第十五章 虚位移原理
约束、虚位移、虚功
虚位移原理
虚位移原理的应用
§ 15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束 约束：对质点自由运动的限制条件
约束方程：限制条件的数学表达式
φ ω
A
B
x
y
O
l
β
图示曲柄连杆机构,铰链 O 的约束方程为：
0,0 ?? OO yx
滑道 B 的约束为,0?By
AB 杆的约束为,
? ? ? ? 222 lyyxx BABA ????
?双面 约束与单面约束
约 束－物体运动所受到的限制
单面约束还是双面约束？约束方程？
)(0 双面约束?By
)(0 单面约束?By
B
B
y
x
O
y
x
O
约束可进一步区分为：
y
xO
? 引 言 ?分析动力学的基本概念
?双面 约束与单面约束
单面约束还是双面约束？ 约束方程？
)(222 双面约束lyx ?? )(222 单面约束lyx ??
y
xO
A
A
A0
l
A0
l
? 定常约束与非定常约束
定常约束（稳定约束） －约束方程中不显含时间的约束：
)(,1,2,)(,,2,10,)r( 约束数；质点数 sjnif ij ??????????
约 束－物体运动所受到的限制
非定常约束（不稳定约束） －约束方程中显含时间的约束：
)(,1,2,)(,,2,10,)r( 约束数；质点数,sjnitf ij ??????????
?完整 约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度。
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度
)(,1,2,)(21
0,)(
约束数；质点数 sjn,,,i
rf ij
????????
??
)sjn,,,i
rrf iij
约束数；质点数
，
(,1,2,)(21
0,)(
????????
????
稳定的 完整约束 —— 约束方程不包含时间 t 以及质
点速度。
二、虚位移（可能位移）
1、定义 在满足约束条件的前提下，质点系所可能发
生的任何微小位移。
图示曲柄连杆机构：
A点的位移
Ar
??
B点的位移 Br??
OA杆的转角 ??
都是虚位移。
Ar??
Br
??
??
φ
A
B
x
y
O
l
2、虚位移和实位移的区别
实位移,在载荷作用下，质点系所发生的实际位移。
实位移：由载荷和约束共同决定，
具有确定的大小和方向
虚位移,仅为可能发生，实际不一定发生的位移。
仅由约束条件确定，与载荷无关，
具有任意性。
φ
A
B
x
y
O
l
现以图示曲柄连杆机
构的情况说明之。
用：,,,,?ddydxrd ? 表示。
用：,,,,????? yxr? 表示。
三、虚功
虚功,质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功
虚功的计算方法与实功相似
rFW ?? ?? ??
例如：力 在虚位移,所做的虚功为：F? r??
由于虚位移是假想的,所以，虚功也是假想的。
四、理想约束
定义,在质点系的虚位移中，约束反力的虚功等于
零，该约束称为理想约束
理想约束
的条件,0??? ?? iiNN rFW ?? ??
§ 15-2 虚位移原理
一、原理的叙述
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件为：
作用在质点系上所有的 主动力 在任何虚位移上所作的 虚功
的和 等于零。
数学表达式为,0??? ??
ii rFW
?? ??
或,? ?
0???? iziiyiixi zFyFxF ???
式中：
iF
? 作用在质点系上的主动力
ir
?? 第 i 个质点的虚位移
im iNF
?
ir
??
iF
?
考察由 n 个质点组成的、具有理想约束，处于平衡
状态的系统。对于第 i 个质点，有
),,2,1(0FF N niii ?????? ??
主动力
令系统有任意一组虚位移 ),,2,1(rδ nii ?????
系统的总虚功为 0rδ)FF(
N ???? i
i
ii
???
二、虚位移原理的证明：
利用理想约束条件 ),,2,1(0rδF
N ni
i
ii ???????
??
0rδF ??? ii ??得到 虚位移原理
必要性的证明：
0rδFrδFrδ)FF( N ??????? ??? iiNiii
i
ii
???????
充分性的证明,利用反证法证明。
如果质点系受力作用而不平衡，该质点系将发生运动，质
点运动的方向应沿该质点所受合力的方向。
对于第 i 个质点，真实位移必然是可能发生的虚位移中
之一，记为 ),,2,1(rδ ni
i ?????
∴ 有不等式 0rδ)FF(
N ???? i
i
ii
???
质点系中发生运动的质点上，作用力的虚功都大于零
质点系中不发生运动的质点上，作用力的虚功都等于零
质点系全部
虚功的和必
大于零
对于理想约束 ),,2,1(0rδF
N ni
i
ii ???????
??
得到,0rδF ??? ii ?? 0rδF ??? ii ??这与原条件 相矛盾。
∴ 满足条件 时，质点系必将保持平衡状态。 0rδF
N ???
i
ii
??
定理的充分性条件得证
虚位移原理
对于 具有理想约束的质点系,其平衡的充
要条件为：作用在质点系上所有的 主动力 在任
何虚位移上所作的虚功的和等于零。
或：
0??? ?? ii rFW ?? ??
? ? 0???? iziiyiixi zFyFxF ???
三、虚位移原理的应用
1、求质点系上的主动力之间的关系
2、求质点系的约束反力
利用虚位移原理求解静力学问题时，所有理想约束的
约束反力在方程中都不会出现。
利用 解除约束原理, 即将系统中的某些约束解除，代以相
应的约束反力。
可 将这些约束反力当作主动力,然后就可利用虚位移原理
求解这些约束反力。
∵ 在理想约束的条件下，用虚位移原理求解静力学
问题时，不必考虑约束反力，只需要考虑主动力。
∴ 利用虚位移原理可简单地求出各主动力之间的关系。
约束、虚位移、虚功
虚位移原理
虚位移原理的应用
§ 15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束 约束：对质点自由运动的限制条件
约束方程：限制条件的数学表达式
φ ω
A
B
x
y
O
l
β
图示曲柄连杆机构,铰链 O 的约束方程为：
0,0 ?? OO yx
滑道 B 的约束为,0?By
AB 杆的约束为,
? ? ? ? 222 lyyxx BABA ????
?双面 约束与单面约束
约 束－物体运动所受到的限制
单面约束还是双面约束？约束方程？
)(0 双面约束?By
)(0 单面约束?By
B
B
y
x
O
y
x
O
约束可进一步区分为：
y
xO
? 引 言 ?分析动力学的基本概念
?双面 约束与单面约束
单面约束还是双面约束？ 约束方程？
)(222 双面约束lyx ?? )(222 单面约束lyx ??
y
xO
A
A
A0
l
A0
l
? 定常约束与非定常约束
定常约束（稳定约束） －约束方程中不显含时间的约束：
)(,1,2,)(,,2,10,)r( 约束数；质点数 sjnif ij ??????????
约 束－物体运动所受到的限制
非定常约束（不稳定约束） －约束方程中显含时间的约束：
)(,1,2,)(,,2,10,)r( 约束数；质点数,sjnitf ij ??????????
?完整 约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度。
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度
)(,1,2,)(21
0,)(
约束数；质点数 sjn,,,i
rf ij
????????
??
)sjn,,,i
rrf iij
约束数；质点数
，
(,1,2,)(21
0,)(
????????
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稳定的 完整约束 —— 约束方程不包含时间 t 以及质
点速度。
二、虚位移（可能位移）
1、定义 在满足约束条件的前提下，质点系所可能发
生的任何微小位移。
图示曲柄连杆机构：
A点的位移
Ar
??
B点的位移 Br??
OA杆的转角 ??
都是虚位移。
Ar??
Br
??
??
φ
A
B
x
y
O
l
2、虚位移和实位移的区别
实位移,在载荷作用下，质点系所发生的实际位移。
实位移：由载荷和约束共同决定，
具有确定的大小和方向
虚位移,仅为可能发生，实际不一定发生的位移。
仅由约束条件确定，与载荷无关，
具有任意性。
φ
A
B
x
y
O
l
现以图示曲柄连杆机
构的情况说明之。
用：,,,,?ddydxrd ? 表示。
用：,,,,????? yxr? 表示。
三、虚功
虚功,质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功
虚功的计算方法与实功相似
rFW ?? ?? ??
例如：力 在虚位移,所做的虚功为：F? r??
由于虚位移是假想的,所以，虚功也是假想的。
四、理想约束
定义,在质点系的虚位移中，约束反力的虚功等于
零，该约束称为理想约束
理想约束
的条件,0??? ?? iiNN rFW ?? ??
§ 15-2 虚位移原理
一、原理的叙述
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件为：
作用在质点系上所有的 主动力 在任何虚位移上所作的 虚功
的和 等于零。
数学表达式为,0??? ??
ii rFW
?? ??
或,? ?
0???? iziiyiixi zFyFxF ???
式中：
iF
? 作用在质点系上的主动力
ir
?? 第 i 个质点的虚位移
im iNF
?
ir
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iF
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考察由 n 个质点组成的、具有理想约束，处于平衡
状态的系统。对于第 i 个质点，有
),,2,1(0FF N niii ?????? ??
主动力
令系统有任意一组虚位移 ),,2,1(rδ nii ?????
系统的总虚功为 0rδ)FF(
N ???? i
i
ii
???
二、虚位移原理的证明：
利用理想约束条件 ),,2,1(0rδF
N ni
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0rδF ??? ii ??得到 虚位移原理
必要性的证明：
0rδFrδFrδ)FF( N ??????? ??? iiNiii
i
ii
???????
充分性的证明,利用反证法证明。
如果质点系受力作用而不平衡，该质点系将发生运动，质
点运动的方向应沿该质点所受合力的方向。
对于第 i 个质点，真实位移必然是可能发生的虚位移中
之一，记为 ),,2,1(rδ ni
i ?????
∴ 有不等式 0rδ)FF(
N ???? i
i
ii
???
质点系中发生运动的质点上，作用力的虚功都大于零
质点系中不发生运动的质点上，作用力的虚功都等于零
质点系全部
虚功的和必
大于零
对于理想约束 ),,2,1(0rδF
N ni
i
ii ???????
??
得到,0rδF ??? ii ?? 0rδF ??? ii ??这与原条件 相矛盾。
∴ 满足条件 时，质点系必将保持平衡状态。 0rδF
N ???
i
ii
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定理的充分性条件得证
虚位移原理
对于 具有理想约束的质点系,其平衡的充
要条件为：作用在质点系上所有的 主动力 在任
何虚位移上所作的虚功的和等于零。
或：
0??? ?? ii rFW ?? ??
? ? 0???? iziiyiixi zFyFxF ???
三、虚位移原理的应用
1、求质点系上的主动力之间的关系
2、求质点系的约束反力
利用虚位移原理求解静力学问题时，所有理想约束的
约束反力在方程中都不会出现。
利用 解除约束原理, 即将系统中的某些约束解除，代以相
应的约束反力。
可 将这些约束反力当作主动力,然后就可利用虚位移原理
求解这些约束反力。
∵ 在理想约束的条件下，用虚位移原理求解静力学
问题时，不必考虑约束反力，只需要考虑主动力。
∴ 利用虚位移原理可简单地求出各主动力之间的关系。
