?几个有意义的实际问题
? 质点系动量定理
? 质心运动定理
? 动量和冲量的概念
第十一章 动量定理
? 质点系动量守恒定理
? 质心运动 守恒 定理
? 几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？
? 几个有意义的实际问题
？
偏心转子电动
机工作时为什么
会左右运动；
这种运动有什么
规律；
会不会上下跳动；
？
? 几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
？
? 几个有意义的实际问题
水
水池
隔板
光滑台面
抽去隔板后将会
发生什么现象
1,质点的动量
vp ?? ?? m
§ 11-1 动量和冲量的概念
一,动量
v?m
质点的质量与质点速度的乘积，称为质点的动量
动量的单位,kg · m / s
2、质点系的动量
3、质点系的动量的计算方法
（ 1）几何法：质点系的动量等于各个质点动
量矢的合矢量
vp ?? ?? m
2、直角坐标法
? ?
? ?
? ?
p
p
kp
p
p
jp
p
p
ip
z
y
x
?
?
?
??
??
??
,c os
,c os
,c os
3、质心表示法
Cm vp
?? ?
zz
yy
xx
vmp
vmp
vmp
?
?
?
?
?
?
222
zyx pppp ???
质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的
乘积。
根据质点系质心的位矢公式
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
?? iiC vmm ??v
质心表示法的说明
iim vp
?? ??
?? imm质点系的总质量
由动量的定义：
Cm vp
?? ?
二、冲量
1、常力的冲量：作用力和作用时间的乘积
tFI ?? ?
冲量：反映了一段时间内，力对物体作用的累积
2、变力的冲量
元冲量：
dtFId ?? ?
冲量,tdFI t??
0
??
冲量的单位,N · S
动量和冲量的量纲相同。
例题 求,下列各 系统的动量。
Cv
?C O?
?
?2Lmp ?? Cvmp ?? 0?p
对于刚体，一般使用质心表示法
Cm vp
?? ?
Cv
?
C
A
O
B
φ
ω
椭圆规机构中,OC＝ AC＝ CB＝ l；
滑块 A 和 B 的质量均为 m, 曲柄 OC
和连杆 AB的质量忽略不计；
曲柄以等角速度 ω 绕 O轴旋转；图
示位置时，角度 φ 为任意值。
求, 图示位置时，系统的总动量。
例题
解,将滑块 A和 B看作为两个
质点，整个系统即为两个质点所
组成的质点系。求这一质点系的
动量可以用两种方法：
第一种方法：先计算各个质点
的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统的质
心，以及质心的速度，然后计算
系统的动量。
A
O
B
φ
ω
A
O
B
φ
ω
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统 例 题 1
解：
第一种方法,先计算各个质点
的动量，再求其矢量和。
BBAA mm vvp ??? ??
建立 Oxy坐标系。在角度 φ为任
意值的情形下
x
y
?
?
c o s2
s in2
lx
ly
B
A
?
?vB
vA
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统 例 题 1
解,BBAA mm vvp ??? ??
建立 Oxy坐标系。在角度 φ为任
意值的情形下
?
?
c o s2
s in2
lx
ly
B
A
?
?
????
????
s in2s in2
c o s2c o s2
llxv
llyv
BB
AA
?????
???
??
??
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
解：
BBAA mm vvp
??? ??
????
????
s i n2s i n2
c o s2c o s2
llxv
llyv
BB
AA
?????
???
??
??
jc o s2is i n2p ??? ???? lmlm ???
)jc o si( - s in2 ?? ??? ?? lm
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
?ml
pppp zyx
2
222
?
???
解,第二种方法：先确定系统
的质心，以及质心的速度，然后
计算系统的动量。
质点系的质心在 C处，其速度
矢量垂直于 OC,数值 为 vC = l ω
系统的总质量
M = mA+ mB=2m
系统的总动量的大小
?lm2p ?
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
l
vC
90o
方向与 vC 相同。
一、质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一
阶导数，等于作用在质点上的力
§ 11-2 动量定理
? ? F
dt
vmd ?? ?
也可表达为,质点动量的增量等于作用于质点上力
的元冲量
? ? IddtFvmd ??? ??
将上式积分，得到质点动量定理的积分形式：
Ivmvm ??? ?? 0
由牛顿第二定律 即可得到。Fam ?? ?
二、质点系的动量定理 —— 质点系的动量对时间的
一阶导数，等于作用在质点系上 所有外力 的矢量和
?? eiFdtpd ?
?
将上式积分，得到质点系动量定理的积分形式：
??? eiIpp ??? 0
在一段时间间隔内，质点系动量的改变量等
于这段时间内作用于 质点系上 所有外力的冲量 的
矢量和。
质点系动量定理的证明
对于质点系
? ? ? ? pdvmdmd iiii ??? ?? ??
i
v
0F i ??
i
i
??
?? eiFdtpd ?
?
（系统内力的总和等于零）
对于第 i 个质点 ? ? ? ? dtFFvmd
iieiii ??? ??
? ? dtFdtFvmd iieiii ??? ?? ???
?
?
?
?
?
?
e
z
z
e
y
y
e
x
x
F
dt
dp
F
dt
dp
F
dt
dp
动量定理是矢量方程，其投影式为：
?
?
?
??
??
??
e
zzz
e
yyy
e
xxx
Ipp
Ipp
Ipp
0
0
0
质点系的动量在某轴上
的投影对时间的导数等于
作用在质点系上的 外力 在
该轴上投影的代数和
质点系的动量在某
轴上的投影的改变量等
于 外力冲量 在该轴上投
影的代数和
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质心 C1与
转子转轴 O1 重合 ；
例题
求,电动机底座所
受的约束力。
转子质量为 m2, 质心 O2 与转轴不重合,
偏心距 O1O2 = e 。
转子以等角速度 ω
旋转
解,1、选择包括外壳、定子、转子的电动
机作为研究系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
质点系的动量,emp ?
2?
设,t = 0 时,O1 O2 处于铅垂位置,t?? ?
temp
temp
y
x
??
??
s in
c o s
2
2
?
?
由动量定理
x
e
x
x FF
dt
dp ?? ?
gmgmFF
dt
dp
y
e
y
y
21 ???? ?
解得：
? ? temgmmF
temF
y
x
??
??
c os
s i n
2
221
2
2
???
??
? ? temgmmF
temF
y
x
??
??
c os
s i n
2
221
2
2
???
??
讨论,电动机底座所受的约束力
动反力
当 ω = 0 时，
? ? gmmF
F
y
x
21
0
??
? 静反力
附加动
反力tem
tem
??
??
c o s
s in
2
2
2
2?
动反力 = 静反力 + 附加动反力
?? eiFdtpd ?
?
若：
? ? 0eiF? ?? ? vp ?? m 常矢量
特别地，若：
? ? 0exF ?? ? xx m vp 常量
若在某一方向上，质点系上的外力投影的代数和 = 0，
则在该方向上，质点系动量的投影将保持不变。
质点系动量 定理：
若作用于质点系上所有外力的主矢 = 0，质点系的
动量将保持为常矢量
三、质点系动量 守恒定理
例题
载人小车在光滑地面上以 的速度向
右匀速运动，小车质量 m 1 = 100 kg, 人的质量
m 2 = 50 kg, 若人相当于小车以 的速
度跳离小车,。
smv 20 ?
smv 1?
030??
求：人跳离后，小车的速度
20?v
smv 20 ?θ
v
以人 +小车为研究对象
? ? 0exF? 0xx pp ??
得到,? ?? 0xx vmvm
注意到：动量定理中的速度均为 绝对速度
公式中人的速度为,?c o svvv x ?? 12
20?v
smv 20 ?θ
v
解：设人跳离时小
车的速度为
1v
1v
得到,? ? ? ?0
1211021 30c o svvmvmvmm ????
解得,? ?
? ? ? ?21
0
2
0
21
0
2021
1
3030
mm
c o svmv
mm
c o svmvmmv
????
???
φ
A
B
l
例题 物体 A 质量为 m A, 置于光滑水平面上。小
球质量为 m B 。 杆长为 l,质量不计。
初始时，系统静止,0?? ?
释放后杆以 的
规律摆动 ktc o s0?? ?
求：物体 A的最大速度
φ
A
B
l
解：研究对象：物块 A + 小球 B
? ? 0exF? 00 ??? xx pp
得到,0?? BxBA vmvm
注意到：动量定理中的速度均为 绝对速度
公式中的小球 B速度为,?? c o skts i nlkvv Bx 0??
得到,?? c o skts i n
mm
lkmv
BA
B
??
0
令：物块 A 的速度为 v
v?
当 时：0??
BA
B
m a x mm
lkmv
?
? 0?
§ 11-3 质心运动定理
一、质心
ir
?
O
C
x
y
z
Cr
?
im
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
质点系的
总质量 ?? imm
质心的位置
质心的坐标
m
xm
x i
ii
C
?
?
m
ym
y i
ii
C
?
?
m
zm
z i
ii
C
?
?
根据质点系质心的位矢公式
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
e
Ra FFm
e
iC
??? ? ??
二、质心运动定理
??
i
iiC mm rr
?? ??
i
iiC vmvm
??
e
R
e
i FFdt
pd ??? ?? ?
? ?
C
c am
dt
vmd ?? ?
??
i
ii vmp
??注意到
最后得到：
质点系总质量与质点系质心加速度的
乘积，等于作用在该质点系上外力的矢量
和 （外力主矢） —— 质心运动定理。
二、质心运动定理
质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运
动状态 (系统质心的运动 )。
但是，内力可以改变系统内各个质点的运动状态。
e
Ra FFm
e
iC
??? ? ??
? 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动
与力之间的关系
Fa ?? ?m
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体
运动与质点系外力之间的关系
?? eiC Fam ??
质心运动定理的投影形式
?? exCx Fma
?? eyCy Fma
?? ezCz Fma
直角坐标系：
?? enC Fvm ?
2
?? ec Fdtdvm ?
?? ebF0
自然坐标系：
对于单个刚体，其质心容易确定，应用动量定
理时，主要采用质心运动定理。
?? eiC Fam ??
对于刚体系统，采用以下形式更为简便：
?? ?? eiiCiC Fvmtvmtt ??? )(dd)(ddddp
i
＝
mi－ 第 i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量；
vCi－ 第 i个刚体质心的速度； vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第 i个刚体质心的加速度； aC－ 系统质心的加速度
?? ? eiiCi Fam ??
公式来源：
A B
O1 O2
θ
mg
质量杆 AB 质量为 m,由三根等长绳悬挂
在水平位置。若突然割断绳 O1 B,
求：该瞬时杆 AB
的加速度 a,以及
绳的张力
例题
A Bθ
mg
1F
?
2F
?n?
C
tAa? t
Ca
?
A B
O1 O2
θ
mg
解：以杆 AB为研究对象
杆 AB作平移，且绳子 01B刚断
时 0?n
Aa
由 质心运动定理：
?? ettC Fam ??
?c o smgma tC ?
解得,?c o sga tC ?
再由,?? e
nnC Fam
??
0?nCa? ?s inmgF ?? 120
解得,?s inmgFF
2
1
21 ??
0? ?eiF?若,则：
?? eiC Fam ??
由质心运动定理
0a ?C? Cv C ??
0? ?exF若,则,0a ?Cx Cv Cx ?
质心运动守恒定理：
1、若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质
心将作匀速直线运动。
2、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等
于零，质心速度在该轴上的投影将保持不变。
三,质心运动守恒
m
mx
m
mxx
C
?? ?? 0得到,? ?? ?? 00xxm
? ? 0??? xm
特别地,若,t = 0 时,00 ?
Cxv
运动中
0?Cxv Cx C ?
质心无位移
3、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等
于零，并且开始时,则在运动过程中
质心在该轴上的坐标值将保持不变。 0
0 ?
Cxv
质点系中各个质
点发生位移，但
质心保持不动。
由
长为 l 质量为 m 1 的小船，一质量为 m 2 的人从
船头走到船尾，
求：船的位移 s
例题
s
以人 +小船为研究对象
? ? 0exF?
起始状态时 00 ?Cxv
∴ 可直接使用公式：
? ? 0??? xm
公式中该 为绝对位移。x?
令小船的位移为 s, 有
? ? 021 ??? slmsm
解得,l
mm
ms
21
2
??
长为 l 质量为 m 1 的小船，
质量为 m 2 的人从船头走到船尾，
？水
水池
隔板
光滑台面
抽去隔板后将会
发生什么现象
几个有意义的实际问题
? 几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？
？
地面拔河
与太空拔河，
谁胜谁负
? 结论与讨论 ? 回到一开始的几个问题
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质
心 C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为
m2, 质心 O2 与转轴不重合,偏心距
O1O2 = e 。
例 题
求,电动机底座
所受的约束力。
若转子以等角速度
ω 旋转
解,1、选择包括外、
壳、定子、转子的电
动机作为刚体系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
3、各刚体质心的加
速度
aC1＝ aO1=0 ;
aC2＝ aO1＝ e ω2
(向心加速度 )
3、各刚体质心的加
速度
aC1=aO1=0 ;
aC2=aO2=e ω 2
(向心加速度 )
4、应用质心运动定理
?? ? exixCi Fam
?? ? eyiyCi Fam
4、应用质心运动定理
xFtemm ???? ?? c o s0
2
21
gmgmFtemm y 21221 s i n0 ?????? ??
temF x ?? c o s22 ???
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
?? ? exixCi Fam
?? ? eyiyCi Fam
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
temF x ?? c o s22 ???
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
5、关于计算结果的分析
? 动约束力与轴承动反力
temF y ?? s in22d ?? temF x ?? c o s22d ??
? 约束力何时取最大值与最小值
? 周期性反复变化的 约束力对结构的破坏作用
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质心 C1
与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2, 质心
O2 与转轴不重合,偏心距 O1O2 = e。
求,1、电动机跳起的条件；
2、外壳在水平方向的
运动规律。
例 题
若转子以等角速度 ω旋
转，底座不固定，初始
条件为,φ＝ 0，
解,1、选择包括外、壳、
定子、转子的电动机作为
研究系统，分析系统的受力：
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力 Fy,M。
2、分析运动，确定各个刚体质心的加速度
定系 Oxy,动系 O1x1y1,外壳作平移，其质心加速度为 aO1转
子作平面运动，其质心加速度由两部分组成,ae=aO1 (水平
方向 ); ar=aO2=e ω2(向心加速度 )。
解,3、应用质心运动定
理确定约束力
gmgmFtemm y 21221 s i n0 ?????? ??
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
?? ? eyiyCi Fam
解,4、分析 电动机跳起的条件；
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
当偏心转子质心 O2运动到最上方时,φ＝ ω t = π/2,
2221 ?emgmgmF y ???
电动机跳起的条件 0
2221 ???? ?emgmgmF y
em
gmgm
2
21 ???
解,4、确定电动机外壳在水平方向运动方程
系统动量并不守恒，但是动量在水平方向的分量守恒，
即 FeRx=0。 根据初始条件，初始动量为 0。
00dd eR ????? ? CvmpFtp
i
Ciixx
x,
02211 ?? xOxO vmvm
其中
1Ov — 外壳质心的速度,x轴正向 xv xO ??1
2Ov — 转子质心的速度
)( 12r1e
re2
OOevO
O
方向垂直于
＝
???
?
,vv
vvv
0t)s in(21 ??? ??exmxm ??
得到：
解,4、确定电动机外壳在水平方向运动方程
0)s in(21 ??? texmxm ????
)) d ((s i nd
021
2
0
tt
mm
emx tx ????
?
?
? ?tmm emx ?c o s1
21
2 ?
??
5、计算结果分析
21
2
mm
emx
??
21
2
mm
emA
??
平衡位置
振 幅
π0,?t?? ＝
π2π,?t?? ＝
—— 向右运动
—— 向左运动
—— 简谐运动
? 质点系动量定理
? 质心运动定理
? 动量和冲量的概念
第十一章 动量定理
? 质点系动量守恒定理
? 质心运动 守恒 定理
? 几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？
? 几个有意义的实际问题
？
偏心转子电动
机工作时为什么
会左右运动；
这种运动有什么
规律；
会不会上下跳动；
？
? 几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
？
? 几个有意义的实际问题
水
水池
隔板
光滑台面
抽去隔板后将会
发生什么现象
1,质点的动量
vp ?? ?? m
§ 11-1 动量和冲量的概念
一,动量
v?m
质点的质量与质点速度的乘积，称为质点的动量
动量的单位,kg · m / s
2、质点系的动量
3、质点系的动量的计算方法
（ 1）几何法：质点系的动量等于各个质点动
量矢的合矢量
vp ?? ?? m
2、直角坐标法
? ?
? ?
? ?
p
p
kp
p
p
jp
p
p
ip
z
y
x
?
?
?
??
??
??
,c os
,c os
,c os
3、质心表示法
Cm vp
?? ?
zz
yy
xx
vmp
vmp
vmp
?
?
?
?
?
?
222
zyx pppp ???
质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的
乘积。
根据质点系质心的位矢公式
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
?? iiC vmm ??v
质心表示法的说明
iim vp
?? ??
?? imm质点系的总质量
由动量的定义：
Cm vp
?? ?
二、冲量
1、常力的冲量：作用力和作用时间的乘积
tFI ?? ?
冲量：反映了一段时间内，力对物体作用的累积
2、变力的冲量
元冲量：
dtFId ?? ?
冲量,tdFI t??
0
??
冲量的单位,N · S
动量和冲量的量纲相同。
例题 求,下列各 系统的动量。
Cv
?C O?
?
?2Lmp ?? Cvmp ?? 0?p
对于刚体，一般使用质心表示法
Cm vp
?? ?
Cv
?
C
A
O
B
φ
ω
椭圆规机构中,OC＝ AC＝ CB＝ l；
滑块 A 和 B 的质量均为 m, 曲柄 OC
和连杆 AB的质量忽略不计；
曲柄以等角速度 ω 绕 O轴旋转；图
示位置时，角度 φ 为任意值。
求, 图示位置时，系统的总动量。
例题
解,将滑块 A和 B看作为两个
质点，整个系统即为两个质点所
组成的质点系。求这一质点系的
动量可以用两种方法：
第一种方法：先计算各个质点
的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统的质
心，以及质心的速度，然后计算
系统的动量。
A
O
B
φ
ω
A
O
B
φ
ω
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统 例 题 1
解：
第一种方法,先计算各个质点
的动量，再求其矢量和。
BBAA mm vvp ??? ??
建立 Oxy坐标系。在角度 φ为任
意值的情形下
x
y
?
?
c o s2
s in2
lx
ly
B
A
?
?vB
vA
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统 例 题 1
解,BBAA mm vvp ??? ??
建立 Oxy坐标系。在角度 φ为任
意值的情形下
?
?
c o s2
s in2
lx
ly
B
A
?
?
????
????
s in2s in2
c o s2c o s2
llxv
llyv
BB
AA
?????
???
??
??
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
解：
BBAA mm vvp
??? ??
????
????
s i n2s i n2
c o s2c o s2
llxv
llyv
BB
AA
?????
???
??
??
jc o s2is i n2p ??? ???? lmlm ???
)jc o si( - s in2 ?? ??? ?? lm
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
?ml
pppp zyx
2
222
?
???
解,第二种方法：先确定系统
的质心，以及质心的速度，然后
计算系统的动量。
质点系的质心在 C处，其速度
矢量垂直于 OC,数值 为 vC = l ω
系统的总质量
M = mA+ mB=2m
系统的总动量的大小
?lm2p ?
A
O
B
φ
ω
x
y
vB
vA
l
vC
90o
方向与 vC 相同。
一、质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一
阶导数，等于作用在质点上的力
§ 11-2 动量定理
? ? F
dt
vmd ?? ?
也可表达为,质点动量的增量等于作用于质点上力
的元冲量
? ? IddtFvmd ??? ??
将上式积分，得到质点动量定理的积分形式：
Ivmvm ??? ?? 0
由牛顿第二定律 即可得到。Fam ?? ?
二、质点系的动量定理 —— 质点系的动量对时间的
一阶导数，等于作用在质点系上 所有外力 的矢量和
?? eiFdtpd ?
?
将上式积分，得到质点系动量定理的积分形式：
??? eiIpp ??? 0
在一段时间间隔内，质点系动量的改变量等
于这段时间内作用于 质点系上 所有外力的冲量 的
矢量和。
质点系动量定理的证明
对于质点系
? ? ? ? pdvmdmd iiii ??? ?? ??
i
v
0F i ??
i
i
??
?? eiFdtpd ?
?
（系统内力的总和等于零）
对于第 i 个质点 ? ? ? ? dtFFvmd
iieiii ??? ??
? ? dtFdtFvmd iieiii ??? ?? ???
?
?
?
?
?
?
e
z
z
e
y
y
e
x
x
F
dt
dp
F
dt
dp
F
dt
dp
动量定理是矢量方程，其投影式为：
?
?
?
??
??
??
e
zzz
e
yyy
e
xxx
Ipp
Ipp
Ipp
0
0
0
质点系的动量在某轴上
的投影对时间的导数等于
作用在质点系上的 外力 在
该轴上投影的代数和
质点系的动量在某
轴上的投影的改变量等
于 外力冲量 在该轴上投
影的代数和
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质心 C1与
转子转轴 O1 重合 ；
例题
求,电动机底座所
受的约束力。
转子质量为 m2, 质心 O2 与转轴不重合,
偏心距 O1O2 = e 。
转子以等角速度 ω
旋转
解,1、选择包括外壳、定子、转子的电动
机作为研究系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
质点系的动量,emp ?
2?
设,t = 0 时,O1 O2 处于铅垂位置,t?? ?
temp
temp
y
x
??
??
s in
c o s
2
2
?
?
由动量定理
x
e
x
x FF
dt
dp ?? ?
gmgmFF
dt
dp
y
e
y
y
21 ???? ?
解得：
? ? temgmmF
temF
y
x
??
??
c os
s i n
2
221
2
2
???
??
? ? temgmmF
temF
y
x
??
??
c os
s i n
2
221
2
2
???
??
讨论,电动机底座所受的约束力
动反力
当 ω = 0 时，
? ? gmmF
F
y
x
21
0
??
? 静反力
附加动
反力tem
tem
??
??
c o s
s in
2
2
2
2?
动反力 = 静反力 + 附加动反力
?? eiFdtpd ?
?
若：
? ? 0eiF? ?? ? vp ?? m 常矢量
特别地，若：
? ? 0exF ?? ? xx m vp 常量
若在某一方向上，质点系上的外力投影的代数和 = 0，
则在该方向上，质点系动量的投影将保持不变。
质点系动量 定理：
若作用于质点系上所有外力的主矢 = 0，质点系的
动量将保持为常矢量
三、质点系动量 守恒定理
例题
载人小车在光滑地面上以 的速度向
右匀速运动，小车质量 m 1 = 100 kg, 人的质量
m 2 = 50 kg, 若人相当于小车以 的速
度跳离小车,。
smv 20 ?
smv 1?
030??
求：人跳离后，小车的速度
20?v
smv 20 ?θ
v
以人 +小车为研究对象
? ? 0exF? 0xx pp ??
得到,? ?? 0xx vmvm
注意到：动量定理中的速度均为 绝对速度
公式中人的速度为,?c o svvv x ?? 12
20?v
smv 20 ?θ
v
解：设人跳离时小
车的速度为
1v
1v
得到,? ? ? ?0
1211021 30c o svvmvmvmm ????
解得,? ?
? ? ? ?21
0
2
0
21
0
2021
1
3030
mm
c o svmv
mm
c o svmvmmv
????
???
φ
A
B
l
例题 物体 A 质量为 m A, 置于光滑水平面上。小
球质量为 m B 。 杆长为 l,质量不计。
初始时，系统静止,0?? ?
释放后杆以 的
规律摆动 ktc o s0?? ?
求：物体 A的最大速度
φ
A
B
l
解：研究对象：物块 A + 小球 B
? ? 0exF? 00 ??? xx pp
得到,0?? BxBA vmvm
注意到：动量定理中的速度均为 绝对速度
公式中的小球 B速度为,?? c o skts i nlkvv Bx 0??
得到,?? c o skts i n
mm
lkmv
BA
B
??
0
令：物块 A 的速度为 v
v?
当 时：0??
BA
B
m a x mm
lkmv
?
? 0?
§ 11-3 质心运动定理
一、质心
ir
?
O
C
x
y
z
Cr
?
im
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
质点系的
总质量 ?? imm
质心的位置
质心的坐标
m
xm
x i
ii
C
?
?
m
ym
y i
ii
C
?
?
m
zm
z i
ii
C
?
?
根据质点系质心的位矢公式
m
m
i
ii
C
?
?
r
r
?
?
e
Ra FFm
e
iC
??? ? ??
二、质心运动定理
??
i
iiC mm rr
?? ??
i
iiC vmvm
??
e
R
e
i FFdt
pd ??? ?? ?
? ?
C
c am
dt
vmd ?? ?
??
i
ii vmp
??注意到
最后得到：
质点系总质量与质点系质心加速度的
乘积，等于作用在该质点系上外力的矢量
和 （外力主矢） —— 质心运动定理。
二、质心运动定理
质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运
动状态 (系统质心的运动 )。
但是，内力可以改变系统内各个质点的运动状态。
e
Ra FFm
e
iC
??? ? ??
? 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动
与力之间的关系
Fa ?? ?m
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体
运动与质点系外力之间的关系
?? eiC Fam ??
质心运动定理的投影形式
?? exCx Fma
?? eyCy Fma
?? ezCz Fma
直角坐标系：
?? enC Fvm ?
2
?? ec Fdtdvm ?
?? ebF0
自然坐标系：
对于单个刚体，其质心容易确定，应用动量定
理时，主要采用质心运动定理。
?? eiC Fam ??
对于刚体系统，采用以下形式更为简便：
?? ?? eiiCiC Fvmtvmtt ??? )(dd)(ddddp
i
＝
mi－ 第 i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量；
vCi－ 第 i个刚体质心的速度； vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第 i个刚体质心的加速度； aC－ 系统质心的加速度
?? ? eiiCi Fam ??
公式来源：
A B
O1 O2
θ
mg
质量杆 AB 质量为 m,由三根等长绳悬挂
在水平位置。若突然割断绳 O1 B,
求：该瞬时杆 AB
的加速度 a,以及
绳的张力
例题
A Bθ
mg
1F
?
2F
?n?
C
tAa? t
Ca
?
A B
O1 O2
θ
mg
解：以杆 AB为研究对象
杆 AB作平移，且绳子 01B刚断
时 0?n
Aa
由 质心运动定理：
?? ettC Fam ??
?c o smgma tC ?
解得,?c o sga tC ?
再由,?? e
nnC Fam
??
0?nCa? ?s inmgF ?? 120
解得,?s inmgFF
2
1
21 ??
0? ?eiF?若,则：
?? eiC Fam ??
由质心运动定理
0a ?C? Cv C ??
0? ?exF若,则,0a ?Cx Cv Cx ?
质心运动守恒定理：
1、若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质
心将作匀速直线运动。
2、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等
于零，质心速度在该轴上的投影将保持不变。
三,质心运动守恒
m
mx
m
mxx
C
?? ?? 0得到,? ?? ?? 00xxm
? ? 0??? xm
特别地,若,t = 0 时,00 ?
Cxv
运动中
0?Cxv Cx C ?
质心无位移
3、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等
于零，并且开始时,则在运动过程中
质心在该轴上的坐标值将保持不变。 0
0 ?
Cxv
质点系中各个质
点发生位移，但
质心保持不动。
由
长为 l 质量为 m 1 的小船，一质量为 m 2 的人从
船头走到船尾，
求：船的位移 s
例题
s
以人 +小船为研究对象
? ? 0exF?
起始状态时 00 ?Cxv
∴ 可直接使用公式：
? ? 0??? xm
公式中该 为绝对位移。x?
令小船的位移为 s, 有
? ? 021 ??? slmsm
解得,l
mm
ms
21
2
??
长为 l 质量为 m 1 的小船，
质量为 m 2 的人从船头走到船尾，
？水
水池
隔板
光滑台面
抽去隔板后将会
发生什么现象
几个有意义的实际问题
? 几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？
？
地面拔河
与太空拔河，
谁胜谁负
? 结论与讨论 ? 回到一开始的几个问题
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质
心 C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为
m2, 质心 O2 与转轴不重合,偏心距
O1O2 = e 。
例 题
求,电动机底座
所受的约束力。
若转子以等角速度
ω 旋转
解,1、选择包括外、
壳、定子、转子的电
动机作为刚体系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
2、系统所受的外力
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力
Fx,Fy,M。
3、各刚体质心的加
速度
aC1＝ aO1=0 ;
aC2＝ aO1＝ e ω2
(向心加速度 )
3、各刚体质心的加
速度
aC1=aO1=0 ;
aC2=aO2=e ω 2
(向心加速度 )
4、应用质心运动定理
?? ? exixCi Fam
?? ? eyiyCi Fam
4、应用质心运动定理
xFtemm ???? ?? c o s0
2
21
gmgmFtemm y 21221 s i n0 ?????? ??
temF x ?? c o s22 ???
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
?? ? exixCi Fam
?? ? eyiyCi Fam
? 质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
temF x ?? c o s22 ???
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
5、关于计算结果的分析
? 动约束力与轴承动反力
temF y ?? s in22d ?? temF x ?? c o s22d ??
? 约束力何时取最大值与最小值
? 周期性反复变化的 约束力对结构的破坏作用
电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质心 C1
与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2, 质心
O2 与转轴不重合,偏心距 O1O2 = e。
求,1、电动机跳起的条件；
2、外壳在水平方向的
运动规律。
例 题
若转子以等角速度 ω旋
转，底座不固定，初始
条件为,φ＝ 0，
解,1、选择包括外、壳、
定子、转子的电动机作为
研究系统，分析系统的受力：
定子所受重力 m1g;
转子所受重力 m2g;
底座所受约束力 Fy,M。
2、分析运动，确定各个刚体质心的加速度
定系 Oxy,动系 O1x1y1,外壳作平移，其质心加速度为 aO1转
子作平面运动，其质心加速度由两部分组成,ae=aO1 (水平
方向 ); ar=aO2=e ω2(向心加速度 )。
解,3、应用质心运动定
理确定约束力
gmgmFtemm y 21221 s i n0 ?????? ??
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
?? ? eyiyCi Fam
解,4、分析 电动机跳起的条件；
temgmgmF y ?? s i n2221 ???
当偏心转子质心 O2运动到最上方时,φ＝ ω t = π/2,
2221 ?emgmgmF y ???
电动机跳起的条件 0
2221 ???? ?emgmgmF y
em
gmgm
2
21 ???
解,4、确定电动机外壳在水平方向运动方程
系统动量并不守恒，但是动量在水平方向的分量守恒，
即 FeRx=0。 根据初始条件，初始动量为 0。
00dd eR ????? ? CvmpFtp
i
Ciixx
x,
02211 ?? xOxO vmvm
其中
1Ov — 外壳质心的速度,x轴正向 xv xO ??1
2Ov — 转子质心的速度
)( 12r1e
re2
OOevO
O
方向垂直于
＝
???
?
,vv
vvv
0t)s in(21 ??? ??exmxm ??
得到：
解,4、确定电动机外壳在水平方向运动方程
0)s in(21 ??? texmxm ????
)) d ((s i nd
021
2
0
tt
mm
emx tx ????
?
?
? ?tmm emx ?c o s1
21
2 ?
??
5、计算结果分析
21
2
mm
emx
??
21
2
mm
emA
??
平衡位置
振 幅
π0,?t?? ＝
π2π,?t?? ＝
—— 向右运动
—— 向左运动
—— 简谐运动
