? 惯性力与质点的 达朗伯原理
? 刚体惯性力系的简化
? 动静法应用于刚体的动约束力分析
? 质点系的 达朗伯原理
第 14章 达朗伯原理
FN
FR
F
a
x
z
yO
m
A
非自由质点 A
s
S —— 运动轨迹。
FN —— 约束力；
F —— 主动力；
一、惯性力 物体在外力作用下发生运动状态改变时，
所给予施力物体的反作用力。
根据牛顿第二定律 RN FFFam ???? ???
amF I ?? ??∵ FR 为外界对物体的作用力,∴ 惯性力为
惯性力的方向 与物体加速度的方向相反,作用在 使物
体运动状态发生改变的 施力物体 上
IF
?
§ 14-1 惯性力与质点的达朗伯原理
x
z
yO
m
根据牛顿第二定律
—— 此即非自由质点的达朗伯原理
NFFam
??? ??
0??? amFF N ???
amF I ?? ??
0I ??? FFF N ???
引入：
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加
在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
IF
? F
?
NF
?
a?
二、质点的达朗伯原理
应用达朗伯原理求解非自由质点
动约束力的方法
1、分析质点所受的主动力和约束力；
0??? IN FFF ???
amF I ?? ??
2、分析质点的运动，确定加速度；
3、在质点上加上与加速度方向相反的惯性力。
4、用静平衡方程求解
动静法的解题过程：
三、动静法
? 质点的惯性力与动静法
非自由质点达朗伯原理的投影形式
0
0
0
I N
I N
I N
????
????
????
?
?
?
zzz
i
z
yyy
i
y
xxx
i
x
FFFF
FFFF
FFFF
平衡位置O
y
y
y＝ a sin ? t
求,颗粒脱离台面的
最小振动频率
振动筛
例题
? 质点的惯性力与动静法
平衡位置O
y
y
m
amg
m a
mg
FN
FN
FI
解：通过分析颗粒的受力、运动并施加惯性力，确定
颗粒脱离台面的位置和条件。
y
FI
O 平衡位置
y
平衡位置O
y
y
m
amg
FN
FI
解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定
颗粒脱离台面的位置和条件。
0s i n2N ＝＋－ tmamgF ??
应用动静法
颗粒脱离台面的条件 FN＝ 0，
a
g＝?
引入惯性力，由 0＝?
yF
tmamgF ?? s in2N ?＝得到：
sin? t＝ 1时,? 最小。
0N ＝＋－ IFmgF
tmaF I ?? s in2?
平衡位置O
y
y
m a
mg
FN
FI
解：颗粒在平衡位置以下的情况
应用动静法
0s i n2N ?tmamgF ??＋＝
颗粒在平衡位置以下时不会
脱离台面。
引入惯性力，由 0＝?
yF 0N ＝－ IFmgF ?
解得：
tmaF I ?? s in2?
? 质点的惯性力与动静法
a2
a1
ai
F1
F2
Fi
FN1
FN2
FNi
FI1
FI2
FIi
m1
mi
m2
质点系的主动力系
质点系的约束力系
质点系的惯性力系
ni F,,F,,F,F 21
??????
ni NN2N1N F,,F,,F,F
??????
ni II2I1I F,,F,,F,F
??????
§ 14-2 质点系的 达朗伯原理
对整个质点系应用达朗伯原理，得到
0FFF I ＝? ?? ??
i i
i
i
i
i
e
i
???
0)F(M)F(M)F(M I ＝? ?? ??
i i
iO
i
iO
i
e
iO
???
对质点系上的第 i 个质点，利用达朗伯原理有：
0I ??? iiiei FFF ???
式中，将原来作用在第 i 个质点上的力分为,
e
iF
?外力
内力 i
iF
?
注意到：
0F ＝?
i
i
i
? 0)F(M ＝?
i
i
iO
?
? 质点系的 达朗贝尔原理
得到质点系的 达朗贝尔原理
0FF I ＝? ??
i i
i
e
i
??
0)F(M)F(M I ＝? ??
i i
iO
e
iO
??
作用在质点系上的外力系与假想施加在质点系
上的惯性力系，形式上组成平衡力系。
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
例题
杆 CD 长 2l,质量不计，小
球 C,D 质量均为 m，绕 y
轴以 ω 匀速转动,结构的几
何尺寸如图。
求：轴承 A,B处的约
束反力。
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
解：以整个系统为研究对象
小球 C,D的加速度如图
1na
?
2na?
在系统上加上惯性力
22I1I s in ??lmFF ??
AxF
AyF
BxF 由动静法，得
? ? 0xF
01I2I ???? FFFF BxAx
0?? BxAx FF
? ? 0yF mgF Ay 2?
2IF
?
1IF
?
? ? 0xF 0?? BxAx FF
? ? 0yF mgF Ay 2?
? ?? ? 0FM A ?
? ? 0c o s221 ???? ?laFaFhF ggBx
代入：
得到,0c o s2s i n 2 ?? ??? lmlhF
Bx
解得：
2
2 2s in
??hmlFF BxAx ??
mgF Ay 2?
22I1I s in ??lmFF ??
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
1na
?
2na?
AxF
AyF
BxF
2IF
?
1IF
?
一、概述：
§ 14-3 刚体惯性力系的简化
? 质点惯性力取决于 各点的绝对加速度。
? 对于平面问题，刚体的惯性力组成平面力系 。
? 对于一般问题，刚体的惯性力组成空间力系 。
iii amF
?? ??
I
?刚体惯性力系简化结果 一个主矢
一个主矩
二、刚体作平移
刚体作平移时，各点的加速度与质心的加速度相同
Ci aa
?? ?
Ciiii amamF
??? ????
I
质点的惯性力
构成一个均匀分布、同向的平行力系。
∴ 合成结果为：通过质心的一个力
CCi
iiiR
amam
amFF
??
???
????
???
?
?? II
结论：
刚体作平移时，惯性力系简
化为一个通过刚体质心的合力。
CR amF
?? ??
I
C
Ca
?
RFI
?
三、刚体作定轴转动
CR amF
?? ??
I
具有对称平面的刚体 绕垂直于对称平面的固定轴转动时，
惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。
?zO JM ＝－ I
合力通过转轴 O，方向与 相反。
Ca
?
合力偶方向与角加速度 α 方向相反。
C
O
Ca
?
RFI
?
OMI
αω
刚体作定轴转动
CR amF
?? ??
I ?zO JM ＝－ I
C
O
Ca
?
RFI
?
OMI
αω ii amFF ??? ?? ??? IR I
证明：
由于
Camam i
?? ??
得：
CamF
?? ??
R I
? ? ? ? iiii rrmFMM ????? ?? ??IOO I ?
2ii rm ??? ??
?zJ??
刚体作定轴转动 主矢
可进一步分解为：
??
CR amF
?? ??
I
n
C
n
R amF
?? ??
I
?RFI?
nRFI?
刚体作定轴转动，惯性力系
的最终简化结果可写为：
??
CR amF
?? ??
I
n
C
n
R amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
O RFI?
OMI
Ca
?
αω
C
刚体作定轴转动 （ 1）转轴通过质心
0I ??? CR amF ??
简化结果仅为一个合力偶
（ 2）刚体作匀速转动
0 I ＝OM
简化结果仅为
（ 3）转轴通过质心，且为
匀速转动
0I ?OM
特例：
0I ??RF?
0I ??RF? 0I ?nRF?
n
C
n
R amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
?RFI?
nRFI?
O RFI?
OMI
Ca
?
αω
C
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
四、刚体作平面运动
刚体平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
将惯性力系向 质心 简化：
平移部分的惯性力系 合力
CR amF
?? ??
I
绕质心转动的惯性力系 合力偶 ?
CC JM ＝－I
结论：
刚体作平面运动时，惯性力系简化为一个
通过质心的合力,以及
一个合力偶,CR amF
?? ??
I
?CC JM ＝－I
RFI
?C
Ca
?
αω
CM I
结论：
刚体作平面运动时，惯性力系简化为：
一个通过质心的合力
以及一个合力偶：
CR amF
?? ??
I
?CC JM ＝－I
应用达朗伯原理的解题过程
2、分析研究对象的主动力和约束反力；画受力图
3、根据研究对象的运动情况，画上惯性力的
主矢和主矩，
4、列出静平衡方程求解
动静法的解题过程：
五、动静法
1、选取研究对象
主矢和主矩和加速度、角加速度的方向相反
在静平衡方程中，惯性力不加负号，直接代入
??
CR amF
?? ?
I
n
C
n
R amF
?? ?
I ?zO JM ＝I
例题 利用达朗伯原理推导刚体平面运动微分方程
CCa?
αω
gRF
?
gOM
解：根据刚体平面运动时惯性力系的简化结果，有：
1F
?
iF
?
2F
?
nF
?
对刚体可列出如下方程
0?? xF
0?? yF
0)F( ?? CM
0 I ??? xex FF
0I ?? yey FF
0M)F( IC ??? CeM
得到,?? exCx Fma
?? eyCy Fma
)F(?? eCC MJ ?
CR amF
?? ??
I ?CC JM ＝－I
半径为 R、重量为 W1 的大圆轮，由绳索牵引，
在重量为 W2 的重物 A 的作用下，在水平地面上作
纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。
求：大圆轮与地面之
间的滑动摩擦力
例题
O
C
W1
A
W2
R
解,1、受力分析
考察整个系统，有 4个未知约束。
O
C
W1
A
W2
R
F
FN
FO
x
FO
y
采用动静法，需
将系统拆开。考虑先
应用动能定理，求出
加速度，
再对大圆轮应用
动静法。求出约束反
力 F
根据动能定理：
O
C
W1
A
W2
R
F
FN
FOx
FOy
2122122
2 2
1))(
2
1(
2
1
2
1 v
g
W
R
vR
g
Wv
g
WT ???
sWvgWgW ??? 2212 )23(21
vts ?dd
0T1 ?
得到：
12
2
2
3
WW
gW
a
?
?
对上式求导，注意到
??? FW12 TT
12
2
2
3 WW
gWa
?
?
0)F( ?? CM
R
JF C??
对轮子，加上惯性力后，用动静法，
0I ??? CMRF
)
2
3
(2 12
12
2
WW
WW
R
aJ
F C
?
??
得到：
代入,Ra??
解得：
CMI
IF
?
?CC JM ?I注意到：
C
F
FN
TF
W1
例题 绞车和梁共重为 P，绞盘半径为 R，转动惯量为 J，
绞车以加速度 a 提升质量为 m的重物。
求：支座 A,B处的约束力和附加
约束力
解：以整个系统为研究对象
作受力图 （包括惯性力）
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I
对系统应用动静法
? ? 0BM
? ? 021I32I2 ?????? llFMPllFmg l AO
? ? 0yF
01 ????? FPmgFF BA
解得 支座 A,B处的约束力为：
? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?? R
JmlaPlm g l
llF A 23221
1
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?? R
JmlaPlm g l
llF A 23221
1
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
支座 A,B处的附加约束力为：
? ? ??
??
?
? ?
?? R
Jmla
llF A 221
1
? ? ??
??
?
? ?
?? R
Jmla
llF B 121
1
?
O
A
?
?
均质杆件 OA,A 端铰接，在
铅垂位置时受微小扰动运动到
倾斜位置。
求,1、惯性力的简化结果；
2,O 处的约束力。
例题
解,1、运动分析 杆件 OA绕 O轴作定轴转动，转动
角速度和角加速度分别为 ?和 ? 。
2、受力分析
转轴 O 处有沿着杆件轴线和垂直
于杆件轴线方向约束力；
杆件作定轴转动的惯性力系向
转轴 O 简化的结果为：
?2τI lgWF ??
2n
I 2 ?
l
g
WF ??
?OO JM ?I
W－ 杆件重力
解,2、受力分析
?2τI lgWF ?? 2nI 2 ?lgWF ?? ?OO JM ? I
3、应用动静法先求未知运动量
? 和 ?
0)F( ?? OM
td
d?? ?
0s in2 ??? ?? lWJ O －
?? s in23 lg＝
由：
)c o s-(13 ?? lg??
?2τI lgWF ?? 2nI 2 ?lgWF ?? ?OO JM ? I
解,4、应用动静法 计算动约束力：
0?xF
)5 c o s-(32c o s2 2 ??? WWlgWF Ox ????
?? s in23 lg＝ )c o s-(13 ?? lg?
0c o s2 2 ???? ?? WlgWF Ox
0?yF
??? s i n42s i n WlgWWF Oy ??????
0s in2 ????? ?? WlgWF Oy
§ 14-4 定轴转动刚体上轴承的动约束力
m
m
A B A B
m
m ?
FRA F
RB
理想状态 偏心状态
?
1IF
?
2IF
?
1IF
?
2IF
?
2I1I FF ? 2I1I FF ?
1r
2r
1r
2r
21 rr ? 21 rr ?0?RAF
0?RBF
0?RAF
0?RBF
A
B
m
m
A
B
m
m
FRB
FRA F
RA
FRB
偏角状态 既偏心又偏角状态
?
1IF
?
2IF
?
?
1IF
?
2IF
?
2I1I FF ?
21 rr ?
1r
2r
1r
2r
2I1I FF ?
21 rr ?0?RAF
0?RBF
0?RAF
0?RBF
结论,刚体绕定轴转动时，轴承 不产生动反力 的条件为：
（ 1）转轴通过刚体的质心
（ 2）刚体对转轴的惯性积等于 0
静平衡和动平衡
静平衡,转轴通过刚体的质心，刚体可在任意位置静
止不动。
静平衡的条件：
转轴通过刚体的质心。 （转轴为刚体的质心轴）
A B
m
m
1r
2r
A
B
m
m
1r
2r
21 rr ?
动平衡,刚体绕定轴转动时，轴承上不产生附加的动
反力
动平衡的条件：
（ 1）转轴通过刚体的质心
（ 2）刚体对转轴的惯性积等于 0
（转轴为刚体的质心 主 轴）
?A B
m
m
1r
2r
21 rr ?
1、建立蛤蟆夯的
运动学和动力学模
型；
2、分析蛤蟆夯工
作过程中的几个阶
段。
实际问题讨论
? 刚体惯性力系的简化
? 动静法应用于刚体的动约束力分析
? 质点系的 达朗伯原理
第 14章 达朗伯原理
FN
FR
F
a
x
z
yO
m
A
非自由质点 A
s
S —— 运动轨迹。
FN —— 约束力；
F —— 主动力；
一、惯性力 物体在外力作用下发生运动状态改变时，
所给予施力物体的反作用力。
根据牛顿第二定律 RN FFFam ???? ???
amF I ?? ??∵ FR 为外界对物体的作用力,∴ 惯性力为
惯性力的方向 与物体加速度的方向相反,作用在 使物
体运动状态发生改变的 施力物体 上
IF
?
§ 14-1 惯性力与质点的达朗伯原理
x
z
yO
m
根据牛顿第二定律
—— 此即非自由质点的达朗伯原理
NFFam
??? ??
0??? amFF N ???
amF I ?? ??
0I ??? FFF N ???
引入：
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加
在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
IF
? F
?
NF
?
a?
二、质点的达朗伯原理
应用达朗伯原理求解非自由质点
动约束力的方法
1、分析质点所受的主动力和约束力；
0??? IN FFF ???
amF I ?? ??
2、分析质点的运动，确定加速度；
3、在质点上加上与加速度方向相反的惯性力。
4、用静平衡方程求解
动静法的解题过程：
三、动静法
? 质点的惯性力与动静法
非自由质点达朗伯原理的投影形式
0
0
0
I N
I N
I N
????
????
????
?
?
?
zzz
i
z
yyy
i
y
xxx
i
x
FFFF
FFFF
FFFF
平衡位置O
y
y
y＝ a sin ? t
求,颗粒脱离台面的
最小振动频率
振动筛
例题
? 质点的惯性力与动静法
平衡位置O
y
y
m
amg
m a
mg
FN
FN
FI
解：通过分析颗粒的受力、运动并施加惯性力，确定
颗粒脱离台面的位置和条件。
y
FI
O 平衡位置
y
平衡位置O
y
y
m
amg
FN
FI
解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定
颗粒脱离台面的位置和条件。
0s i n2N ＝＋－ tmamgF ??
应用动静法
颗粒脱离台面的条件 FN＝ 0，
a
g＝?
引入惯性力，由 0＝?
yF
tmamgF ?? s in2N ?＝得到：
sin? t＝ 1时,? 最小。
0N ＝＋－ IFmgF
tmaF I ?? s in2?
平衡位置O
y
y
m a
mg
FN
FI
解：颗粒在平衡位置以下的情况
应用动静法
0s i n2N ?tmamgF ??＋＝
颗粒在平衡位置以下时不会
脱离台面。
引入惯性力，由 0＝?
yF 0N ＝－ IFmgF ?
解得：
tmaF I ?? s in2?
? 质点的惯性力与动静法
a2
a1
ai
F1
F2
Fi
FN1
FN2
FNi
FI1
FI2
FIi
m1
mi
m2
质点系的主动力系
质点系的约束力系
质点系的惯性力系
ni F,,F,,F,F 21
??????
ni NN2N1N F,,F,,F,F
??????
ni II2I1I F,,F,,F,F
??????
§ 14-2 质点系的 达朗伯原理
对整个质点系应用达朗伯原理，得到
0FFF I ＝? ?? ??
i i
i
i
i
i
e
i
???
0)F(M)F(M)F(M I ＝? ?? ??
i i
iO
i
iO
i
e
iO
???
对质点系上的第 i 个质点，利用达朗伯原理有：
0I ??? iiiei FFF ???
式中，将原来作用在第 i 个质点上的力分为,
e
iF
?外力
内力 i
iF
?
注意到：
0F ＝?
i
i
i
? 0)F(M ＝?
i
i
iO
?
? 质点系的 达朗贝尔原理
得到质点系的 达朗贝尔原理
0FF I ＝? ??
i i
i
e
i
??
0)F(M)F(M I ＝? ??
i i
iO
e
iO
??
作用在质点系上的外力系与假想施加在质点系
上的惯性力系，形式上组成平衡力系。
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
例题
杆 CD 长 2l,质量不计，小
球 C,D 质量均为 m，绕 y
轴以 ω 匀速转动,结构的几
何尺寸如图。
求：轴承 A,B处的约
束反力。
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
解：以整个系统为研究对象
小球 C,D的加速度如图
1na
?
2na?
在系统上加上惯性力
22I1I s in ??lmFF ??
AxF
AyF
BxF 由动静法，得
? ? 0xF
01I2I ???? FFFF BxAx
0?? BxAx FF
? ? 0yF mgF Ay 2?
2IF
?
1IF
?
? ? 0xF 0?? BxAx FF
? ? 0yF mgF Ay 2?
? ?? ? 0FM A ?
? ? 0c o s221 ???? ?laFaFhF ggBx
代入：
得到,0c o s2s i n 2 ?? ??? lmlhF
Bx
解得：
2
2 2s in
??hmlFF BxAx ??
mgF Ay 2?
22I1I s in ??lmFF ??
ω
C
D
θ mg
mga
h l
l
A
B
1na
?
2na?
AxF
AyF
BxF
2IF
?
1IF
?
一、概述：
§ 14-3 刚体惯性力系的简化
? 质点惯性力取决于 各点的绝对加速度。
? 对于平面问题，刚体的惯性力组成平面力系 。
? 对于一般问题，刚体的惯性力组成空间力系 。
iii amF
?? ??
I
?刚体惯性力系简化结果 一个主矢
一个主矩
二、刚体作平移
刚体作平移时，各点的加速度与质心的加速度相同
Ci aa
?? ?
Ciiii amamF
??? ????
I
质点的惯性力
构成一个均匀分布、同向的平行力系。
∴ 合成结果为：通过质心的一个力
CCi
iiiR
amam
amFF
??
???
????
???
?
?? II
结论：
刚体作平移时，惯性力系简
化为一个通过刚体质心的合力。
CR amF
?? ??
I
C
Ca
?
RFI
?
三、刚体作定轴转动
CR amF
?? ??
I
具有对称平面的刚体 绕垂直于对称平面的固定轴转动时，
惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。
?zO JM ＝－ I
合力通过转轴 O，方向与 相反。
Ca
?
合力偶方向与角加速度 α 方向相反。
C
O
Ca
?
RFI
?
OMI
αω
刚体作定轴转动
CR amF
?? ??
I ?zO JM ＝－ I
C
O
Ca
?
RFI
?
OMI
αω ii amFF ??? ?? ??? IR I
证明：
由于
Camam i
?? ??
得：
CamF
?? ??
R I
? ? ? ? iiii rrmFMM ????? ?? ??IOO I ?
2ii rm ??? ??
?zJ??
刚体作定轴转动 主矢
可进一步分解为：
??
CR amF
?? ??
I
n
C
n
R amF
?? ??
I
?RFI?
nRFI?
刚体作定轴转动，惯性力系
的最终简化结果可写为：
??
CR amF
?? ??
I
n
C
n
R amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
O RFI?
OMI
Ca
?
αω
C
刚体作定轴转动 （ 1）转轴通过质心
0I ??? CR amF ??
简化结果仅为一个合力偶
（ 2）刚体作匀速转动
0 I ＝OM
简化结果仅为
（ 3）转轴通过质心，且为
匀速转动
0I ?OM
特例：
0I ??RF?
0I ??RF? 0I ?nRF?
n
C
n
R amF
?? ??
I
?zO JM ＝－ I
?RFI?
nRFI?
O RFI?
OMI
Ca
?
αω
C
?zO JM ＝－ I
CR amF
?? ??
I
四、刚体作平面运动
刚体平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
将惯性力系向 质心 简化：
平移部分的惯性力系 合力
CR amF
?? ??
I
绕质心转动的惯性力系 合力偶 ?
CC JM ＝－I
结论：
刚体作平面运动时，惯性力系简化为一个
通过质心的合力,以及
一个合力偶,CR amF
?? ??
I
?CC JM ＝－I
RFI
?C
Ca
?
αω
CM I
结论：
刚体作平面运动时，惯性力系简化为：
一个通过质心的合力
以及一个合力偶：
CR amF
?? ??
I
?CC JM ＝－I
应用达朗伯原理的解题过程
2、分析研究对象的主动力和约束反力；画受力图
3、根据研究对象的运动情况，画上惯性力的
主矢和主矩，
4、列出静平衡方程求解
动静法的解题过程：
五、动静法
1、选取研究对象
主矢和主矩和加速度、角加速度的方向相反
在静平衡方程中，惯性力不加负号，直接代入
??
CR amF
?? ?
I
n
C
n
R amF
?? ?
I ?zO JM ＝I
例题 利用达朗伯原理推导刚体平面运动微分方程
CCa?
αω
gRF
?
gOM
解：根据刚体平面运动时惯性力系的简化结果，有：
1F
?
iF
?
2F
?
nF
?
对刚体可列出如下方程
0?? xF
0?? yF
0)F( ?? CM
0 I ??? xex FF
0I ?? yey FF
0M)F( IC ??? CeM
得到,?? exCx Fma
?? eyCy Fma
)F(?? eCC MJ ?
CR amF
?? ??
I ?CC JM ＝－I
半径为 R、重量为 W1 的大圆轮，由绳索牵引，
在重量为 W2 的重物 A 的作用下，在水平地面上作
纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。
求：大圆轮与地面之
间的滑动摩擦力
例题
O
C
W1
A
W2
R
解,1、受力分析
考察整个系统，有 4个未知约束。
O
C
W1
A
W2
R
F
FN
FO
x
FO
y
采用动静法，需
将系统拆开。考虑先
应用动能定理，求出
加速度，
再对大圆轮应用
动静法。求出约束反
力 F
根据动能定理：
O
C
W1
A
W2
R
F
FN
FOx
FOy
2122122
2 2
1))(
2
1(
2
1
2
1 v
g
W
R
vR
g
Wv
g
WT ???
sWvgWgW ??? 2212 )23(21
vts ?dd
0T1 ?
得到：
12
2
2
3
WW
gW
a
?
?
对上式求导，注意到
??? FW12 TT
12
2
2
3 WW
gWa
?
?
0)F( ?? CM
R
JF C??
对轮子，加上惯性力后，用动静法，
0I ??? CMRF
)
2
3
(2 12
12
2
WW
WW
R
aJ
F C
?
??
得到：
代入,Ra??
解得：
CMI
IF
?
?CC JM ?I注意到：
C
F
FN
TF
W1
例题 绞车和梁共重为 P，绞盘半径为 R，转动惯量为 J，
绞车以加速度 a 提升质量为 m的重物。
求：支座 A,B处的约束力和附加
约束力
解：以整个系统为研究对象
作受力图 （包括惯性力）
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I
对系统应用动静法
? ? 0BM
? ? 021I32I2 ?????? llFMPllFmg l AO
? ? 0yF
01 ????? FPmgFF BA
解得 支座 A,B处的约束力为：
? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?? R
JmlaPlm g l
llF A 23221
1
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
A B
O
l3
l2l1
α
a?
P
mg
AF
?
BF
?
OMI
IF
?
amF ?? ?I
R
aJJM
O ?? ?I ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?? R
JmlaPlm g l
llF A 23221
1
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
支座 A,B处的附加约束力为：
? ? ??
??
?
? ?
?? R
Jmla
llF A 221
1
? ? ??
??
?
? ?
?? R
Jmla
llF B 121
1
?
O
A
?
?
均质杆件 OA,A 端铰接，在
铅垂位置时受微小扰动运动到
倾斜位置。
求,1、惯性力的简化结果；
2,O 处的约束力。
例题
解,1、运动分析 杆件 OA绕 O轴作定轴转动，转动
角速度和角加速度分别为 ?和 ? 。
2、受力分析
转轴 O 处有沿着杆件轴线和垂直
于杆件轴线方向约束力；
杆件作定轴转动的惯性力系向
转轴 O 简化的结果为：
?2τI lgWF ??
2n
I 2 ?
l
g
WF ??
?OO JM ?I
W－ 杆件重力
解,2、受力分析
?2τI lgWF ?? 2nI 2 ?lgWF ?? ?OO JM ? I
3、应用动静法先求未知运动量
? 和 ?
0)F( ?? OM
td
d?? ?
0s in2 ??? ?? lWJ O －
?? s in23 lg＝
由：
)c o s-(13 ?? lg??
?2τI lgWF ?? 2nI 2 ?lgWF ?? ?OO JM ? I
解,4、应用动静法 计算动约束力：
0?xF
)5 c o s-(32c o s2 2 ??? WWlgWF Ox ????
?? s in23 lg＝ )c o s-(13 ?? lg?
0c o s2 2 ???? ?? WlgWF Ox
0?yF
??? s i n42s i n WlgWWF Oy ??????
0s in2 ????? ?? WlgWF Oy
§ 14-4 定轴转动刚体上轴承的动约束力
m
m
A B A B
m
m ?
FRA F
RB
理想状态 偏心状态
?
1IF
?
2IF
?
1IF
?
2IF
?
2I1I FF ? 2I1I FF ?
1r
2r
1r
2r
21 rr ? 21 rr ?0?RAF
0?RBF
0?RAF
0?RBF
A
B
m
m
A
B
m
m
FRB
FRA F
RA
FRB
偏角状态 既偏心又偏角状态
?
1IF
?
2IF
?
?
1IF
?
2IF
?
2I1I FF ?
21 rr ?
1r
2r
1r
2r
2I1I FF ?
21 rr ?0?RAF
0?RBF
0?RAF
0?RBF
结论,刚体绕定轴转动时，轴承 不产生动反力 的条件为：
（ 1）转轴通过刚体的质心
（ 2）刚体对转轴的惯性积等于 0
静平衡和动平衡
静平衡,转轴通过刚体的质心，刚体可在任意位置静
止不动。
静平衡的条件：
转轴通过刚体的质心。 （转轴为刚体的质心轴）
A B
m
m
1r
2r
A
B
m
m
1r
2r
21 rr ?
动平衡,刚体绕定轴转动时，轴承上不产生附加的动
反力
动平衡的条件：
（ 1）转轴通过刚体的质心
（ 2）刚体对转轴的惯性积等于 0
（转轴为刚体的质心 主 轴）
?A B
m
m
1r
2r
21 rr ?
1、建立蛤蟆夯的
运动学和动力学模
型；
2、分析蛤蟆夯工
作过程中的几个阶
段。
实际问题讨论
