方差分析的基本思想
方差分析的基本思想
一,问题的提出
二,方差分析的直观思想
三,间
MS
和 内MS 的数量表示
四,Ｆ检验
五,平方和分解公式
六,方差分析的实质
七,关于方差分析适用条件的说明
八,复习思考题
一、问题的提出
例 1 为了探索简便易行的发展大学生心血
管系统机能水平的方法, 在某年级各项身
体发育水平基本相同, 同年龄女生中抽取
36人随机分为三组, 用三种不同的方法进
行训练, 三个月后, 测得哈佛台阶指数如
表 1, 试分析三种不同的训练方法对女大
学生心血管系统的影响有无显著性差异 。
表 1
N (
1
?
2
,? ) N ),(
2
2
?? N (
2
3
,?? )
编号 1
A
2
A
3
A
１ 7 6, 5 3 4 3, 1 2 6 1, 3 1
２ 6 0, 0 5 4 2, 5 4 6 0, 0 0
┆ ┆ ┆ ┆
12 5 6, 2 4 4 2, 4 0 6 7, 2 6
x
6 0, 1 5 5 6, 1 9 6 9, 0 5
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 ),(
2
1
??N, ),(
2
2
??N,
),(
2
3
??N 。 三组数 据分 别为来 自三个 总体的 样本,问题 是
推断
21
??,和
3
? 之间有无显著差异。
由
321
,,xxx 不相等，不能直接得出
321
,,??? 不尽相等的结
论，原因是：造成
321
,,xxx 不相等可能有两个方面因 素：一
是
321
,,uuu 不等，二是
321
??? ??,但由于抽样误差，造成
321
,,xxx 之间有差异。现在的任务是通过样本推断
321
,,??? 之
间有无显著性差异。
二、方差分析的直观思想
１．如果
321
,,???
之间没有差异，则三个
样本之间的差异（以组间方差衡量）由
抽样误差带来，实质上由各组内个体之
间的差异造成，组内个体之间的差异的
大小，以组内方差来衡量。这时，组间
方差
间
ＭＳ
与组内方差
内
ＭＳ
相近
二、方差分析的直观思想
２．如果
321
,,??? 有差异，则组间差异不仅有
个 体 差 异 的 影 响 还 要 受 到 总 体 差 异 的 影
响, 这 时 组 间 方 差
间
MS 比 组 内 方 差
内
MS 大得
多, 据 此, 可 以 按 假 设 检 验 的 方 法 来 处 理
3210
,??? ??H 。 如果
组内方差
组间方差
不 是 太 大, 则 接 受
原 假 设 ； 若 比 值 很 大 则 否 定 原 假 设 。 具体
定 量 检 验 需 要 了 解 比 值 的 分 布 并 且 要 给 出
间
MS 和
内
MS
的计算表达式
三、
间
MS
和
内
MS
的数量表示
考虑一般情况
),(
2
1
??N
),(
2
2
??N
┄
),(
2
??
k
N
1 2 ┄ K
11
x
21
x
┄
1k
x
12
x
22
x
┄
2k
x
┆ ┆ ┄ ┆
11 n
x
22 n
x
┄
k n k
x
1
x
2
x
┄
k
x
? ?
? ? ?
?
k
i
n
i
ij
i
x
n
x
1 1
1
欲推断：
k
uuu ?
21
,
有无 显著异
间
间
间
n
SS
MS ?
内
内
内
＝
n
SS
MS
先考虑总离差平方和 SS 总
2
11
)( xxSS
ij
n
j
k
i
i
??
??
??
总
SS 总 由组间离差和组内离差构成
1,若各组内个体大小一致
则 SS 总 即为 SS 间
,
将各组内个体
ij
x
取成
i
x,
此时
SS 间 ＝ SS 总 ＝
2
1
2
)()( xxknxx
i
k
i
i
ji
???
???
?
2,若各组平均水平一致,
则 SS
总
即为 SS
内,
故用
iij
xx ?
代替
ij
x
此时
? ? ???
2
)(
iij
xxSSSS
内总
? ? ???????? knnnkn ii )1(,1 内间
? ??? 1inn 总
故 MS
1
)(
2
?
?
?
?
?
?
k
xxn
n
SS
ii
间
间
间
MS
内
=
?
? ?
?
?
?
? kn
xx
n
SS
iij
2
2
)(
内
间
四、Ｆ检验
0
H
,k21
??? ??
内
间
MS
MS
F ?
F ~ F
)kN,1k( ??
查表得
)(
内间
,nnF ??
? 的值
结论
五、平方和分解公式
由前面知 总
SS
2
）（＝ XX
ij
???
＝
间
SS
2
)( xxn
ii
??
2
）（＝
内 iij
xxSS ???
则有
内
间总
＋＝ SSSSSS
上述称为平方和分解公式（经简单推导就可得）
注意,MS 总 ＝ MS 间 + MS 内
？
六、方差分析的实质
按指定来源分解变异，
方差分析是分解变异
的一种技巧。
七、关于方差分析适用条件的说明
1,各总体均服从正态分布
2,各样本相互独立
3,各总体方差相等
其实以上并非方差分析的适用条
件，而是实际问题的条件。
复习思考题
1,方差分析的基本思想
2,方差分析的步骤
3,组内离差平方和，组间离差平方
和与总离差平方和各反映了什么？
4,方差分析的适用条件是什么？
方差分析的基本思想
一,问题的提出
二,方差分析的直观思想
三,间
MS
和 内MS 的数量表示
四,Ｆ检验
五,平方和分解公式
六,方差分析的实质
七,关于方差分析适用条件的说明
八,复习思考题
一、问题的提出
例 1 为了探索简便易行的发展大学生心血
管系统机能水平的方法, 在某年级各项身
体发育水平基本相同, 同年龄女生中抽取
36人随机分为三组, 用三种不同的方法进
行训练, 三个月后, 测得哈佛台阶指数如
表 1, 试分析三种不同的训练方法对女大
学生心血管系统的影响有无显著性差异 。
表 1
N (
1
?
2
,? ) N ),(
2
2
?? N (
2
3
,?? )
编号 1
A
2
A
3
A
１ 7 6, 5 3 4 3, 1 2 6 1, 3 1
２ 6 0, 0 5 4 2, 5 4 6 0, 0 0
┆ ┆ ┆ ┆
12 5 6, 2 4 4 2, 4 0 6 7, 2 6
x
6 0, 1 5 5 6, 1 9 6 9, 0 5
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 ),(
2
1
??N, ),(
2
2
??N,
),(
2
3
??N 。 三组数 据分 别为来 自三个 总体的 样本,问题 是
推断
21
??,和
3
? 之间有无显著差异。
由
321
,,xxx 不相等，不能直接得出
321
,,??? 不尽相等的结
论，原因是：造成
321
,,xxx 不相等可能有两个方面因 素：一
是
321
,,uuu 不等，二是
321
??? ??,但由于抽样误差，造成
321
,,xxx 之间有差异。现在的任务是通过样本推断
321
,,??? 之
间有无显著性差异。
二、方差分析的直观思想
１．如果
321
,,???
之间没有差异，则三个
样本之间的差异（以组间方差衡量）由
抽样误差带来，实质上由各组内个体之
间的差异造成，组内个体之间的差异的
大小，以组内方差来衡量。这时，组间
方差
间
ＭＳ
与组内方差
内
ＭＳ
相近
二、方差分析的直观思想
２．如果
321
,,??? 有差异，则组间差异不仅有
个 体 差 异 的 影 响 还 要 受 到 总 体 差 异 的 影
响, 这 时 组 间 方 差
间
MS 比 组 内 方 差
内
MS 大得
多, 据 此, 可 以 按 假 设 检 验 的 方 法 来 处 理
3210
,??? ??H 。 如果
组内方差
组间方差
不 是 太 大, 则 接 受
原 假 设 ； 若 比 值 很 大 则 否 定 原 假 设 。 具体
定 量 检 验 需 要 了 解 比 值 的 分 布 并 且 要 给 出
间
MS 和
内
MS
的计算表达式
三、
间
MS
和
内
MS
的数量表示
考虑一般情况
),(
2
1
??N
),(
2
2
??N
┄
),(
2
??
k
N
1 2 ┄ K
11
x
21
x
┄
1k
x
12
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┄
2k
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┆ ┆ ┄ ┆
11 n
x
22 n
x
┄
k n k
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1
x
2
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k
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? ?
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k
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i
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i
x
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x
1 1
1
欲推断：
k
uuu ?
21
,
有无 显著异
间
间
间
n
SS
MS ?
内
内
内
＝
n
SS
MS
先考虑总离差平方和 SS 总
2
11
)( xxSS
ij
n
j
k
i
i
??
??
??
总
SS 总 由组间离差和组内离差构成
1,若各组内个体大小一致
则 SS 总 即为 SS 间
,
将各组内个体
ij
x
取成
i
x,
此时
SS 间 ＝ SS 总 ＝
2
1
2
)()( xxknxx
i
k
i
i
ji
???
???
?
2,若各组平均水平一致,
则 SS
总
即为 SS
内,
故用
iij
xx ?
代替
ij
x
此时
? ? ???
2
)(
iij
xxSSSS
内总
? ? ???????? knnnkn ii )1(,1 内间
? ??? 1inn 总
故 MS
1
)(
2
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?
?
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xxn
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MS
内
=
?
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SS
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2
2
)(
内
间
四、Ｆ检验
0
H
,k21
??? ??
内
间
MS
MS
F ?
F ~ F
)kN,1k( ??
查表得
)(
内间
,nnF ??
? 的值
结论
五、平方和分解公式
由前面知 总
SS
2
）（＝ XX
ij
???
＝
间
SS
2
)( xxn
ii
??
2
）（＝
内 iij
xxSS ???
则有
内
间总
＋＝ SSSSSS
上述称为平方和分解公式（经简单推导就可得）
注意,MS 总 ＝ MS 间 + MS 内
？
六、方差分析的实质
按指定来源分解变异，
方差分析是分解变异
的一种技巧。
七、关于方差分析适用条件的说明
1,各总体均服从正态分布
2,各样本相互独立
3,各总体方差相等
其实以上并非方差分析的适用条
件，而是实际问题的条件。
复习思考题
1,方差分析的基本思想
2,方差分析的步骤
3,组内离差平方和，组间离差平方
和与总离差平方和各反映了什么？
4,方差分析的适用条件是什么？
