第十三章 动能定理
? 力的功
? 动能定理
? 功率与功率方程
? 质点和 质点系的动能
? 机械能守恒
§ 13-1 力的功
一、常力在直线路程上的功
M 1 M 2s
F?
θ
sFsFW ?c o s??? ??
常力在直线路程上的功等
于力在路程方向上的投影
与路程的乘积。
功的单位,mNJ ?? 11功的量纲,22 ?TML
功,代数量 0,90 0 ?? W?
0,90 0 ?? W?
二、变力在曲线路程上的功
元功:
dsFrdFW ?? c o s??? ??
F?
rd?M M’
M1
M2θ 力在全路程上所做的功
dsFrdFWW M
M
S ?? c o s2
10 ???
???? ?
?
注意到:
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
???
???
? ?? ??? 2
1
M
M zyx
dzFdyFdxFW
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
三、几种常见力的功
1、重力的功
质点 M 的重力 mg 的投影值为:
mgF,F,F zyx ???? 00
∴ 重力从 M1 → M 2 时所做的功

? ? ?? ????? 2
1
2
1
z
z
M
M zyx m g d zdzFdyFdxFW
? ? m g hzzmg ??? 21
x
z
yO
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
对于质点系(或刚体)
质点 i 的重力 m i g 的功为:
? ?21 iiii zzgmW ??
质点系的全部重力所做的功为:
? ?21 iiii zzgmWW ??? ? ?
由质心坐标公式有:
iiC zmmz ??
得,? ?
21 CC zzmgW ??
质点系的重力所做的功为,质点系总重力与质心
下降高度的乘积。
2、弹性力的功
弹簧的自然长度为,
刚度系数为 k。 0lM
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
从 M1 到 M2 弹簧的
弹性力的功为:
?? ???? 2121 ?? ?? dkrdFW MM ??
弹簧的弹性力为:
? ? ?kllkF ????? 0
? ?2221
2
?? ?? k结论:弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
2、弹性力的功
M
x
δ 1 δ
δ 2
0l
M1 M2
弹性力的功为
? ?222112
2
?? ?? kW
当 时,
21 ?? ?
(起始伸长大于最后伸长)
弹性力做正功
当 时,
21 ?? ?
(起始伸长小于最后伸长)
弹性力做负功
y
x
z
F?
r?
R A ?
F?
3、定轴转动刚体上作用力的功
刚体绕 z 轴转动,力 的元功为:F?
rdFW ?? ??? ??? RdFdsF ????
注意到,? ?FMRF
z
??
?
得到,?? dMW
Z?
从 到,力的功1? 2?
??
??
? 2
1
12 dMW Z
特别地,若 为常数,ZM
? ? ??? ???? ZZ MMW 1212
平面运动 = 随基点的平动 + 绕基点的转动
在动力学中,应取 质心 为基点
平面运动 = 随 质心 的平动 + 绕 质心 的转动
4、刚体作平面运动
结论,作用在平面运动刚体上力系的元功为:
???? CCR MrFW ??? ??
RF
? 力系的主矢
CM
力系对质心的主矩
Cr
?? 质心的位移 ?? 绕质心的转角
CCrd?
iF
?iCrd?
?d
iM
证明,取质心为基点,当刚体有微小位移时,力
的作用点 M i 的位移为,iF
?
iCCi rdrdrd
??? ??
力 的元功为:
iF
?
iCiCiii rdFrFrdFW
?????? ?????? ??
由于
? ? ? ? ??? dFMdCMFrdF iCiiiiCi ??? ???? c o s
?dCMrd iiC ???
力系全部力所做的功为
? ???? ???? ???? dFMrFWW iCCii ???
得到,????
CCR MrFW ??? ?
?
?
刚体作平面运动时作用力所作的功等于:
作用力 主矢在质心位移 上所作的功与对质心
的 主矩在绕质心转动 中所作的功之和。
结论:
作用在平面运动刚体上力系的 元功 为:
???? CCR MrFW ??? ??
??? ???? 2121 CC CCCC R dMrdFWW ?? ??
功 为:
例题
A
θ
C
T
半径为 r 的圆盘在水平力 T 作用下沿
斜面纯滚动上升,
写出水平力 T 的元功
rd?
当轮心 C 有微小位移 时,rd?
解:圆盘作平面运动
???? CCR MrFW ??? ??
r
drTrTdr ?? ?c o s
T d rT d r ?? ?cos
? ?1c o s ?? ?T d r
§ 13-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
2
2
1 mvT ?
??
i
ii vmT
2
2
1
二、质点系的动能
定义:
量纲,22 ?TLM
单位,J( 焦耳)
三、刚体的动能
1、平移刚体的动能
平移刚体的动能等于把刚体的质量集中于质心时
质心的动能
证明,??
i
ii vmT
2
2
1
? ??? ii mv 221
Ci vv ?
由于刚体
作平移
? ? mm i以及
得到:
2
2
1
CmvT ?
2
2
1
CmvT ?
代入:
定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的
转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。
3,定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT =
证明:
??
i
ii vmT
2
2
1 ? ? 2
2
1 ?
ii rm??
刚体绕 Z 轴作定轴转动,转动角速度为 ω
得到,2
2
1 ?
ZJT ?
? ??? 2221 ii rm?
注意到,?? 2iiZ rmJ
y
x
z
iivm
?
3,平面运动刚体的动能
平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平
移的动能与相对于质心转动动能之和。
平面运动 = 随 质心 的平移 + 绕 质心 的转动
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动
2
2
1 ?
PJT ?
C
P
ω
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?=
平面运动 = 绕 速度瞬心 P 的转动∵
2
2
1 ?
PJT ?

由转动惯量的平行移轴公式
2dmJJ Cz ??
得到 ? ? 22
2
1 ?mdJT
C ??
? ? 22 2121 ?? CJdm ??
C
P
ω
Cv
?
d

Cvd ??
得到,22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?=
例题 已知:半径为 R, 质量为 m 的均质圆盘,
在地面上作纯滚动,中心的速度为
Cv
求:该物体的动能
C Cv
解:圆盘作平面运动
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?=
2
2
1 mRJ
C= R
vC??代入:
得到:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
22
2
1
2
1
2
1
R
v
mRmvT CC=
2
4
3
Cmv=
例题
求:该物体的动能
已知均质杆长 l, 质量为
m, B端的速度为 v 。
v
B
A
φ
图示位置,030??
P
Av?
解,AB 杆作平面运动,速度瞬心在 P点
AB?C
Cv
?
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ?=
l
v
l
v
PB
v
AB
2
2
???? ??
vll vPCv ABC ???? 22?
2
22 2
12
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
??
l
vlmvmT =
v
B
A
φ
2
3
2 vm?
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
已知滑块 A的质量为 m1,质点 B 的
质量为 m2,。 AB 杆的长度为 l, 不计质量,
可以绕 A点转动,滑块的速度为 vA 。
求:系统的动能
例 题
例 题 1
ve
解,1、运动分析与速度分析
滑块作直线运动,速度
为 vA;
质点 B 作平面运动。以 A
为基点,其牵连速度与相
对速度分别为
xvv A ???e
?? ?llv AB ??r
?? c o sr ?lv x ??
?? s inr ?lv y ??
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
vr
?? c o s B ?? lxvvv rxexx ????
?? s in B ?lvvv ryeyy ???
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1
AvmT ?
2
12
1 xm ??
质点 B 的动能
2
22 2
1
BvmT ?
? ?222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxm ???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
2
2
2
22 2
1
2
1
ByBx vmvmT ??
例 题 1
解,3、计算系统动能
滑块的动能
2
11 2
1 xmT ??
质点 B 的动能
? ?2222 )s i n()c o s(21 ???? ??? llxmT ???
系统 的总动能
22
22
2
21
21
c o s)(
2
1 ??? lmxlmxmm
TTT
????
??
???
A
m1 x′
y′
θ l
O x
m2 B
vA
§ 13-3 动能定理
一、质点的动能定理
质点动能的微分等于作用在
质点上力的元功
Wmv ??)21d( 2微分形式
质点从某一位置运动到另一位置,其动能
改变量等于运动过程中作用在质点上的力所作之
功。
21
2
1
2
2 2
1
2
1
-- Wmvmv ?
积分形式
定理的证明:
由牛顿第二定律,Fam ?? ? F
dt
vdm ?? ?
rdFrddt vdm ?
???
??? rdFvddt rdm ?
???
???
rdFvdvm ???? ??? rdFvvmd ?
???
???
?
??
?
? ?
2
1
Wmv ??)21d( 2动能定理微分形式
积分上式
21
2
1
2
2 2
1
2
1
-- Wmvmv ?
动能定理积分形式
? 对于有 n个质点的质点系,将 n个方程相加
?? ??
?
?
?
?
?
i
iii Wvm ?)2
1(d 2
?? ??
i
ii
i
iW rdF
???
质点系动能定理 微分形式,质点系动能的微分等于
作用在质点系上所有力的元功之和
二、质点系的动能定理
对于第 i 个 质点:质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功
iii Wvm ??)2
1d( 2
得到,式中:
??
i
iW?dT
所有有功力 —— 既包括外力,也包括内力;
既包括主动力,也可能
包括约束力
质点系动能定理 积分形式,质点系动能改变量等于运
动过程中作用在质点系上的 所有有功力 所作之功的代数

??
i
iW?dT
将上式积分,得:
由质点系动能定理 微分形式
iWTT ?=- 12
三,内力的功与理想约束的概念
x
z
y
FA
FB
A
B
系统内力 FA=- FB
这一对内力在什么
情形下作功?什么情
形下不作功?
1,内力的功
x
z
y
FA
FB
A
B
rA
rB
ABAB rrr
??? ??
ABAB rdrdrd
??? ??
FA和 FB在 drA和 drB上所作之
元功为:
BBAAW rdFrdFd i
???? ????
)rdr( - dF BAB ??? ???
)r-rd(F ABB ??? ??
ABB rdF
?? ??
? 内力之功与理想约束力之功
ABB rFW
?? dd i ??
x
z
y
FA
FB
B
rA
rB
A
这一结果表明:当两点之间的距离发生变化时,
这两点之间的内力所作之元功不等于零。
? 内力之功与理想约束力之功
? 关于内力之功
对于一个刚体,内力功 恒等于 0
对于刚体系,内力功一般不等于 0
? 关于内力之功
内力不能改变质点系的动量和动量矩,
但是内力作功可能改变系统的能量;
2、理想约束的概念
由于对于质点系(刚体系),内力功一般不等于 0,
此时,可将作用力分为,主动力
约束反力
理想约束:
约束反力的功等于 0 的约束
研究质点系上作用力的功时,将力分为 外力 和 内力,
并不方便。
3、几种常见的理想约束
( 1)光滑接触面约束
约束反力, 作用于接触点,沿二个接触面的
公法线方向(若为尖点和面的接触,则沿该
面的法线方向)。
rd?
NF
?
NF
?? rd?⊥
0???? rdFW N ???
光滑接触面约束为理想约束
( 2) 柔索
特点:只能受拉,不可伸长。
Ard
?
A
B
BF
?
AF
?Brd?
αβ
A, B两点的位移在绳索
中心线上的投影必然相等。
?? c o sc o s BA drdr ?
BBAA rdFrdFW
???? ?????
0c o sc o s ??? ??? BBAA drFdrFW
柔索 约束为理想约束
( 3)光滑铰支座和轴承
在不考虑其内部的摩擦力时,由于约束
反力与位移方向始终相互垂直,
约束反力不做功。
光滑铰支座和轴承
也是理想约束
销钉



RF
?
sd?
( 4)连接两个刚体的铰链
两个刚体的连接铰链处的相
互约束反力总是大小相等、
方向相反。
OF
?
OF'
?
0rd
?
O
当铰链 O 有微小位移时,
0' ????? OOOO rdFrdFW ?????
连接两个刚体的铰链是理想约束
纯滚动时,滑动摩擦力 (约束力 )不作功
O
vO
C* F
FN
C* 为瞬时速度中心,在
这一瞬时 C*点的位移为零。
作用在 C*点的摩擦力 F 所作
元功为
??? CW rdF
???
0dvF ???? ? tC??
四、摩擦力的功
1,纯滚动时,滑动摩擦力 (约束力 )所做的功
2、动滑动摩擦力的功
F d sW ???
M 2
v?
NF
?
F? M
M 1
dsfFF d sW M
M N
M
M ??
???? 2
1
2
1
dsFf M
M N?
?? 2
1
摩擦阻力总是做 负功,并与
路程的途径有关。
特别地:若 FN 为常数 sFfW
N??
式中,S 为曲线 M 1 M 2 的长度。
五、动能定理的另一常用形式
对于具有理想约束的质点系,动能定理可表示为:
FWTT ?=- 12
动能定理, 对于具有理想约束的质点系,质点
系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的
所有主动力 所作之功的代数和。
对于具有摩擦力的约束,将摩擦力作为主动力
处理后,仍可将它们视为理想约束
例题 质量为 m,半径为 r的均质圆柱,纯滚动,
斜面倾角为 θ,摩擦系数为 f,均为已知。
求:圆柱下降 S 长度后,中
心的
CC av,
A
θ
CS
A
θ
CS
解:由动能定理
FWTT ?=- 12
01 ?T
22
2 2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
代入,221,mrJrv CC ?? ? 2
2 4
3
CmvT ?
外力功,?s inm g SW ?
代入动能定理得:
?s in34 gSv C ?
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
解得:
A
θ
CS
? ?am g Smv C ?s in43 2 ?
求 C点的加速度,
可利用( a) 式
将( a) 式的两边对 t 求导,得
?s in243 CCC m g vavm ?
解得,?s in
3
2 ga
C ?
利用质心运动定理可进一步求得圆柱上的约束反力。
例题 鼓轮半径为 R 1,质量为 m 1,质量分
布在轮缘上,圆柱 质量为 m 2, 半径为 R
2, 质量均匀分布,鼓轮在力偶矩 M带动下
绕固定轴 O转动,带动 圆柱纯滚动上升,
轨道的倾角为 θ。
求,圆柱中心 C经过
路程 s 时的速度和
加速度。
O
θ
M
g m2
g m1
C
ss i ngmMW ??? ?? 212
解:以鼓轮和圆柱为研究系统
O
θ
M
g m2
g m1
C
设 C点上升 s 后,鼓轮 的角速度为,
圆柱中心 C 的速度为
1?
Cv
由系统的受力图可知,系统主动力所做的功为:
ω1Cv?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
?
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为,01 ?T
2
2
2
2
2
112 2
1
2
1
2
1 ??
CC JvmJT ???
2111 RmJ ? 22221 RmJ C ?
1
1 R
v C??
2
2 R
v C??
? ?2122 324 mmvT C ??
上式中:
得到:
代入动能定理得:
? ? ss i ngmMmmv C ????? ?? 2212 0324
O
θ
M
g m2
g m1
C
ω1Cv
?
sF
?
NF
?
OxF
?
OyF
? ss i ngmMW ??? ?? 212
系统的动能为:
? ?2122 324 mmvT C ??
由动能定理得:
? ? ? ?ass i ngmMmmv C ???? ?? 2212 324
1R
s??代入,解得:
? ?
? ?211
12
32 mmR
ss i ngRmMv
C ?
?? ?
将( a) 式的两边对 t 求导,得
? ?
? ?211
12
32
2
mmR
s i ngRmMa
C ?
?? ?
b
l- b
链条总长度为 l,线质量密度为
,下垂部分长度为 b,链条从禁
止开始,在自重作用下运动。不
考虑链条与台面之间的摩擦。
求:链条完全离开台面时的速度
例题
例 题 6
b
l- b
021 212 ?? mvTT -
链条的动能变化
链条重力所作之功
WdW G=
)2)(( blbblg ???? ?
应用动能定理
GWTT ?12-
求得链条完全离开台面时的速度
l
gblv )( 22 ?=
1、定义,单位时间内力所作之功
t
WP
d
d?
力的功率等于该力在其作用点速度方向
上的投影与速度的乘积。
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
一,功率
vFttWP ??????? vFd rdFdd ?
???
2、力的功率
vFP ??
?? ????? MM
tt
WP
d
d
d
d
作用在转动刚体上的力矩的功率等于
力矩与刚体转动角速度的乘积。
3、转矩的功率
4、功率的单位
功率的单位,SJW 11 ?
功率的量纲,32 ?TML
??? MP
二、功率方程
质点系动能定理的微分形式
等式两边同除以 dt
—— 功率方程
dWdWdWWT
i
i ???? dd =
输入 有用 无用
dt
dW
dt
dW
dt
dW
dt
T ???d 输入 有用 无用
得:
dt
dTPPP ???输入 有用 无用
系统的输入功率等于有用功率、无用功
率、以及系统动能变化率之和。
三、机械效率 η
一般定义:
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
%1 00???
有效功率
输入功率
本书中规定:
dt
dT?有效功率 = P 有用
例题 带式运输装置,胶带速度 v = 1 m/s,输送量
输送高度 h = 5m。 胶带转动
的机械效率, 机械传动的效率
m in/200 kgq m ?
6.01 ?? 4.02 ??
求:所需电动机的功率v
h
解:输送机的总效率为
24.021 ??? ???
hgqP m
60
?有用
2
602
1 vq
dt
dT m?
v
h
WhgqP m 1 6 3 3560 8.92 0 0 060 ?????有用
WvqdtdT m 7.161602000216021 22 ???
24.021 ??? ???
由功率效率方程:
%1 0 0?
?
?
P
dt
dT
P
?
有用
输入
?
dt
dT
P
P
?
?
有用
输入
解得,WP 6 8 7 5
24.0
7.163.1 6 3 3 ???输入
车床电动机的功率 P输入 = 5.4 kW 。 传动零件之间
的摩擦损耗功率为输入功率的 30% 。工件的直径 d=
100 mm。
求:转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切
削力。
例题
解:车床正常工作时,工件匀速旋转,动能无变化
0dd =tT 无用输入有用 -= PPP
kW45,=输入P kW62130,% ??输入无用 = PP
其中
kW783,?无用输入有用 -= PPP
kW783,?无用输入有用 -= PPP
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP ????? vF=
有用
有用PdnF π
60?
当 n = 42 r/min 时
kN1917783420,1π 60,,?????F
当 n = 112 r/min 时
kN4567832110,1π 60,,?????F
§ 13-5 势力场、势能,机械能守恒定理
1、力场
物体在空间任一点上都受到一个大小和方向都由
点的位置所确定的力的作用,该空间称为力场。
一、势力场
2、势力场
? ?rFF ??? ?
物体在力场中运动时,所受力场作用力的功,
与物体运动轨迹无关,仅取决于其起始位置和最
终位置。
重力场、弹性力场,都是势力场
3、有势力 物体在势力场中所受的力
二、势能
1、定义,势力场中,从点 M运动到任一点 M 0,有势力
所做的功,称为点 M 相对于点 M 0 的势能。
? ??? ???? 00 MM zyxMM dzFdyFdxFrdFV ??
点 M 0 — 零势能点,可任意选取。
2、重力场的势能
x
z
yO
M
M0
z 0
z
在重力场中,一般选地面作
为零势能点
? ? mg hzzmgV ??? 0
3、弹性力场的势能
由弹性力的功的计算公式,? ?2
2
2
112 2 ?? ??
kW
若取弹簧的自然位置点作为零势能点,
弹性力场的势能为,? ?
2
0
2
2 ?? ??
kV
2
2 ?
kV ?
四、质点系的势能
质点系从 原始位置 到其 零势能位置 的运动过程中,
所有有势力的功的 代数和 。
五、质点系势力场中运动时,有势力所做的功
结论,质点系势力场中运动时,有势力所做的
功等于质点系在运动过程中起始位置和
终了位置的势能之差。
2112 VVW ??
五,机械能守恒定理
保守系统 —— 仅在有势力作用下的系统。
机械能 —— 系统所具有的动能与势能的总和。
机械能守恒 —— 系统仅在有势力作用时,其机械能
保持恒定。
或写为:
证明:由动能定理
1212 WTT ??
保守系统中仅有有势力,从而只有有势力做功
有势力可用势能来表示
2112 VVW ??
得到:
2112 VVTT ?? =
定理得证。
==+ EVT 常数
2211 VTVT +=+
非 保守系统 —— 有非有势力作用,机械能
不守恒的系统。
例如,质点系上有摩擦阻力作用时,摩擦力做
负功,质点系上的机械能将减少。
有摩擦阻力作用的系统 —— 非 保守系统 。
非 保守系统:机械能不守恒
但 总能量仍保持守恒