第三篇 动力学
引 言
动力学,研究物体的机械运动与作用
在物体上力的关系
动力学 = 牛顿三大定律 + 静力学 + 运动学
工程实际中的动力学问题
? 舰载飞机在发动机和弹射器推力
作用下从甲板上起飞
? 工程实际中的动力学问题
若已知初速度, 一定的
时间间隔后飞离甲板时的速
度, 则需要弹射器施加多大
推力, 或者确定需要多长的
跑道 。
若已知推力和跑道可能长
度，则需要多大的初速度和
一定的时间隔后才能达到飞
离甲板时的速度。
爆
破
时
烟
囱
怎
样
倒
塌
?
工
程
实
际
中
的
动
力
学
问
题
? 工程实际中的动力学问题
棒球在被球棒
击打后，其速度
的大小和方向发
生了变化。如果
已知这种变化即
可确定球与棒的
相互作用力 。
F
v1
v2
? 工程实际中的动力学问题
载人飞船的 交会与对接
A
v1
B
v2
? 工程实际中的动力学问题
航空航天器
的姿态控制
? 工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
动力学中的几个概念：
质点,具有一定的质量，但大小、形状可忽
略的物体。
质点系,由几个或有限多个相互联系的质
点组成的系统。
刚体,任意两个 质点的距离保持不变。
第十章 质点动力学基本方程
牛顿第一定律（惯性定律）：
不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律,amF ?? ?
牛顿第三定律（作用与反作用定律）：
两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，
方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体上。
§ 10-1 质点动力学基本定律（牛顿三大定律）
牛顿三大定律是对 绝对运动 而言 。
惯性坐标系,牛顿三大定律可以适用的坐标系
在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯性坐
标系。
力学单位制,采用国际单位制
基本物理量, 质量 （ M） 长度 （ L） 时间 （ T）
（ kg） （ m） （ s）
力,导出单位
1 N（ 牛顿） = 2/1 smkg ?
§ 10-2 质点的运动微分方程
牛顿第二定律，
∵ 加速度 a 有三种计算方法,∴ 有三种形式的质
点运动微分方程。
x
y
z
x
y
z
v?r?
a?
F?1、矢量法
2
2
dt
rd
dt
vda ??? ??
∴ 质点运动微分方程为
?? Fdt rdm
??
2
2
amF ?? ?
x
y
z
x
y
z
v?r?
a?
F?2、直角坐标法
将矢量式向坐标轴投影，得
或,??
xFdt
xdm
2
2
?? yFdt ydm 22
?? zFdt zdm 22
?? xx Fma
?? yy Fma
?? zz Fma
3、自然法
nt aaa
??? ??
nv
t
va ???
?
?
2
d
d ??
在自然坐标系中：
a?
?a
?
na
?
F?
A
自然坐标系中的运动微分方程为：
或,???
tFdt
sd
dt
dvm
2
2
?? nFvm ?
2
? ? 0bF
?? tt Fma
?? nn Fma
?? bF0
动力学的问题可分为：
1,第一类问题 （ 动力学正问题） 已知物体的运
动，求作用在物体的力。
3、混合问题
2,第二类问题 （动力学反问题） 已知作用在物
体上的力，求物体的运动。
§ 10-3 质点动力学的两类问题
一、动力学第一类问题
求解第一类问题比较简单。
已知质点运动，求作用在物体上的力。
求解方法为：将运动方程对时间求
两次导数，得到质点的加速度，
再代入牛顿第二定律，即可求得作
用于质点上的力。
φω
A
B
x
y
O
l
β
例题 1,已知滑块 B的运动方程为：
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
??
?
?
?? ttrlx ?
?
?
?
2c o s
4
c o s
4
1
2
滑块 B的质量为 m，
忽略连杆 AB的质量
和摩擦，
求,
0?? t?? 2
?? ?和
时，连杆 AB 所受的力
F
xβ
mg
FN
a x
解：本问题为第一类问题
?c o sFma x ??
? ?ttrdt xda x ???? 2c o sc o s222 ????
当 φ=0 时,? ??? ??? 12ra x 而且,β=0
可得到,? ??? ?? 12mrF （ AB杆受拉）
以滑块 B为研究对象
φω
A
B
x
y
O
l
β
?????? ????
?
?
???
? ?? ttrlx ???? 2c o s
4c o s41
2
F
xβ
mg
FN
a x
解：以滑块 B为研究对象
? ?ttrdt xda x ???? 2c o sc o s222 ????
当 φ=π/2 时,?? 2ra x ?
可得到：
22
22
rl
mrF
?
?? ?（ AB杆受压）
l
rl 22c o s ???
?c o sFma x ??
φω
A
B
x
y
O
l
β
?????? ????
?
?
???
? ?? ttrlx ???? 2c o s
4c o s41
2
二,动力学第二类问题
第二类问题比较复杂，求解时一般需要
进行积分，仅对下述几种情况，有简单解。
已知作用在质点上的力，求质点
的运动规律
1、力为常数
CFdt xdm ??2
2
对时间积分两次，利用初始条件，确定积分
常数，即可。
2、力为时间的函数
同样，对时间积分两次，利用初始条件，确
定积分常数，即可。
? ?tFdt xdm ?22
3、力是位置的函数
)(2
2
xFdt xdm ?
进行如下变换：
dx
dvv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
dt
dx
dt
d
dt
xd x
x
xx ????
?
??
?
??
2
2
得：
)( xFvdxdvm xx ?
积分得：
dxxFdvvm xx )(?? ?
由上式及所给条件，求出
xv
再由
???? dtvtxdtdxv xx )(
3、力是速度的函数
)(2
2
x
x vf
dt
dvm
dt
xdm ??
进行如下变换后，积分：
得：
? ?tv x ??
再由 ? ?t
dt
dxv
x ???
? ? ?? ?
tv
v x
x dt
vf
dvm
00
得到,? ? ? ?dtttx t??
0?
质量为 m的质点带有电荷 e,以速度 进入
强度按 变化的均匀电场中，初速度方
向与电场强度垂直。质点在电场中受力
作用。已知 A,k为常数，忽略质点的重力。
0v
ktAE c o s?
eEF ??
交流
电源
平板电容器
v0
试建出质点的运动方程。
质点运
动轨迹
例题 2：
力的投影为：m
F v
解：
如图所示,建立坐
标轴。
y
o x
交
流
电
源
v0
0?? zx FF
ktc o seAF y ??
质点运动微分方程为：
02
2
?? dtdvmdt xdm x kteA
dt
dvm
dt
ydm y co s???
2
2
对于任意时
刻的动点 M
02
2
?? dtdvmdt xdm x kteA
dt
dvm
dt
ydm y co s???
2
2
积分，得到
0vdtdxv x ?? kts i nmk
eA
dt
dyv y ???
再积分，得到
?? ?
t
o
x
dtvdx 00 dtkts i nmkeAyd
ty
?? ?? 00
质点运动方程为
tvx 0? ? ?1?? ktc o s
mk
eAy
质点的轨迹方程为,??
?
?
?
?
???
?
?
???
?? 1
0
2 x
v
kc os
mk
eAy
m
F v
y
o x
交
流
电
源
v0
0?? zx FF
ktc o seAF y ??
02
2
?? dtdvmdt xdm x
kteAdtdvmdt ydm
y
co s???2
2
质点运动微分方程为：
质点运动方程为
tvx 0? ? ?1?? ktc o smkeAy
质点的轨迹方程为：
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?? 1
0
2 x
v
kc os
mk
eAy
质量为 m的小球以水
平速度 射入水中。如小球
所受阻力 F与小球速度 v的方向
相反，大小成正比，
即,。 忽略浮力，
试分析小球的运动。
0v
vF ???
M
0v
解,M点在任意位置时，有
x
y
F
vmg
jvivF yx ??? ?? ???
小球的运动微分方程为：
xX
x vF
dt
dvm
dt
xdm ?????
2
2
yy
y
vmgFmgdtdvmdt ydm ??????2
2
例题 3：
l0
mk
物块的质量为 m,
求：物块的运动方程
v0
例题 4
弹簧的刚度系数为 k,
物块自平衡位置以
初始速度 v0开始运动。
l0 x
xO mk
解：这是已知力 (弹簧力 )求运动规律，故为第二类动力
学问题。
?? xFdt xdm 22 02
2
?xk
dt
xdm ＋
以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立 Ox坐标系，
mk F
将物块置于任意位置 x > 0 处。物块在 x 方向只受
有弹簧力 F＝－ k x 。
根据直角坐标系中的质点运动微分方程
F
l0 x
xO mk
0202
2
?xdt xd ?＋
)s in ( 0 ?? ?? tAx
0
0
0 ?? ?
?,
vA
02
2
?xk
dt
xdm ＋
m
k?2
0?
令：
00,;00
vxt
x,t
??
??
?
方程的通解为：
代入初始条件：
解得,t
m
k
k
mvx s in
0?
l0
m
k
v0
物块的质量为 m,
求：物块的运动方程
弹簧的刚度系数为 k,
物块自平衡位置以
初始速度 v0开始运动。
例题 5
F
x
m
k
x
O
解：这是已知力 (弹簧力 )求运动规律，
故为第二类动力学问题。
以弹簧在静载 mg作用下变形后 的平衡
位置为原点建立 Ox坐标系，将物块置于
任意位置 x > 0 处。l0
δst
W
物块在 x 方向只受有弹簧力 F＝－ k x
和重力 W＝ mg。 根据直角坐标系中的质
点运动微分方程：
解：以弹簧在静载 mg作用下变形后 的平衡
位置为原点建立 Ox坐标系，
F
x
m
k
x
O
l0
δst
W
k
mg,mgxk
dt
xdm ???
stst2
2
)( ??＝－
m
k,x
dt
xd ?? 2
0
2
02
2
0 ??＋
?? xFdt xdm 22
将物块置于任意位置 x > 0 处。物块在 x 方
向只受有弹簧力 F＝－ k x 和重力 W＝ mg。
根据直角坐标系中的质点运动微分方程
m
k,x
dt
xd ?? 2
0
2
02
2
0 ??＋
)s in ( 0 ?? ?? tAx
0
0
0 ?? ?
?,
vA
00,;00
vxt
x,t
??
??
?
方程的通解为：
代入初始条件：
解得：
t
m
k
k
mvx s in
0?
计算结果分析
l0
m
k
v0
l0 x
xO mk v0
t
m
k
k
mvxvA s i n0
0
0
0 ??? ;,?
?
重力 mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。
?
?
NF
?
mg
F?
例题 6 粉碎机滚筒半径为 R,匀速转
动，铁球应在 时掉下，
0?? ?
求：滚筒每分钟的转数 n
解：本问题为混合型问题
小球的运动微分方程（沿主
法线方向）为：
?? nn Fma
?c o smgFRvm N ??
2
铁球的受力情况如图
?
?
NF
?
mg
F? ?c o smgF
R
vm
N ??
2
质点的速度 v 为,Rnv 30??
得到：
? ? 2
1
30
??
?
??
? ?? ?
?
c o smgF
m
R
R
n N
当 时，铁球将落下，此时0?NF 0?? ?
解得：
05499 ?c o sR
g.n ?
sa
M
srr′
x
z
yO
x′
z′
y′
O′
惯性参考系（静系） － O x y z
非惯性参考系（动系） － O′x′y′z′
绝对运动轨迹 sa
相对运动轨迹 sr
相对位矢 r′
**§ 10-4 质点相对运动微分方程
牵连运动：动系 O′x′y′z′ 相
对于 静系 O xyz 的运动
M点的绝对运动方程（在静系内的运动）
牛顿第二定律,amF ?? ?
式中：
aaa
?? ?
aa
?,为绝对加速度
根据运动学中的加速度合成定理，有
Crea aaaa
???? ???
上式中,称为 科氏加速度，
Ca
? rc vω2a ??? ?? e
ea
? 为 牵连加速度
ra
? 为 相对加速度
Fmmmm ????? ???? Crea aaaa
将加速度代入牛顿第二定律，得
由上式，可得
Cer aaa
???? mmFm ???
令
ege amF
?? ??
cgc amF
?? ??
牵连惯性力
科氏惯性力
gcge FFFm
???? ???
ra
最后得：
gcge FFFm
???? ???
ra
上式称为质点相对运动微分方程。
质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作
用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏
力的矢量和。
ege amF
?? ??
cgc amF
?? ??
牵连惯性力
科氏惯性力
特例：
1、动系作平动：
00 ??? gcc Fa ??
得到：
ger FFam
??? ??
2、动系作匀速直线运动：
00
00
???
???
gee
gcc
Fa
Fa
??
??
得到,Fam
r
?? ?
2、动系作匀速直线运动：
Fam r ?? ?
上式与牛顿第二定律相同，
所有相对于惯性坐标系作 匀速直线运动
的参考系都可以认为是 惯性坐标系 。
geF
m
0aO
x’
y’
F
P
?
?
例 5,如图所示单摆，摆长 l,小球质量为
m,其悬挂点 O以加速度 向上运动。
0a
求：此单摆做微振动的周期。
解,在悬挂点 O上固接以平动参考系 Ox’y’，
小球相对此动系相当于 悬挂点固定的单
摆振动 。
因为平动,0?
gcF
?
本问题的动力学基本方程为：
0amPFam r
???? ???
gcge FFFm
???? ???
ra
geF
m
0aO
x’
y’
F
P
?
?
向切向方向投影：
?? s i nmas i nmgdt sdm 02
2
???
?s i n)( 0agm ???
又 很小? ?ls ?
?? )( 02
2
agmdtdm ???
令
l
ag
n
02
???
022
2
?? ??? ndtd
)si n ( ??? ?? nA ag
lT
?? ?2
0amPFam r
???? ???
上式变为：
得到：
解得：
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时,a > 5g
惯性参考系－地球
非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向下，从心脏
流向头部的血流受阻，造成
大脑缺血，形成 黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
俯冲时,a > 2g
飞机急速俯冲时
飞行员的红视现象
惯性参考系－地球
非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向上，使血流
自下而上加速流动，造成
大脑充血，形成 红视现象 。
飞行员的黑晕与红视现象
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
由于地球的
自转引起的水
流科氏惯性力。
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
水流科氏
惯性力对右
岸的冲刷。
O
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
P
k
k
开有矩形槽的大盘以等角速度
ω 绕 O轴旋转。矩形槽内安置物
块 -弹簧系统，物块 P的质量为 m，
弹簧的刚度系数为 k。 初始状态
下，物块处于大盘圆心 O,这时
弹簧不变形。
求,1、物块的相对运动微分方程；
2、物块对槽壁的侧压力。
ω
ω
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
P
k
k
k
P
x′
y′
O
x′
vr a
en
aIC
解：
1、非惯性参考系－ O x′ y′
动点－物块 P
2、分析相对速度和各种加
速度：
相对速度 vr － 沿着 x′正向
牵连加速度 aen－ 由大盘
转动引起
科氏加速度 aIC－ 2m??vr
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
FIen
F F
N
FIC
例 题 3
ωk
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
解：
3、分析质点 (物块 )受力：
F － 弹簧力 F＝ 2k x′
FN － 槽对物块的约束力
FIC － 科氏力
FIen － 法向牵连惯性力
FIen＝ m ω 2 x′
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
?k
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
解：
4、建立质点 (物块 )的相对
运动微分方程：
FIen
F F
N
FIC
xmxkFFxm ????????? 2Ie 2 ???
ICN FFym ?????
0)2( 2 ????? xmkx ???
xmF ??? ?2N
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 ????? xmkx ???
物块在 x′＝ 0处的平衡位置 为稳定平衡位置。
? 当 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
m
k22 ??
2
0
2 ?? ??
k
m
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 ????? xmkx ???
? 当 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
物块不能在 x′＝ 0处附近作 自由振动，物块在 x′＝ 0处
的平衡是不稳定的。
m
k22 ??
? 当 mk22 ?? 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
物块在 x′＝ 0处为随遇的平衡位置。
geF
如图所示单摆，摆长 l,小
球质量为 m,其悬挂点 O以加速度
向上运动。
0a
例 5：
求此单摆做微振动的周期。
O
m
0a
解,在悬挂点 O上固接以平动参考
系 Ox’y’,小球相对此动系相
当于 悬挂点固定的单摆振动 。
因为平动,0?
gcF
x
y
F
建立动力学基本方程：
ger FPFma ???
P
?
?
向切向方向投影：
geF
O
m
0a
x
y
F
?
?
P
?s i n)( geFP
dt
sdm ???
2
2
?s i n)( 0agm ???
又 很小? ?ls ?
上式可改写为：
?? )( 02
2
agm
dt
dm ???
令
l
ag
n
02
?
??
02
2
2
?? ??? n
dt
d
)si n ( ??? ?? nA ag
lT
?
? ?2
引 言
动力学,研究物体的机械运动与作用
在物体上力的关系
动力学 = 牛顿三大定律 + 静力学 + 运动学
工程实际中的动力学问题
? 舰载飞机在发动机和弹射器推力
作用下从甲板上起飞
? 工程实际中的动力学问题
若已知初速度, 一定的
时间间隔后飞离甲板时的速
度, 则需要弹射器施加多大
推力, 或者确定需要多长的
跑道 。
若已知推力和跑道可能长
度，则需要多大的初速度和
一定的时间隔后才能达到飞
离甲板时的速度。
爆
破
时
烟
囱
怎
样
倒
塌
?
工
程
实
际
中
的
动
力
学
问
题
? 工程实际中的动力学问题
棒球在被球棒
击打后，其速度
的大小和方向发
生了变化。如果
已知这种变化即
可确定球与棒的
相互作用力 。
F
v1
v2
? 工程实际中的动力学问题
载人飞船的 交会与对接
A
v1
B
v2
? 工程实际中的动力学问题
航空航天器
的姿态控制
? 工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
动力学中的几个概念：
质点,具有一定的质量，但大小、形状可忽
略的物体。
质点系,由几个或有限多个相互联系的质
点组成的系统。
刚体,任意两个 质点的距离保持不变。
第十章 质点动力学基本方程
牛顿第一定律（惯性定律）：
不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律,amF ?? ?
牛顿第三定律（作用与反作用定律）：
两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，
方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体上。
§ 10-1 质点动力学基本定律（牛顿三大定律）
牛顿三大定律是对 绝对运动 而言 。
惯性坐标系,牛顿三大定律可以适用的坐标系
在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯性坐
标系。
力学单位制,采用国际单位制
基本物理量, 质量 （ M） 长度 （ L） 时间 （ T）
（ kg） （ m） （ s）
力,导出单位
1 N（ 牛顿） = 2/1 smkg ?
§ 10-2 质点的运动微分方程
牛顿第二定律，
∵ 加速度 a 有三种计算方法,∴ 有三种形式的质
点运动微分方程。
x
y
z
x
y
z
v?r?
a?
F?1、矢量法
2
2
dt
rd
dt
vda ??? ??
∴ 质点运动微分方程为
?? Fdt rdm
??
2
2
amF ?? ?
x
y
z
x
y
z
v?r?
a?
F?2、直角坐标法
将矢量式向坐标轴投影，得
或,??
xFdt
xdm
2
2
?? yFdt ydm 22
?? zFdt zdm 22
?? xx Fma
?? yy Fma
?? zz Fma
3、自然法
nt aaa
??? ??
nv
t
va ???
?
?
2
d
d ??
在自然坐标系中：
a?
?a
?
na
?
F?
A
自然坐标系中的运动微分方程为：
或,???
tFdt
sd
dt
dvm
2
2
?? nFvm ?
2
? ? 0bF
?? tt Fma
?? nn Fma
?? bF0
动力学的问题可分为：
1,第一类问题 （ 动力学正问题） 已知物体的运
动，求作用在物体的力。
3、混合问题
2,第二类问题 （动力学反问题） 已知作用在物
体上的力，求物体的运动。
§ 10-3 质点动力学的两类问题
一、动力学第一类问题
求解第一类问题比较简单。
已知质点运动，求作用在物体上的力。
求解方法为：将运动方程对时间求
两次导数，得到质点的加速度，
再代入牛顿第二定律，即可求得作
用于质点上的力。
φω
A
B
x
y
O
l
β
例题 1,已知滑块 B的运动方程为：
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
??
?
?
?? ttrlx ?
?
?
?
2c o s
4
c o s
4
1
2
滑块 B的质量为 m，
忽略连杆 AB的质量
和摩擦，
求,
0?? t?? 2
?? ?和
时，连杆 AB 所受的力
F
xβ
mg
FN
a x
解：本问题为第一类问题
?c o sFma x ??
? ?ttrdt xda x ???? 2c o sc o s222 ????
当 φ=0 时,? ??? ??? 12ra x 而且,β=0
可得到,? ??? ?? 12mrF （ AB杆受拉）
以滑块 B为研究对象
φω
A
B
x
y
O
l
β
?????? ????
?
?
???
? ?? ttrlx ???? 2c o s
4c o s41
2
F
xβ
mg
FN
a x
解：以滑块 B为研究对象
? ?ttrdt xda x ???? 2c o sc o s222 ????
当 φ=π/2 时,?? 2ra x ?
可得到：
22
22
rl
mrF
?
?? ?（ AB杆受压）
l
rl 22c o s ???
?c o sFma x ??
φω
A
B
x
y
O
l
β
?????? ????
?
?
???
? ?? ttrlx ???? 2c o s
4c o s41
2
二,动力学第二类问题
第二类问题比较复杂，求解时一般需要
进行积分，仅对下述几种情况，有简单解。
已知作用在质点上的力，求质点
的运动规律
1、力为常数
CFdt xdm ??2
2
对时间积分两次，利用初始条件，确定积分
常数，即可。
2、力为时间的函数
同样，对时间积分两次，利用初始条件，确
定积分常数，即可。
? ?tFdt xdm ?22
3、力是位置的函数
)(2
2
xFdt xdm ?
进行如下变换：
dx
dvv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
dt
dx
dt
d
dt
xd x
x
xx ????
?
??
?
??
2
2
得：
)( xFvdxdvm xx ?
积分得：
dxxFdvvm xx )(?? ?
由上式及所给条件，求出
xv
再由
???? dtvtxdtdxv xx )(
3、力是速度的函数
)(2
2
x
x vf
dt
dvm
dt
xdm ??
进行如下变换后，积分：
得：
? ?tv x ??
再由 ? ?t
dt
dxv
x ???
? ? ?? ?
tv
v x
x dt
vf
dvm
00
得到,? ? ? ?dtttx t??
0?
质量为 m的质点带有电荷 e,以速度 进入
强度按 变化的均匀电场中，初速度方
向与电场强度垂直。质点在电场中受力
作用。已知 A,k为常数，忽略质点的重力。
0v
ktAE c o s?
eEF ??
交流
电源
平板电容器
v0
试建出质点的运动方程。
质点运
动轨迹
例题 2：
力的投影为：m
F v
解：
如图所示,建立坐
标轴。
y
o x
交
流
电
源
v0
0?? zx FF
ktc o seAF y ??
质点运动微分方程为：
02
2
?? dtdvmdt xdm x kteA
dt
dvm
dt
ydm y co s???
2
2
对于任意时
刻的动点 M
02
2
?? dtdvmdt xdm x kteA
dt
dvm
dt
ydm y co s???
2
2
积分，得到
0vdtdxv x ?? kts i nmk
eA
dt
dyv y ???
再积分，得到
?? ?
t
o
x
dtvdx 00 dtkts i nmkeAyd
ty
?? ?? 00
质点运动方程为
tvx 0? ? ?1?? ktc o s
mk
eAy
质点的轨迹方程为,??
?
?
?
?
???
?
?
???
?? 1
0
2 x
v
kc os
mk
eAy
m
F v
y
o x
交
流
电
源
v0
0?? zx FF
ktc o seAF y ??
02
2
?? dtdvmdt xdm x
kteAdtdvmdt ydm
y
co s???2
2
质点运动微分方程为：
质点运动方程为
tvx 0? ? ?1?? ktc o smkeAy
质点的轨迹方程为：
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?? 1
0
2 x
v
kc os
mk
eAy
质量为 m的小球以水
平速度 射入水中。如小球
所受阻力 F与小球速度 v的方向
相反，大小成正比，
即,。 忽略浮力，
试分析小球的运动。
0v
vF ???
M
0v
解,M点在任意位置时，有
x
y
F
vmg
jvivF yx ??? ?? ???
小球的运动微分方程为：
xX
x vF
dt
dvm
dt
xdm ?????
2
2
yy
y
vmgFmgdtdvmdt ydm ??????2
2
例题 3：
l0
mk
物块的质量为 m,
求：物块的运动方程
v0
例题 4
弹簧的刚度系数为 k,
物块自平衡位置以
初始速度 v0开始运动。
l0 x
xO mk
解：这是已知力 (弹簧力 )求运动规律，故为第二类动力
学问题。
?? xFdt xdm 22 02
2
?xk
dt
xdm ＋
以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立 Ox坐标系，
mk F
将物块置于任意位置 x > 0 处。物块在 x 方向只受
有弹簧力 F＝－ k x 。
根据直角坐标系中的质点运动微分方程
F
l0 x
xO mk
0202
2
?xdt xd ?＋
)s in ( 0 ?? ?? tAx
0
0
0 ?? ?
?,
vA
02
2
?xk
dt
xdm ＋
m
k?2
0?
令：
00,;00
vxt
x,t
??
??
?
方程的通解为：
代入初始条件：
解得,t
m
k
k
mvx s in
0?
l0
m
k
v0
物块的质量为 m,
求：物块的运动方程
弹簧的刚度系数为 k,
物块自平衡位置以
初始速度 v0开始运动。
例题 5
F
x
m
k
x
O
解：这是已知力 (弹簧力 )求运动规律，
故为第二类动力学问题。
以弹簧在静载 mg作用下变形后 的平衡
位置为原点建立 Ox坐标系，将物块置于
任意位置 x > 0 处。l0
δst
W
物块在 x 方向只受有弹簧力 F＝－ k x
和重力 W＝ mg。 根据直角坐标系中的质
点运动微分方程：
解：以弹簧在静载 mg作用下变形后 的平衡
位置为原点建立 Ox坐标系，
F
x
m
k
x
O
l0
δst
W
k
mg,mgxk
dt
xdm ???
stst2
2
)( ??＝－
m
k,x
dt
xd ?? 2
0
2
02
2
0 ??＋
?? xFdt xdm 22
将物块置于任意位置 x > 0 处。物块在 x 方
向只受有弹簧力 F＝－ k x 和重力 W＝ mg。
根据直角坐标系中的质点运动微分方程
m
k,x
dt
xd ?? 2
0
2
02
2
0 ??＋
)s in ( 0 ?? ?? tAx
0
0
0 ?? ?
?,
vA
00,;00
vxt
x,t
??
??
?
方程的通解为：
代入初始条件：
解得：
t
m
k
k
mvx s in
0?
计算结果分析
l0
m
k
v0
l0 x
xO mk v0
t
m
k
k
mvxvA s i n0
0
0
0 ??? ;,?
?
重力 mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。
?
?
NF
?
mg
F?
例题 6 粉碎机滚筒半径为 R,匀速转
动，铁球应在 时掉下，
0?? ?
求：滚筒每分钟的转数 n
解：本问题为混合型问题
小球的运动微分方程（沿主
法线方向）为：
?? nn Fma
?c o smgFRvm N ??
2
铁球的受力情况如图
?
?
NF
?
mg
F? ?c o smgF
R
vm
N ??
2
质点的速度 v 为,Rnv 30??
得到：
? ? 2
1
30
??
?
??
? ?? ?
?
c o smgF
m
R
R
n N
当 时，铁球将落下，此时0?NF 0?? ?
解得：
05499 ?c o sR
g.n ?
sa
M
srr′
x
z
yO
x′
z′
y′
O′
惯性参考系（静系） － O x y z
非惯性参考系（动系） － O′x′y′z′
绝对运动轨迹 sa
相对运动轨迹 sr
相对位矢 r′
**§ 10-4 质点相对运动微分方程
牵连运动：动系 O′x′y′z′ 相
对于 静系 O xyz 的运动
M点的绝对运动方程（在静系内的运动）
牛顿第二定律,amF ?? ?
式中：
aaa
?? ?
aa
?,为绝对加速度
根据运动学中的加速度合成定理，有
Crea aaaa
???? ???
上式中,称为 科氏加速度，
Ca
? rc vω2a ??? ?? e
ea
? 为 牵连加速度
ra
? 为 相对加速度
Fmmmm ????? ???? Crea aaaa
将加速度代入牛顿第二定律，得
由上式，可得
Cer aaa
???? mmFm ???
令
ege amF
?? ??
cgc amF
?? ??
牵连惯性力
科氏惯性力
gcge FFFm
???? ???
ra
最后得：
gcge FFFm
???? ???
ra
上式称为质点相对运动微分方程。
质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作
用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏
力的矢量和。
ege amF
?? ??
cgc amF
?? ??
牵连惯性力
科氏惯性力
特例：
1、动系作平动：
00 ??? gcc Fa ??
得到：
ger FFam
??? ??
2、动系作匀速直线运动：
00
00
???
???
gee
gcc
Fa
Fa
??
??
得到,Fam
r
?? ?
2、动系作匀速直线运动：
Fam r ?? ?
上式与牛顿第二定律相同，
所有相对于惯性坐标系作 匀速直线运动
的参考系都可以认为是 惯性坐标系 。
geF
m
0aO
x’
y’
F
P
?
?
例 5,如图所示单摆，摆长 l,小球质量为
m,其悬挂点 O以加速度 向上运动。
0a
求：此单摆做微振动的周期。
解,在悬挂点 O上固接以平动参考系 Ox’y’，
小球相对此动系相当于 悬挂点固定的单
摆振动 。
因为平动,0?
gcF
?
本问题的动力学基本方程为：
0amPFam r
???? ???
gcge FFFm
???? ???
ra
geF
m
0aO
x’
y’
F
P
?
?
向切向方向投影：
?? s i nmas i nmgdt sdm 02
2
???
?s i n)( 0agm ???
又 很小? ?ls ?
?? )( 02
2
agmdtdm ???
令
l
ag
n
02
???
022
2
?? ??? ndtd
)si n ( ??? ?? nA ag
lT
?? ?2
0amPFam r
???? ???
上式变为：
得到：
解得：
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时,a > 5g
惯性参考系－地球
非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向下，从心脏
流向头部的血流受阻，造成
大脑缺血，形成 黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
俯冲时,a > 2g
飞机急速俯冲时
飞行员的红视现象
惯性参考系－地球
非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向上，使血流
自下而上加速流动，造成
大脑充血，形成 红视现象 。
飞行员的黑晕与红视现象
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
由于地球的
自转引起的水
流科氏惯性力。
? 非惯性系中的质点动力学
? 牵连惯性力与科氏力实例
水流科氏
惯性力对右
岸的冲刷。
O
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
P
k
k
开有矩形槽的大盘以等角速度
ω 绕 O轴旋转。矩形槽内安置物
块 -弹簧系统，物块 P的质量为 m，
弹簧的刚度系数为 k。 初始状态
下，物块处于大盘圆心 O,这时
弹簧不变形。
求,1、物块的相对运动微分方程；
2、物块对槽壁的侧压力。
ω
ω
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
P
k
k
k
P
x′
y′
O
x′
vr a
en
aIC
解：
1、非惯性参考系－ O x′ y′
动点－物块 P
2、分析相对速度和各种加
速度：
相对速度 vr － 沿着 x′正向
牵连加速度 aen－ 由大盘
转动引起
科氏加速度 aIC－ 2m??vr
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
FIen
F F
N
FIC
例 题 3
ωk
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
解：
3、分析质点 (物块 )受力：
F － 弹簧力 F＝ 2k x′
FN － 槽对物块的约束力
FIC － 科氏力
FIen － 法向牵连惯性力
FIen＝ m ω 2 x′
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
?k
kP
x′
vr a
en
aIC
x′
y′
O
解：
4、建立质点 (物块 )的相对
运动微分方程：
FIen
F F
N
FIC
xmxkFFxm ????????? 2Ie 2 ???
ICN FFym ?????
0)2( 2 ????? xmkx ???
xmF ??? ?2N
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 ????? xmkx ???
物块在 x′＝ 0处的平衡位置 为稳定平衡位置。
? 当 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
m
k22 ??
2
0
2 ?? ??
k
m
? 非惯性系中的质点动力学 ? 应用举例
例 题 3
解,4、计算结果分析与讨论
0)2( 2 ????? xmkx ???
? 当 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
物块不能在 x′＝ 0处附近作 自由振动，物块在 x′＝ 0处
的平衡是不稳定的。
m
k22 ??
? 当 mk22 ?? 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
物块在 x′＝ 0处为随遇的平衡位置。
geF
如图所示单摆，摆长 l,小
球质量为 m,其悬挂点 O以加速度
向上运动。
0a
例 5：
求此单摆做微振动的周期。
O
m
0a
解,在悬挂点 O上固接以平动参考
系 Ox’y’,小球相对此动系相
当于 悬挂点固定的单摆振动 。
因为平动,0?
gcF
x
y
F
建立动力学基本方程：
ger FPFma ???
P
?
?
向切向方向投影：
geF
O
m
0a
x
y
F
?
?
P
?s i n)( geFP
dt
sdm ???
2
2
?s i n)( 0agm ???
又 很小? ?ls ?
上式可改写为：
?? )( 02
2
agm
dt
dm ???
令
l
ag
n
02
?
??
02
2
2
?? ??? n
dt
d
)si n ( ??? ?? nA ag
lT
?
? ?2
