第十三章 动能定理
? 力的功
? 动能定理
? 功率与功率方程
? 质点和 质点系的动能
? 机械能守恒
§ 13-1 力的功
一、常力在直线路程上的功
M 1 M 2s
F?
θ
sFsFW ?c o s??? ??
常力在直线路程上的功等
于力在路程方向上的投影
与路程的乘积。
功的单位,mNJ ?? 11功的量纲,22 ?TML
功,代数量 0,90 0 ?? W?
0,90 0 ?? W?
二、变力在曲线路程上的功
元功：
dsFrdFW ?? c o s??? ??
F?
rd?M M’
M1
M2θ 力在全路程上所做的功
dsFrdFWW M
M
S ?? c o s2
10 ???
???? ?
?
注意到：
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
???
???
? ?? ??? 2
1
M
M zyx
dzFdyFdxFW
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
三、几种常见力的功
1、重力的功
质点 M 的重力 mg 的投影值为：
mgF,F,F zyx ???? 00
∴ 重力从 M1 → M 2 时所做的功
为
? ? ?? ????? 2
1
2
1
z
z
M
M zyx m g d zdzFdyFdxFW
? ? m g hzzmg ??? 21
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
对于质点系（或刚体）
质点 i 的重力 m i g 的功为：
? ?21 iiii zzgmW ??
质点系的全部重力所做的功为：
? ?21 iiii zzgmWW ??? ? ?
由质心坐标公式有：
iiC zmmz ??
得,? ?
21 CC zzmgW ??
质点系的重力所做的功为,质点系总重力与质心
下降高度的乘积。
2、弹性力的功
弹簧的自然长度为,
刚度系数为 k。 0lM
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
从 M1 到 M2 弹簧的
弹性力的功为：
?? ???? 2121 ?? ?? dkrdFW MM ??
弹簧的弹性力为：
? ? ?kllkF ????? 0
? ?2221
2
?? ?? k结论：弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
2、弹性力的功
M
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
当 时，
21 ?? ?
（起始伸长大于最后伸长）
弹性力做正功
当 时，
21 ?? ?
（起始伸长小于最后伸长）
弹性力做负功
y
x
z
F?
r?
R A ?
F?
3、定轴转动刚体上作用力的功
刚体绕 z 轴转动，力 的元功为：F?
rdFW ?? ??? ??? RdFdsF ????
注意到,? ?FMRF
z
??
?
得到,?? dMW
Z?
从 到,力的功1? 2?
??
??
? 2
1
12 dMW Z
特别地，若 为常数，ZM
? ? ??? ???? ZZ MMW 1212
平面运动 = 随基点的平动 + 绕基点的转动
在动力学中，应取 质心 为基点
平面运动 = 随 质心 的平动 + 绕 质心 的转动
4、刚体作平面运动
结论,作用在平面运动刚体上力系的元功为：
???? CCR MrFW ??? ??
RF
? 力系的主矢
CM
力系对质心的主矩
Cr
?? 质心的位移 ?? 绕质心的转角
CCrd?
iF
?iCrd?
?d
iM
证明,取质心为基点，当刚体有微小位移时，力
的作用点 M i 的位移为,iF
?
iCCi rdrdrd
??? ??
力 的元功为：
iF
?
iCiCiii rdFrFrdFW
?????? ?????? ??
由于
? ? ? ? ??? dFMdCMFrdF iCiiiiCi ??? ???? c o s
?dCMrd iiC ???
力系全部力所做的功为
? ???? ???? ???? dFMrFWW iCCii ???
得到,????
CCR MrFW ??? ?
?
?
刚体作平面运动时作用力所作的功等于：
作用力 主矢在质心位移 上所作的功与对质心
的 主矩在绕质心转动 中所作的功之和。
结论：
作用在平面运动刚体上力系的 元功 为：
???? CCR MrFW ??? ??
??? ???? 2121 CC CCCC R dMrdFWW ?? ??
功 为：
例题
A
θ
C
T
半径为 r 的圆盘在水平力 T 作用下沿
斜面纯滚动上升，
写出水平力 T 的元功
rd?
当轮心 C 有微小位移 时，rd?
解：圆盘作平面运动
???? CCR MrFW ??? ??
r
drTrTdr ?? ?c o s
T d rT d r ?? ?cos
? ?1c o s ?? ?T d r
§ 13-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
2
2
1 mvT ?
??
i
ii vmT
2
2
1
二、质点系的动能
定义：
量纲,22 ?TLM
单位,J（ 焦耳）
三、刚体的动能
1、平移刚体的动能
平移刚体的动能等于把刚体的质量集中于质心时
质心的动能
证明,??
i
ii vmT
2
2
1
? ??? ii mv 221
Ci vv ?
由于刚体
作平移
? ? mm i以及
得到：
2
2
1
CmvT ?
2
2
1
CmvT ?
代入：
定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的
转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。
3,定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ＝
证明：
??
i
ii vmT
2
2
1 ? ? 2
2
1 ?
ii rm??
刚体绕 Z 轴作定轴转动，转动角速度为 ω
得到,2
2
1 ?
ZJT ?
? ??? 2221 ii rm?
注意到,?? 2iiZ rmJ
y
x
z
iivm
?
3,平面运动刚体的动能
平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平
移的动能与相对于质心转动动能之和。
平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动
2
2
1 ?
PJT ?
C
P
ω
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动∵
2
2
1 ?
PJT ?
∴
由转动惯量的平行移轴公式
2dmJJ Cz ??
得到 ? ? 22
2
1 ?mdJT
C ??
? ? 22 2121 ?? CJdm ??
C
P
ω
Cv
?
d
∵
Cvd ??
得到,22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
例题 已知：半径为 R, 质量为 m 的均质圆盘，
在地面上作纯滚动，中心的速度为
Cv
求：该物体的动能
C Cv
解：圆盘作平面运动
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
2
2
1 mRJ
C＝ R
vC??代入：
得到：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
22
2
1
2
1
2
1
R
v
mRmvT CC＝
2
4
3
Cmv＝
例题
求：该物体的动能
已知均质杆长 l, 质量为
m, B端的速度为 v 。
v
B
A
φ
图示位置,030??
P
Av?
解,AB 杆作平面运动，速度瞬心在 P点
AB?C
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
l
v
l
v
PB
v
AB
2
2
???? ??
vll vPCv ABC ???? 22?
2
22 2
12
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
??
l
vlmvmT ＝
v
B
A
φ
2
3
2 vm?
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
已知滑块 A的质量为 m1,质点 B 的
质量为 m2,。 AB 杆的长度为 l, 不计质量，
可以绕 A点转动，滑块的速度为 vA 。
求：系统的动能
例 题
例 题 1
ve
解,1、运动分析与速度分析
滑块作直线运动，速度
为 vA；
质点 B 作平面运动。以 A
为基点，其牵连速度与相
对速度分别为
xvv A ???e
?? ?llv AB ??r
?? c o sr ?lv x ??
?? s inr ?lv y ??
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
vr
?? c o s B ?? lxvvv rxexx ????
?? s in B ?lvvv ryeyy ???
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1
AvmT ?
2
12
1 xm ??
质点 B 的动能
2
22 2
1
BvmT ?
? ?222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxm ???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
2
2
2
22 2
1
2
1
ByBx vmvmT ??
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1 xmT ??
质点 B 的动能
? ?2222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxmT ???
系统 的总动能
22
22
2
21
21
c o s)(
2
1 ??? lmxlmxmm
TTT
????
??
???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
§ 13-3 动能定理
一、质点的动能定理
质点动能的微分等于作用在
质点上力的元功
Wmv ??)21d( 2微分形式
质点从某一位置运动到另一位置，其动能
改变量等于运动过程中作用在质点上的力所作之
功。
21
2
1
2
2 2
1
2
1
－－ Wmvmv ?
积分形式
定理的证明：
由牛顿第二定律,Fam ?? ? F
dt
vdm ?? ?
rdFrddt vdm ?
???
??? rdFvddt rdm ?
???
???
rdFvdvm ???? ??? rdFvvmd ?
???
???
?
??
?
? ?
2
1
Wmv ??)21d( 2动能定理微分形式
积分上式
21
2
1
2
2 2
1
2
1
－－ Wmvmv ?
动能定理积分形式
? 对于有 n个质点的质点系，将 n个方程相加
?? ??
?
?
?
?
?
i
iii Wvm ?)2
1(d 2
?? ??
i
ii
i
iW rdF
???
质点系动能定理 微分形式,质点系动能的微分等于
作用在质点系上所有力的元功之和
二、质点系的动能定理
对于第 i 个 质点：质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功
iii Wvm ??)2
1d( 2
得到,式中：
??
i
iW?dT
所有有功力 —— 既包括外力，也包括内力；
既包括主动力，也可能
包括约束力
质点系动能定理 积分形式,质点系动能改变量等于运
动过程中作用在质点系上的 所有有功力 所作之功的代数
和
??
i
iW?dT
将上式积分，得：
由质点系动能定理 微分形式
iWTT ?＝－ 12
三,内力的功与理想约束的概念
x
z
y
FA
FB
A
B
系统内力 FA＝－ FB
这一对内力在什么
情形下作功？什么情
形下不作功？
1,内力的功
x
z
y
FA
FB
A
B
rA
rB
ABAB rrr
??? ??
ABAB rdrdrd
??? ??
FA和 FB在 drA和 drB上所作之
元功为：
BBAAW rdFrdFd i
???? ????
)rdr( - dF BAB ??? ???
)r-rd(F ABB ??? ??
ABB rdF
?? ??
? 内力之功与理想约束力之功
ABB rFW
?? dd i ??
x
z
y
FA
FB
B
rA
rB
A
这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，
这两点之间的内力所作之元功不等于零。
? 内力之功与理想约束力之功
? 关于内力之功
对于一个刚体，内力功 恒等于 0
对于刚体系，内力功一般不等于 0
? 关于内力之功
内力不能改变质点系的动量和动量矩，
但是内力作功可能改变系统的能量；
2、理想约束的概念
由于对于质点系（刚体系），内力功一般不等于 0,
此时，可将作用力分为,主动力
约束反力
理想约束：
约束反力的功等于 0 的约束
研究质点系上作用力的功时，将力分为 外力 和 内力,
并不方便。
3、几种常见的理想约束
（ 1）光滑接触面约束
约束反力, 作用于接触点，沿二个接触面的
公法线方向（若为尖点和面的接触，则沿该
面的法线方向）。
rd?
NF
?
NF
?? rd?⊥
0???? rdFW N ???
光滑接触面约束为理想约束
（ 2） 柔索
特点：只能受拉，不可伸长。
Ard
?
A
B
BF
?
AF
?Brd?
αβ
A, B两点的位移在绳索
中心线上的投影必然相等。
?? c o sc o s BA drdr ?
BBAA rdFrdFW
???? ?????
0c o sc o s ??? ??? BBAA drFdrFW
柔索 约束为理想约束
（ 3）光滑铰支座和轴承
在不考虑其内部的摩擦力时，由于约束
反力与位移方向始终相互垂直，
约束反力不做功。
光滑铰支座和轴承
也是理想约束
销钉
销
钉
孔
RF
?
sd?
（ 4）连接两个刚体的铰链
两个刚体的连接铰链处的相
互约束反力总是大小相等、
方向相反。
OF
?
OF'
?
0rd
?
O
当铰链 O 有微小位移时，
0' ????? OOOO rdFrdFW ?????
连接两个刚体的铰链是理想约束
纯滚动时，滑动摩擦力 (约束力 )不作功
O
vO
C* F
FN
C* 为瞬时速度中心，在
这一瞬时 C*点的位移为零。
作用在 C*点的摩擦力 F 所作
元功为
??? CW rdF
???
0dvF ???? ? tC??
四、摩擦力的功
1,纯滚动时，滑动摩擦力 (约束力 )所做的功
2、动滑动摩擦力的功
F d sW ???
M 2
v?
NF
?
F? M
M 1
dsfFF d sW M
M N
M
M ??
???? 2
1
2
1
dsFf M
M N?
?? 2
1
摩擦阻力总是做 负功，并与
路程的途径有关。
特别地：若 FN 为常数 sFfW
N??
式中,S 为曲线 M 1 M 2 的长度。
五、动能定理的另一常用形式
对于具有理想约束的质点系，动能定理可表示为：
FWTT ?＝－ 12
动能定理, 对于具有理想约束的质点系,质点
系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的
所有主动力 所作之功的代数和。
对于具有摩擦力的约束，将摩擦力作为主动力
处理后，仍可将它们视为理想约束
例题 质量为 m,半径为 r的均质圆柱，纯滚动，
斜面倾角为 θ,摩擦系数为 f,均为已知。
求：圆柱下降 S 长度后，中
心的
CC av,
A
θ
CS
A
θ
CS
解：由动能定理
FWTT ?＝－ 12
01 ?T
22
2 2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
代入,221,mrJrv CC ?? ? 2
2 4
3
CmvT ?
外力功,?s inm g SW ?
代入动能定理得：
?s in34 gSv C ?
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
解得：
A
θ
CS
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
求 C点的加速度，
可利用（ a） 式
将（ a） 式的两边对 t 求导，得
?s in243 CCC m g vavm ?
解得,?s in
3
2 ga
C ?
利用质心运动定理可进一步求得圆柱上的约束反力。
例题 鼓轮半径为 R 1,质量为 m 1,质量分
布在轮缘上，圆柱 质量为 m 2, 半径为 R
2, 质量均匀分布,鼓轮在力偶矩 M带动下
绕固定轴 O转动，带动 圆柱纯滚动上升，
轨道的倾角为 θ。
求,圆柱中心 C经过
路程 s 时的速度和
加速度。
O
θ
M
g m2
g m1
C
ss i ngmMW ??? ?? 212
解：以鼓轮和圆柱为研究系统
O
θ
M
g m2
g m1
C
设 C点上升 s 后,鼓轮 的角速度为,
圆柱中心 C 的速度为
1?
Cv
由系统的受力图可知，系统主动力所做的功为：
ω1Cv?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
?
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为,01 ?T
2
2
2
2
2
112 2
1
2
1
2
1 ??
CC JvmJT ???
2111 RmJ ? 22221 RmJ C ?
1
1 R
v C??
2
2 R
v C??
? ?2122 324 mmvT C ??
上式中：
得到：
代入动能定理得：
? ? ss i ngmMmmv C ????? ?? 2212 0324
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为：
? ?2122 324 mmvT C ??
由动能定理得：
? ? ? ?ass i ngmMmmv C ???? ?? 2212 324
1R
s??代入,解得：
? ?
? ?211
12
32 mmR
ss i ngRmMv
C ?
?? ?
将（ a） 式的两边对 t 求导，得
? ?
? ?211
12
32
2
mmR
s i ngRmMa
C ?
?? ?
b
l－ b
链条总长度为 l,线质量密度为
，下垂部分长度为 b,链条从禁
止开始，在自重作用下运动。不
考虑链条与台面之间的摩擦。
求：链条完全离开台面时的速度
例题
例 题 6
b
l－ b
021 212 ?? mvTT －
链条的动能变化
链条重力所作之功
WdW G＝
)2)(( blbblg ???? ?
应用动能定理
GWTT ?12－
求得链条完全离开台面时的速度
l
gblv )( 22 ?＝
1、定义,单位时间内力所作之功
t
WP
d
d?
力的功率等于该力在其作用点速度方向
上的投影与速度的乘积。
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
一,功率
vFttWP ??????? vFd rdFdd ?
???
2、力的功率
vFP ??
?? ????? MM
tt
WP
d
d
d
d
作用在转动刚体上的力矩的功率等于
力矩与刚体转动角速度的乘积。
3、转矩的功率
4、功率的单位
功率的单位,SJW 11 ?
功率的量纲,32 ?TML
??? MP
二、功率方程
质点系动能定理的微分形式
等式两边同除以 dt
—— 功率方程
dWdWdWWT
i
i ???? dd ＝
输入 有用 无用
dt
dW
dt
dW
dt
dW
dt
T ???d 输入 有用 无用
得：
dt
dTPPP ???输入 有用 无用
系统的输入功率等于有用功率、无用功
率、以及系统动能变化率之和。
三、机械效率 η
一般定义：
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
%1 00???
有效功率
输入功率
本书中规定：
dt
dT?有效功率 = P 有用
例题 带式运输装置，胶带速度 v = 1 m/s,输送量
输送高度 h = 5m。 胶带转动
的机械效率, 机械传动的效率
m in/200 kgq m ?
6.01 ?? 4.02 ??
求：所需电动机的功率v
h
解：输送机的总效率为
24.021 ??? ???
hgqP m
60
?有用
2
602
1 vq
dt
dT m?
v
h
WhgqP m 1 6 3 3560 8.92 0 0 060 ?????有用
WvqdtdT m 7.161602000216021 22 ???
24.021 ??? ???
由功率效率方程：
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
?
dt
dT
P
P
?
?
有用
输入
解得,WP 6 8 7 5
24.0
7.163.1 6 3 3 ???输入
车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。 传动零件之间
的摩擦损耗功率为输入功率的 30％ 。工件的直径 d＝
100 mm。
求：转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切
削力。
例题
解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化
0dd ＝tT 无用输入有用 －＝ PPP
kW45,＝输入P kW62130,% ??输入无用 ＝ PP
其中
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP ????? vF＝
有用
有用PdnF π
60?
当 n = 42 r/min 时
kN1917783420,1π 60,,?????F
当 n = 112 r/min 时
kN4567832110,1π 60,,?????F
§ 13-5 势力场、势能,机械能守恒定理
1、力场
物体在空间任一点上都受到一个大小和方向都由
点的位置所确定的力的作用，该空间称为力场。
一、势力场
2、势力场
? ?rFF ??? ?
物体在力场中运动时，所受力场作用力的功，
与物体运动轨迹无关,仅取决于其起始位置和最
终位置。
重力场、弹性力场，都是势力场
3、有势力 物体在势力场中所受的力
二、势能
1、定义,势力场中，从点 M运动到任一点 M 0,有势力
所做的功，称为点 M 相对于点 M 0 的势能。
? ??? ???? 00 MM zyxMM dzFdyFdxFrdFV ??
点 M 0 — 零势能点，可任意选取。
2、重力场的势能
x
z
yO
M
M0
z 0
z
在重力场中，一般选地面作
为零势能点
? ? mg hzzmgV ??? 0
3、弹性力场的势能
由弹性力的功的计算公式,? ?2
2
2
112 2 ?? ??
kW
若取弹簧的自然位置点作为零势能点，
弹性力场的势能为,? ?
2
0
2
2 ?? ??
kV
2
2 ?
kV ?
四、质点系的势能
质点系从 原始位置 到其 零势能位置 的运动过程中,
所有有势力的功的 代数和 。
五、质点系势力场中运动时，有势力所做的功
结论,质点系势力场中运动时，有势力所做的
功等于质点系在运动过程中起始位置和
终了位置的势能之差。
2112 VVW ??
五,机械能守恒定理
保守系统 —— 仅在有势力作用下的系统。
机械能 —— 系统所具有的动能与势能的总和。
机械能守恒 —— 系统仅在有势力作用时，其机械能
保持恒定。
或写为：
证明：由动能定理
1212 WTT ??
保守系统中仅有有势力，从而只有有势力做功
有势力可用势能来表示
2112 VVW ??
得到：
2112 VVTT ?? ＝
定理得证。
＝＝＋ EVT 常数
2211 VTVT ＋＝＋
非 保守系统 —— 有非有势力作用，机械能
不守恒的系统。
例如，质点系上有摩擦阻力作用时，摩擦力做
负功，质点系上的机械能将减少。
有摩擦阻力作用的系统 —— 非 保守系统 。
非 保守系统：机械能不守恒
但 总能量仍保持守恒
? 力的功
? 动能定理
? 功率与功率方程
? 质点和 质点系的动能
? 机械能守恒
§ 13-1 力的功
一、常力在直线路程上的功
M 1 M 2s
F?
θ
sFsFW ?c o s??? ??
常力在直线路程上的功等
于力在路程方向上的投影
与路程的乘积。
功的单位,mNJ ?? 11功的量纲,22 ?TML
功,代数量 0,90 0 ?? W?
0,90 0 ?? W?
二、变力在曲线路程上的功
元功：
dsFrdFW ?? c o s??? ??
F?
rd?M M’
M1
M2θ 力在全路程上所做的功
dsFrdFWW M
M
S ?? c o s2
10 ???
???? ?
?
注意到：
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
???
???
? ?? ??? 2
1
M
M zyx
dzFdyFdxFW
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
三、几种常见力的功
1、重力的功
质点 M 的重力 mg 的投影值为：
mgF,F,F zyx ???? 00
∴ 重力从 M1 → M 2 时所做的功
为
? ? ?? ????? 2
1
2
1
z
z
M
M zyx m g d zdzFdyFdxFW
? ? m g hzzmg ??? 21
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
对于质点系（或刚体）
质点 i 的重力 m i g 的功为：
? ?21 iiii zzgmW ??
质点系的全部重力所做的功为：
? ?21 iiii zzgmWW ??? ? ?
由质心坐标公式有：
iiC zmmz ??
得,? ?
21 CC zzmgW ??
质点系的重力所做的功为,质点系总重力与质心
下降高度的乘积。
2、弹性力的功
弹簧的自然长度为,
刚度系数为 k。 0lM
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
从 M1 到 M2 弹簧的
弹性力的功为：
?? ???? 2121 ?? ?? dkrdFW MM ??
弹簧的弹性力为：
? ? ?kllkF ????? 0
? ?2221
2
?? ?? k结论：弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
2、弹性力的功
M
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
当 时，
21 ?? ?
（起始伸长大于最后伸长）
弹性力做正功
当 时，
21 ?? ?
（起始伸长小于最后伸长）
弹性力做负功
y
x
z
F?
r?
R A ?
F?
3、定轴转动刚体上作用力的功
刚体绕 z 轴转动，力 的元功为：F?
rdFW ?? ??? ??? RdFdsF ????
注意到,? ?FMRF
z
??
?
得到,?? dMW
Z?
从 到,力的功1? 2?
??
??
? 2
1
12 dMW Z
特别地，若 为常数，ZM
? ? ??? ???? ZZ MMW 1212
平面运动 = 随基点的平动 + 绕基点的转动
在动力学中，应取 质心 为基点
平面运动 = 随 质心 的平动 + 绕 质心 的转动
4、刚体作平面运动
结论,作用在平面运动刚体上力系的元功为：
???? CCR MrFW ??? ??
RF
? 力系的主矢
CM
力系对质心的主矩
Cr
?? 质心的位移 ?? 绕质心的转角
CCrd?
iF
?iCrd?
?d
iM
证明,取质心为基点，当刚体有微小位移时，力
的作用点 M i 的位移为,iF
?
iCCi rdrdrd
??? ??
力 的元功为：
iF
?
iCiCiii rdFrFrdFW
?????? ?????? ??
由于
? ? ? ? ??? dFMdCMFrdF iCiiiiCi ??? ???? c o s
?dCMrd iiC ???
力系全部力所做的功为
? ???? ???? ???? dFMrFWW iCCii ???
得到,????
CCR MrFW ??? ?
?
?
刚体作平面运动时作用力所作的功等于：
作用力 主矢在质心位移 上所作的功与对质心
的 主矩在绕质心转动 中所作的功之和。
结论：
作用在平面运动刚体上力系的 元功 为：
???? CCR MrFW ??? ??
??? ???? 2121 CC CCCC R dMrdFWW ?? ??
功 为：
例题
A
θ
C
T
半径为 r 的圆盘在水平力 T 作用下沿
斜面纯滚动上升，
写出水平力 T 的元功
rd?
当轮心 C 有微小位移 时，rd?
解：圆盘作平面运动
???? CCR MrFW ??? ??
r
drTrTdr ?? ?c o s
T d rT d r ?? ?cos
? ?1c o s ?? ?T d r
§ 13-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
2
2
1 mvT ?
??
i
ii vmT
2
2
1
二、质点系的动能
定义：
量纲,22 ?TLM
单位,J（ 焦耳）
三、刚体的动能
1、平移刚体的动能
平移刚体的动能等于把刚体的质量集中于质心时
质心的动能
证明,??
i
ii vmT
2
2
1
? ??? ii mv 221
Ci vv ?
由于刚体
作平移
? ? mm i以及
得到：
2
2
1
CmvT ?
2
2
1
CmvT ?
代入：
定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的
转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。
3,定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ＝
证明：
??
i
ii vmT
2
2
1 ? ? 2
2
1 ?
ii rm??
刚体绕 Z 轴作定轴转动，转动角速度为 ω
得到,2
2
1 ?
ZJT ?
? ??? 2221 ii rm?
注意到,?? 2iiZ rmJ
y
x
z
iivm
?
3,平面运动刚体的动能
平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平
移的动能与相对于质心转动动能之和。
平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动
2
2
1 ?
PJT ?
C
P
ω
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动∵
2
2
1 ?
PJT ?
∴
由转动惯量的平行移轴公式
2dmJJ Cz ??
得到 ? ? 22
2
1 ?mdJT
C ??
? ? 22 2121 ?? CJdm ??
C
P
ω
Cv
?
d
∵
Cvd ??
得到,22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
例题 已知：半径为 R, 质量为 m 的均质圆盘，
在地面上作纯滚动，中心的速度为
Cv
求：该物体的动能
C Cv
解：圆盘作平面运动
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
2
2
1 mRJ
C＝ R
vC??代入：
得到：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
22
2
1
2
1
2
1
R
v
mRmvT CC＝
2
4
3
Cmv＝
例题
求：该物体的动能
已知均质杆长 l, 质量为
m, B端的速度为 v 。
v
B
A
φ
图示位置,030??
P
Av?
解,AB 杆作平面运动，速度瞬心在 P点
AB?C
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?＝
l
v
l
v
PB
v
AB
2
2
???? ??
vll vPCv ABC ???? 22?
2
22 2
12
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
??
l
vlmvmT ＝
v
B
A
φ
2
3
2 vm?
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
已知滑块 A的质量为 m1,质点 B 的
质量为 m2,。 AB 杆的长度为 l, 不计质量，
可以绕 A点转动，滑块的速度为 vA 。
求：系统的动能
例 题
例 题 1
ve
解,1、运动分析与速度分析
滑块作直线运动，速度
为 vA；
质点 B 作平面运动。以 A
为基点，其牵连速度与相
对速度分别为
xvv A ???e
?? ?llv AB ??r
?? c o sr ?lv x ??
?? s inr ?lv y ??
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
vr
?? c o s B ?? lxvvv rxexx ????
?? s in B ?lvvv ryeyy ???
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1
AvmT ?
2
12
1 xm ??
质点 B 的动能
2
22 2
1
BvmT ?
? ?222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxm ???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
2
2
2
22 2
1
2
1
ByBx vmvmT ??
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1 xmT ??
质点 B 的动能
? ?2222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxmT ???
系统 的总动能
22
22
2
21
21
c o s)(
2
1 ??? lmxlmxmm
TTT
????
??
???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
§ 13-3 动能定理
一、质点的动能定理
质点动能的微分等于作用在
质点上力的元功
Wmv ??)21d( 2微分形式
质点从某一位置运动到另一位置，其动能
改变量等于运动过程中作用在质点上的力所作之
功。
21
2
1
2
2 2
1
2
1
－－ Wmvmv ?
积分形式
定理的证明：
由牛顿第二定律,Fam ?? ? F
dt
vdm ?? ?
rdFrddt vdm ?
???
??? rdFvddt rdm ?
???
???
rdFvdvm ???? ??? rdFvvmd ?
???
???
?
??
?
? ?
2
1
Wmv ??)21d( 2动能定理微分形式
积分上式
21
2
1
2
2 2
1
2
1
－－ Wmvmv ?
动能定理积分形式
? 对于有 n个质点的质点系，将 n个方程相加
?? ??
?
?
?
?
?
i
iii Wvm ?)2
1(d 2
?? ??
i
ii
i
iW rdF
???
质点系动能定理 微分形式,质点系动能的微分等于
作用在质点系上所有力的元功之和
二、质点系的动能定理
对于第 i 个 质点：质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功
iii Wvm ??)2
1d( 2
得到,式中：
??
i
iW?dT
所有有功力 —— 既包括外力，也包括内力；
既包括主动力，也可能
包括约束力
质点系动能定理 积分形式,质点系动能改变量等于运
动过程中作用在质点系上的 所有有功力 所作之功的代数
和
??
i
iW?dT
将上式积分，得：
由质点系动能定理 微分形式
iWTT ?＝－ 12
三,内力的功与理想约束的概念
x
z
y
FA
FB
A
B
系统内力 FA＝－ FB
这一对内力在什么
情形下作功？什么情
形下不作功？
1,内力的功
x
z
y
FA
FB
A
B
rA
rB
ABAB rrr
??? ??
ABAB rdrdrd
??? ??
FA和 FB在 drA和 drB上所作之
元功为：
BBAAW rdFrdFd i
???? ????
)rdr( - dF BAB ??? ???
)r-rd(F ABB ??? ??
ABB rdF
?? ??
? 内力之功与理想约束力之功
ABB rFW
?? dd i ??
x
z
y
FA
FB
B
rA
rB
A
这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，
这两点之间的内力所作之元功不等于零。
? 内力之功与理想约束力之功
? 关于内力之功
对于一个刚体，内力功 恒等于 0
对于刚体系，内力功一般不等于 0
? 关于内力之功
内力不能改变质点系的动量和动量矩，
但是内力作功可能改变系统的能量；
2、理想约束的概念
由于对于质点系（刚体系），内力功一般不等于 0,
此时，可将作用力分为,主动力
约束反力
理想约束：
约束反力的功等于 0 的约束
研究质点系上作用力的功时，将力分为 外力 和 内力,
并不方便。
3、几种常见的理想约束
（ 1）光滑接触面约束
约束反力, 作用于接触点，沿二个接触面的
公法线方向（若为尖点和面的接触，则沿该
面的法线方向）。
rd?
NF
?
NF
?? rd?⊥
0???? rdFW N ???
光滑接触面约束为理想约束
（ 2） 柔索
特点：只能受拉，不可伸长。
Ard
?
A
B
BF
?
AF
?Brd?
αβ
A, B两点的位移在绳索
中心线上的投影必然相等。
?? c o sc o s BA drdr ?
BBAA rdFrdFW
???? ?????
0c o sc o s ??? ??? BBAA drFdrFW
柔索 约束为理想约束
（ 3）光滑铰支座和轴承
在不考虑其内部的摩擦力时，由于约束
反力与位移方向始终相互垂直，
约束反力不做功。
光滑铰支座和轴承
也是理想约束
销钉
销
钉
孔
RF
?
sd?
（ 4）连接两个刚体的铰链
两个刚体的连接铰链处的相
互约束反力总是大小相等、
方向相反。
OF
?
OF'
?
0rd
?
O
当铰链 O 有微小位移时，
0' ????? OOOO rdFrdFW ?????
连接两个刚体的铰链是理想约束
纯滚动时，滑动摩擦力 (约束力 )不作功
O
vO
C* F
FN
C* 为瞬时速度中心，在
这一瞬时 C*点的位移为零。
作用在 C*点的摩擦力 F 所作
元功为
??? CW rdF
???
0dvF ???? ? tC??
四、摩擦力的功
1,纯滚动时，滑动摩擦力 (约束力 )所做的功
2、动滑动摩擦力的功
F d sW ???
M 2
v?
NF
?
F? M
M 1
dsfFF d sW M
M N
M
M ??
???? 2
1
2
1
dsFf M
M N?
?? 2
1
摩擦阻力总是做 负功，并与
路程的途径有关。
特别地：若 FN 为常数 sFfW
N??
式中,S 为曲线 M 1 M 2 的长度。
五、动能定理的另一常用形式
对于具有理想约束的质点系，动能定理可表示为：
FWTT ?＝－ 12
动能定理, 对于具有理想约束的质点系,质点
系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的
所有主动力 所作之功的代数和。
对于具有摩擦力的约束，将摩擦力作为主动力
处理后，仍可将它们视为理想约束
例题 质量为 m,半径为 r的均质圆柱，纯滚动，
斜面倾角为 θ,摩擦系数为 f,均为已知。
求：圆柱下降 S 长度后，中
心的
CC av,
A
θ
CS
A
θ
CS
解：由动能定理
FWTT ?＝－ 12
01 ?T
22
2 2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
代入,221,mrJrv CC ?? ? 2
2 4
3
CmvT ?
外力功,?s inm g SW ?
代入动能定理得：
?s in34 gSv C ?
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
解得：
A
θ
CS
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
求 C点的加速度，
可利用（ a） 式
将（ a） 式的两边对 t 求导，得
?s in243 CCC m g vavm ?
解得,?s in
3
2 ga
C ?
利用质心运动定理可进一步求得圆柱上的约束反力。
例题 鼓轮半径为 R 1,质量为 m 1,质量分
布在轮缘上，圆柱 质量为 m 2, 半径为 R
2, 质量均匀分布,鼓轮在力偶矩 M带动下
绕固定轴 O转动，带动 圆柱纯滚动上升，
轨道的倾角为 θ。
求,圆柱中心 C经过
路程 s 时的速度和
加速度。
O
θ
M
g m2
g m1
C
ss i ngmMW ??? ?? 212
解：以鼓轮和圆柱为研究系统
O
θ
M
g m2
g m1
C
设 C点上升 s 后,鼓轮 的角速度为,
圆柱中心 C 的速度为
1?
Cv
由系统的受力图可知，系统主动力所做的功为：
ω1Cv?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
?
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为,01 ?T
2
2
2
2
2
112 2
1
2
1
2
1 ??
CC JvmJT ???
2111 RmJ ? 22221 RmJ C ?
1
1 R
v C??
2
2 R
v C??
? ?2122 324 mmvT C ??
上式中：
得到：
代入动能定理得：
? ? ss i ngmMmmv C ????? ?? 2212 0324
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为：
? ?2122 324 mmvT C ??
由动能定理得：
? ? ? ?ass i ngmMmmv C ???? ?? 2212 324
1R
s??代入,解得：
? ?
? ?211
12
32 mmR
ss i ngRmMv
C ?
?? ?
将（ a） 式的两边对 t 求导，得
? ?
? ?211
12
32
2
mmR
s i ngRmMa
C ?
?? ?
b
l－ b
链条总长度为 l,线质量密度为
，下垂部分长度为 b,链条从禁
止开始，在自重作用下运动。不
考虑链条与台面之间的摩擦。
求：链条完全离开台面时的速度
例题
例 题 6
b
l－ b
021 212 ?? mvTT －
链条的动能变化
链条重力所作之功
WdW G＝
)2)(( blbblg ???? ?
应用动能定理
GWTT ?12－
求得链条完全离开台面时的速度
l
gblv )( 22 ?＝
1、定义,单位时间内力所作之功
t
WP
d
d?
力的功率等于该力在其作用点速度方向
上的投影与速度的乘积。
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
一,功率
vFttWP ??????? vFd rdFdd ?
???
2、力的功率
vFP ??
?? ????? MM
tt
WP
d
d
d
d
作用在转动刚体上的力矩的功率等于
力矩与刚体转动角速度的乘积。
3、转矩的功率
4、功率的单位
功率的单位,SJW 11 ?
功率的量纲,32 ?TML
??? MP
二、功率方程
质点系动能定理的微分形式
等式两边同除以 dt
—— 功率方程
dWdWdWWT
i
i ???? dd ＝
输入 有用 无用
dt
dW
dt
dW
dt
dW
dt
T ???d 输入 有用 无用
得：
dt
dTPPP ???输入 有用 无用
系统的输入功率等于有用功率、无用功
率、以及系统动能变化率之和。
三、机械效率 η
一般定义：
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
%1 00???
有效功率
输入功率
本书中规定：
dt
dT?有效功率 = P 有用
例题 带式运输装置，胶带速度 v = 1 m/s,输送量
输送高度 h = 5m。 胶带转动
的机械效率, 机械传动的效率
m in/200 kgq m ?
6.01 ?? 4.02 ??
求：所需电动机的功率v
h
解：输送机的总效率为
24.021 ??? ???
hgqP m
60
?有用
2
602
1 vq
dt
dT m?
v
h
WhgqP m 1 6 3 3560 8.92 0 0 060 ?????有用
WvqdtdT m 7.161602000216021 22 ???
24.021 ??? ???
由功率效率方程：
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
?
dt
dT
P
P
?
?
有用
输入
解得,WP 6 8 7 5
24.0
7.163.1 6 3 3 ???输入
车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。 传动零件之间
的摩擦损耗功率为输入功率的 30％ 。工件的直径 d＝
100 mm。
求：转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切
削力。
例题
解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化
0dd ＝tT 无用输入有用 －＝ PPP
kW45,＝输入P kW62130,% ??输入无用 ＝ PP
其中
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP ????? vF＝
有用
有用PdnF π
60?
当 n = 42 r/min 时
kN1917783420,1π 60,,?????F
当 n = 112 r/min 时
kN4567832110,1π 60,,?????F
§ 13-5 势力场、势能,机械能守恒定理
1、力场
物体在空间任一点上都受到一个大小和方向都由
点的位置所确定的力的作用，该空间称为力场。
一、势力场
2、势力场
? ?rFF ??? ?
物体在力场中运动时，所受力场作用力的功，
与物体运动轨迹无关,仅取决于其起始位置和最
终位置。
重力场、弹性力场，都是势力场
3、有势力 物体在势力场中所受的力
二、势能
1、定义,势力场中，从点 M运动到任一点 M 0,有势力
所做的功，称为点 M 相对于点 M 0 的势能。
? ??? ???? 00 MM zyxMM dzFdyFdxFrdFV ??
点 M 0 — 零势能点，可任意选取。
2、重力场的势能
x
z
yO
M
M0
z 0
z
在重力场中，一般选地面作
为零势能点
? ? mg hzzmgV ??? 0
3、弹性力场的势能
由弹性力的功的计算公式,? ?2
2
2
112 2 ?? ??
kW
若取弹簧的自然位置点作为零势能点，
弹性力场的势能为,? ?
2
0
2
2 ?? ??
kV
2
2 ?
kV ?
四、质点系的势能
质点系从 原始位置 到其 零势能位置 的运动过程中,
所有有势力的功的 代数和 。
五、质点系势力场中运动时，有势力所做的功
结论,质点系势力场中运动时，有势力所做的
功等于质点系在运动过程中起始位置和
终了位置的势能之差。
2112 VVW ??
五,机械能守恒定理
保守系统 —— 仅在有势力作用下的系统。
机械能 —— 系统所具有的动能与势能的总和。
机械能守恒 —— 系统仅在有势力作用时，其机械能
保持恒定。
或写为：
证明：由动能定理
1212 WTT ??
保守系统中仅有有势力，从而只有有势力做功
有势力可用势能来表示
2112 VVW ??
得到：
2112 VVTT ?? ＝
定理得证。
＝＝＋ EVT 常数
2211 VTVT ＋＝＋
非 保守系统 —— 有非有势力作用，机械能
不守恒的系统。
例如，质点系上有摩擦阻力作用时，摩擦力做
负功，质点系上的机械能将减少。
有摩擦阻力作用的系统 —— 非 保守系统 。
非 保守系统：机械能不守恒
但 总能量仍保持守恒
