJ
2
§ 12 - 2 转动惯量
一、定义 ??
i
iiz rmJ
2
ω
ri
mi
y
x
z
iivm
?
对于刚体
??
m
z dmrJ
2
单位,2mkg ?
量纲：
2LM
二、几种简单形状刚体的转动惯量
1、均质细长杆z
xl 231 lmJ z ?
z
xl
l /2
2
12
1 lmJ
z ?
2、均质薄圆环
2RmJ
z ?
3、均质薄圆板
2
2
1
RmJ z ?
x
y
R
z
x
z
R
z
三、惯性半径
定义,2
zz mJ ??
或
m
J Z
z ??
z? 惯性半径
四、平行移轴公式
2dmJJ zCz ??
刚体对于任意 z 轴的转动惯量 等于刚体对于通
过质心 C 并与该轴平行的轴 的转动惯量
加上刚体的质量 m与两轴距离 d 的平方的乘积。
zJ
Cz zCJ
平行移轴公式 的证明 2dmJJ
zCz ??
C点为刚体的质心，已知 求
zCJ zJ
? ??? ??? 212121 yxmrmJ iizC
? ??? ??? 222 yxmrmJ iiiz
由图可知
dyy
xx
??
?
1
1
得到 ? ?? ?? ??? 2
121 dyxmJ iz
? ?? ? ????? iii mdymdyxm 212121 2
z Cz
x’
y’
z’
d
x
yO C
y
m
1xx?1y
r
1r
平行移轴公式 的证明 2dmJJ
zCz ??
? ?? ?? ??? 2121 dyxmJ iz
? ?? ? ????? iii mdymdyxm 212121 2
由质心坐标公式
?
??
i
i
c m
ymy 1
现在 0?
cy
? ? 01ym i
又有 ? ? mm i
证得：
2dmJJ zCz ??
x x’
z
y
y’
O C
m
1xx?
y
1y
r
1r
d
Cz
z’
x
y
R
zC
Z
求：
zJ
例题 1
例题 2
杆质量为 m 1, 长度为 l
圆盘质量为 m 2, 直径为 d
求：系统的
OJ
O l
质点对于定点 O 的动量矩对时间
的一阶导数，等于作用在质点上的
力对于同一点的力矩
§ 12 - 3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
? ? ? ?FMvmM
t OO
????
?
d
d
质点对于 定点 的动量矩定理。x
y
z
rO A
vm?F
?? ?vmM
O
??
? ?FO ??M
x
y
z
rO A
vm?F
?? ?vmM
O
??
? ?FO ??M
? ? ? ?FMvmM
t OO
????
?
d
d
? ? ? ?vmrdtdvmMt O ???? ??dd
? ? ? ?dt vmdrvmdt rd
????
????
注意到：
? ? ? ? 0???? vmvvmdt rd ???
?
? ? ? ?FMFr
dt
vmdr
O
??????
????
定理得证
证明：
质点系对于定点 O 的动量矩对
时间的一阶导数，等于作用在系统
上 所有外力 对于同一点的主矩。
二、质点系的动量矩定理
eM
d
Ld
O
O
t
?
?
?
质点系对于 定点 的动量矩定理。
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO ri
Fi
Fn
F1
F2
iivm
?
m1
mn
mi
m3
m2
x
z
yO ri
Fi
Fn
F1
F2
iivm
?
eM
d
Ld
O
O
t
?? ?
? ? ? ? ? ?eiOiiOiiO FMFMvmMt ?????? ??dd
对质点系中，第 i 个质点
对 质点系，有
? ? ? ? ? ?ein
i
O
i
i
n
i
OiiO
n
i
FMFMvmMdtd ?????? ???
???
??
111
注意到,? ?
0
1
??
?
i
i
n
i
O FM
??
? ? ? ? On
i
iiOiiO
n
i
LdtdvmMdtdvmMdtd
?????
??
?
??
?
?? ??
?? 11
定理得证。
e
d
d
O
O M
t
L ?
?
?
α
ω
vi
ri
mi
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
kjiM eeee ???? zyxO MMM ???
kjiL ???? zyxO LLL ???
e
e
e
d
d
d
d
d
d
z
z
y
y
x
x
M
t
L
M
t
L
M
t
L
?
?
?
三,质点系相对于定轴的动量矩定理
质点系对于 定轴 的动量矩对时间
的一阶导数等于作用在系统上的外
力主矩在投影轴上的投影。
质点系对于定轴的动量矩定理
e
d
d
z
z M
t
L
?
0M e ＝O? CL ?O?
如果外力系对于定点的主矩等于 0，
则质点系对这一点的动量矩守恒。
四,动量矩守恒定理
eM
d
Ld
O
O
t
?
?
?
? 质点系 动量矩定理
的守恒形式
0e ?zM CL z ?
如果外力系对于定轴之矩等于 0，
则质点系对这一轴的动量矩守恒。
e
d
d
z
z M
t
L
?
鼓轮半径为 R,转动惯量为 J,小车和矿
石总 质量为 m。鼓轮在力偶矩 M带动下
绕固定轴 O转动，轨道的倾角为 θ。
求,小车的加速度
例 题
Ov?
θ
M
2 P
1P
Ov?
θ
M
2 P
1P
设圆轮的角速度和角加速度分别为 ?
和 ?,小车的速度加速度分别为 v 和 a。
鼓轮对 O 轴 的 动量矩
小车对 O的 轴动量矩
?JL O ＝1
m v RL O ＝2
mv RJLLL OOO ?? ?21＋＝系统对 O 的 轴总动量矩
解：以鼓轮和小车为研究对象
ω
m v RJL O ??＝
Ov?
θ
M
2 P
1P
ω 由系统的受力图xF
?
y F
?
N F
?
系统外力对 O 轴的矩为：
Rs i nmgMM eO ??? ?
注意到：
应用动量矩定理 e
d
d
O
O M
t
L ?
得到,Rs i nmgMR
t ???? ?? )mv(Jd
d
adtdv,Rv ???
解得,22
mRJ
s i nm g RMRa
?
?? ?
均质圆轮半径为 R,质量
为 m。圆轮在重物 P带动下
绕固定轴 O转动，已知重物
重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
例 题
例 题
设圆轮的角速度和角加速度分别为 ?
和 ?, 重物加速度为 aP 。
圆轮对 O 轴 的 动量矩
重物对 O的 轴动量矩
?? 21 21 mRJL OO ?＝
vRgWm v RL O ?＝2
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝ ?221 21?
系统对 O 的 轴总动量矩
?
?
P
O
W
aP
解：以圆轮和重物为研究对象
例 题 解：
vRgWmRLLL OOO ＋＋＝ ?221 21?
系统对 O的 轴总动量矩
应用动量矩定理
e
d
d
O
O M
t
L ?
WRvRgWmRt ?? )21(dd 2 ?
P
?
?O
W
aP
得到：
aP=R?
g
Wm
W
a P
?
?
2
WRRagWmR P ???221
代入
？
为什么二者
转动方向相反
几个有意义的实际问题
? 结论与讨论 ? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
航天器是
怎样实现姿
态控制的
？
谁最先到
达顶点
?zz JL ?
§ 12 -- 4 刚体绕定轴转动的运动微分方程
α
ωF1
F2
Fn
Fi
y
x
z
刚体绕 z 轴转动，轴承的支反力对 z 轴的
力矩恒等于零，由质点系的动量矩定理
? ??
?
?
n
i
e
izz FMLt
1d
d ?
注意到：
得到：
? ? ? ??
?
?
n
i
e
izz FMJt
1d
d ??
刚体定轴转动运动微分方程
zz
zz
M
dt
d
J
M
dt
d
J
＝
＝
2
2
?
?
zz MJ ＝?
上式也可写为：
? ? ? ??
?
?
n
i
e
izz FMJt
1d
d ??
刚体对定轴的 转动惯量与角加速度的乘积 等于
作用于刚体上的 主动力对该轴力矩 的代数和
例题
1F
?
2F
?
已知：轮子半径为 R,转动惯量为 J,受力如图
求：轮子转动的角加速度
?
解：根据 刚体定轴转动运动微
分方程
zz MJ ＝?
得到：
? ?RFFJ z 21 ?＝?
? ?
zJ
RFF 21 ?＝?
O
0?
F?
NF
?
例题 飞轮的转动惯量为,角速度为,制动时，闸块对轮子的正压力为,闸块和轮子
间的摩擦系数为 f, 轮子的半径为 R
0J 0?
NF
求：制动所需要的时间
解：以轮子为研究对象
根据 刚体定轴转动运动微分方程
OO MJ ＝?
RfFFRdtdJ NO ?＝?
积分得：
R d tFfdJ NtO
o ??? 0
0 ＝
? ?
解得：
RfF
Jt
N
O 0??
C
A
l
O
k
扭摆装置中，圆盘 A 对通过圆心 C
的铅垂轴的转动惯量为 JC； 弹性杆件
OC 的长度为 l,切变模量为 G,横截
面的极惯性矩为 IP,杆件的质量与圆
盘相比可以忽略不计。
若不考虑空气阻力
求：扭摆的扭转振动周期
例题
C
A
l
O
k
例 题
?
解,假设圆盘扭过一任意角度 φ,根据圆轴扭
转的变形与扭矩的关系
P
x
GI
M
x
?
d
d ?
l
GIk P?
将扭摆看作一扭转弹簧，其刚度系数
P
x
GI
M
l
??
应用刚体定轴转动运动微分方程
??? lGIkJ PC －＝－ ???
0???
lJ
GI
C
P＋?? 扭摆的周期为
P
C
GI
lJ
T π2＝
§ 12-5 质点系 相对于质心的 动量矩定理
结论：
质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一
阶导数，等于作用在系统上 所有外力 对于
质心的主矩
? ? eM
d
Ld
C
i
e
iC
C FM
t
????
? ??
特别地：刚体作 平面运动 时
?CC JL ?
mi
x
z
yO Cx′
z′
y′
iv
?
C 为 质点系的质心,O 为定点
? ? ?? ???
i
iii
i
iiOO mvmM vrL
?????
ir
?
Cr
?
ir
??
注意到
iCi rrr
??? ???
? ?? ????
i
iiiCO mrr vL
????
?? ?????
i
ii
i
iiC mrmr vv
????
CCCO Lvmr
???? ???L得到：
式中：
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L
证明：
m
i
x
z
yO Cx′
z′
y′
iv?
ir?
Cr?
ir??
CCCO Lvmr
???? ???L
? ? ? ????
i
e
iiCCC FrLvmrdt
d ?????
对上式求导，并由动量矩定理，得到
?? ?????????
i
e
ii
i
e
iC
C
CCC
C FrFr
dt
Ldvm
dt
drvm
dt
rd ????
?
????
注意到
????
i
e
iCC
C
C
C Fama
dt
vdv
dt
rd ??????,,
得到,定理得证 ? ??? ????
i
e
iC
i
e
ii
C FMFr
dt
Ld ????
?
? 相对于质心 (平移系 )的
质点系动量矩定理
? 质点系相对于质心
(平移系 )的动量矩定理
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩对
时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力
系对质心的主矩 。
? ? eM
d
Ld
C
i
e
iC
C FM
t
????
? ??
进一步说明
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L
公式中 是质点的绝对速度
iv
?
建立 以质心为原点的平移参考
系 C x ’ y’ z’
irCi vvv
??? ??
? ?irCi
i
iC vvmr
???? ???? ?L
iri
i
iCi
i
i vmrvmr
???? ?????? ??
∵ 0??????
CCii rrmrm
???
得到：
iri
i
iC vmrL
??? ??? ?
Cv
? im
C
iv
?
x′
z′
y′
Cv
?
irv
?
Cv
?
ii
i
iC vmr
??? ??? ?L 公式中 是质点的绝对速度iv?
im
Cx′
z′
y′
现得到：
iri
i
iC vmrL
??? ??? ?
irv
?
质点相对于质心
的速度
从而对于作平面运动的刚体有：
?CC JL ?
原来的计算公式为：
?? Cii
i
iiiC JrmvmrL ???? ?? )(
i
2
r＝
irv
?
ir?
?
刚体作平面运动时：
最终结论：
质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一阶导数，
等于作用在系统上 所有外力 对于质心的主矩
e
d
d
C
C M
t
L ?
?
?
特别地：刚体作 平面运动 时
?CC JL ?
?CCCO JvmrL ??? ??
? 当外力对质心的主矩为 0时，
CLL CC ?? 0
质点系相对质心 (平移系 )动量矩守恒定理
0e ＝CM
S
C x?
y?
?
?F2
F1
Fn
Fi
aC
S－ 平面图形；
C－ 平面图形的质心；
?－ 平面图形的角速度；
?－ 平面图形的角加速度；
Oxyz－ 定系；
Cx? y? z? － 动系；x
y
O
F1,F2,…,Fi,…,Fn－ 外 力系
§ 12 – 6 刚体平面运动微分方程
－ 平面图形质心加速度；
Ca
?
? 刚体平面运动微分方程
平面运动 = 随 基点 的平动 + 绕 基点 的转动
在动力学中，应取 质心 为基点
平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
随 质心 的平移规律：质心运动方程
绕 质心 的转动,质点系 相对于质心转动的 动量矩定理
??
i
e
iC Fm
??
a
e
d
d
C
C M
t
L ?
?
?
? 刚体平面运动微分方程
刚体作 平面运动 时 ?
CC JL ?
? ???
i
e
iC
C FM
t
???
d
Ld代入
有 ? ? ? ???
i
e
iCC FMJdt
d ??
? ? eCeiCC MFMJ ?? ??
得到：
? 刚体平面运动微分方程
?? eiC Fm ??a
? ??? eiCC FMJ ??
投影式：
? ??
?
?
?
?
?
e
iCC
e
yCy
e
xCx
FMJ
Fma
Fma
?
?
刚体平面运动微分方程只能对 质心 写出
? ??
?
?
?
?
?
e
iCC
e
n
n
C
e
t
t
C
FMJ
Fma
Fma
?
?
例题
求,1、轮心的加速度；
半径为 r, 质量为 m 的圆轮，水平纯滚动，圆
轮的转动半径为, 圆轮 上作用力偶矩 M。C?
2、圆轮与地面的摩擦系数为 f,
使 圆轮不发生滑动的
maxM
Ca
? αC
M
F?
NF
?
mg
M
Ca
? αC
解,圆轮 受力如图
圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
Fmama CCx ??
N0 Fmgma Cy ???
FrMJ C ???
aC =r?
根据圆轮作纯滚动的条件
联解以上方
程组，得,? ?22 rm
Mra
C
C ?? ?
? ?
r
rFM C22 ???
F?
NF
?
mg
M
Ca
? αC
圆轮纯滚动的条件为：
mgfFfF sNs ??
? ?
r
rFM C22 ???
得到：
? ?
r
rmgfM Cs 22 ???
? ?
r
rmgfM Cs
m a x
22 ??
?
C
半径为 r 的均质圆轮，在倾角 θ
的斜面上，从静止开始向下作无
滑动的滚动。
求,1、圆轮滚动到任意位置
时，质心的加速度；C
例题
θ
2、圆轮在斜面上不发生滑动
所需要的最小摩擦系数。
解：受力分析
C
W＝ mg
FN
1、圆轮质心加速度, 圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程
W＝ mg－ 圆轮所受重力；
F － 滑动摩擦力；
FN － 斜面约束力。x?
y?
x
y
O F
Fmgmama CCx ??? ?s in
θ
Nc o s0 Fmgma Cy ??? ?
rFJ C ??
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
根据圆轮作纯滚动的条件
aC =r?
?s in3221 ga,maF CC ??
rFJ
Fmgma
Fmgmama
C
Cy
CCx
?
???
???
?
?
?
N
c os0
s i n
2、圆轮在斜面上不发生滑动
所需要的最小摩擦因数,
C
W＝ mg
F
FN
x?
y?
x
y
O
?s in3221 ga,maF CC ??
?s in31 mgF ?
纯滚动时，滑动摩擦力必须小于最大静摩擦力 FN fs
sNs in3
1 fFmgF ?? ?
?t a n31s m i nN ?fF
例题：关于突然解除约束问题
O FOx
FOy
W=mg
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx= 0,
FOy= mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？
FOy=？
突然解除约束瞬时，杆 OA将绕 O轴转动，
应用定轴转动微分方程
? ?FMJ OO ???
应用质心
运动定理
OxF
lm ??? 0
2
2?
这时,?? 0,?? 0。
需要先求出 ?,再确定约束力。
l
g
2
3??
3
1 2 lmgml ???
OyFmg
lm ??? ?
2
O FOx
FOy
W=mg
AC α
?? nn Fma
?? tt Fma
应用质心运动定理
l
g
2
3??
42
0
mgl
mmgF
F
Oy
Ox
????
?
?
O FOx
FOy
W=mg
AC α
OxF
lm ??? 0
2
2?
OyFmg
lm ??? ?
2
?? nn Fma
?? tt Fma
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动
实例讨论
? 结论与讨论 ? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动
