1
2
第十章 力矩分配法
§ 10— 1 引 言
§ 10— 2 力矩分配法的基本原理
§ 10— 3 用力矩分配法计算连续梁
3
§ 10— 1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成
和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为
了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆
续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，
而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返 回
4
§ 10— 2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法为克罗斯 (H.Cross)于 1930年提出，这一方法对连
续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。
1.劲度系数、传递系数
⑴ 劲度系数 (转动刚度 )Sij
定义如下：当杆件 AB的 A端转
动单位角时,A端 (又称近端 )的弯矩
MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB
表示。它标志着该杆端抵抗转动能
力的大小，故又称为转动刚度。
则劲度系数与杆件的远端支承
情况有关，由转角位移方程知
远端固定时：
A BEI
L
1
MAB
=4i MBA
A BEI
1
MAB
=3i
SAB=MAB=4i
远端铰支时：
SAB=MAB=3i
SAB=3i
A B
1
远端滑动支撑时：
EI
MAB
=i
MBA
SAB=MAB=i
SAB=i
远端自由时：
A B
1
MAB
=o
EI
SAB=MAB=0S
AB=0
SAB=4i
返 回
5
(2) 传递系数 Cij
A BEI
L
1
MAB
=4i
A BEI
1
MAB
=3i
SAB=MAB=4i
SAB=MAB=3i
A B
1
EI
MAB
=i
MBA
=-i
SAB=MAB=i
A B
1
MAB
EI
SAB=MAB=0
当近端 A转动时，另一端 B(远端 )
也产生一定的弯矩，这好比是近端
的弯矩按一定比例传到远端一样，
故将 B端弯矩与 A端弯矩之比称为由
A端向 B端的 传递系数,用 CAB表示。
即
或 MBA=CABMAB
远端固定时,CAB=0.5
远端铰支时,CAB=0
远端滑动支撑,CAB=－ 1
由表右图或表 (10— 1)可得
MBA
=2i
返 回
6
2,力矩分配法的基本原理
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
12
3
4
q P
(a)
12
3
4
(b)
MP图
F21M
F12M
F14M
F41M
图 (a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为 r
11Z1+R1P=0
绘出 MP图（图 b),可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点 1的杆端固端弯矩的代数和,即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的 不平衡力矩 。
1
F12M
F13M
F14M
返 回
7
r11=
式中 ∑ S1j代表汇交于结点 1的各
杆端劲度系数的总和。 1
2
3
4
(c)
1M
图
1Z1?
2i12
4i12
3i13 i14
绘出结构的 图（见图 c),计算系数为：
解典型方程得
Z1=
然后可按叠加法 M= 计算各杆端的最后弯
弯矩。
4i12+3i13+i14
= S12+S13+S14
= ∑S1j
返 回
8
M12=
M13=
M14=
以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。
第二项为结点转动 Z1角所产生的弯矩，这相当于把不
平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，
因此称为分配弯矩,?12, ?13, ?14等称为 分配系数,
其计算公式为
?1j= (10— 1)
结点 1的各近端弯矩为：
返 回
9
?1j = (10— 1)
显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于 1，即
∑ ?1j =1 。
各远端弯矩如下
M21=
M31=
M41=
各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动 Z1
角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系
数的比例传到各远端一样，故称为 传递弯矩 。 返 回
10
得出上述规律后，便可不必绘 MP, 图，也不必列出典
和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端
弯矩。,其过程分为两步：
(1)固定结点
即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有
不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。
(2)放松结点
即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加
入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结
点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的
比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各
自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传
递弯矩。 返 回
11
例 10— 1试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
AB
C
D
30kN/m 50kN
(a)
解：
(1)计算各杆端分配系数
?AB=
?AC=
?AD=
?AB=0.445
?AC=0.333
?AD=0.222
(2)计算固端弯矩
据表 (10— 1）
EI 2EI
4m 2m 2m
12
qL2 =
+ 12qL
2
=
+ 83PL =
8
PL =
(3)进行力矩的分配和传递
结点 A的不平衡力矩为
A
C
D
杆 端 AB AC AD
BA
CA
DA0.445 0.333 0.222分配系数
固端弯矩-40 +40 0 － 75 -25
0
-35
分配弯矩 +15.5 +11.7 +7.8
+7.8
0
-7.8
-32.2 +55.5最后弯矩 +11.7 -67.2 -32.8
0
B
55.560
11.7
67.2
32.8
M图
(kN.m)
(b)
32.2
(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
+35
返 回
12
§ 10— 3 用力矩分配法计算连续梁
对于具有多个结点转角但无结点线位移 (简称
无侧移 )的结构，只需依次对各结点使用上节所述
方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计
算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即
每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这
样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，
直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次
渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。
返 回
13
例 10— 2 用力矩分配法计算图示连续梁。
0 1 2 3
25kN/m 400kN 25kN/m解,固定 1
` 2
结点。列表计
算如下, 12m 6m 6m 12m
分配系数 ?
?10= ?12=?
21= ?23=
固端弯矩 MF -300 +300 -600 +600-300 -450 0+150
结点 1分配传递 +150 +150+75 +75
结点 2分配传递 -129 -96-64 0
结点 1分配传递 +32 +32+16 +16
结点 2分配传递 -9 -7-5 0
0.5 0.5 0.571 0.429
结点 1分配传递 +2 +3+1 +1
结点 2分配传递 -1 0
最后弯矩 M -208 +484 -484 +553 -553 0
EI EI EI
+225-
返 回
14
例 10— 3 用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m 8kN 4kN
5m 8m 3m 5m 5m
1.5kN/m 8kN 4kN 4kN·m
? 0.375 0.625 0.5 0.5 0.3750.625
MF 0 +4.69 -8 +8 -9.38 +5.62 +2 +4
分
配
及
传
递
-4.76 -2.86-2.38 0
A B C D E FI 2I 2I I
0.8i i i 0.8i
1m
A B C D E
+1.24 +2.070 +1.03
+1.37 +1.36+0.68 +0.68
-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43 -0.21
-7.62+3.31
+2.73
+0.42
+0.21 +0.21+0.11 +0.11
-0.04 -0.07 -0.03 -0.07 -0.04-0.03
+0.03+0.03+0.02 +0.02
-0.01 -0.01 -0.01 -0.01
M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4返 回
15
1.5kN/m 8kN 4kN
A B C D E FI 2I 2I I
M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4
5.634.69
1.88
12 1.1615
0
4
8.06M图
0
10.40
3.98
返 回
2
第十章 力矩分配法
§ 10— 1 引 言
§ 10— 2 力矩分配法的基本原理
§ 10— 3 用力矩分配法计算连续梁
3
§ 10— 1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成
和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为
了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆
续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，
而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返 回
4
§ 10— 2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法为克罗斯 (H.Cross)于 1930年提出，这一方法对连
续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。
1.劲度系数、传递系数
⑴ 劲度系数 (转动刚度 )Sij
定义如下：当杆件 AB的 A端转
动单位角时,A端 (又称近端 )的弯矩
MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB
表示。它标志着该杆端抵抗转动能
力的大小，故又称为转动刚度。
则劲度系数与杆件的远端支承
情况有关，由转角位移方程知
远端固定时：
A BEI
L
1
MAB
=4i MBA
A BEI
1
MAB
=3i
SAB=MAB=4i
远端铰支时：
SAB=MAB=3i
SAB=3i
A B
1
远端滑动支撑时：
EI
MAB
=i
MBA
SAB=MAB=i
SAB=i
远端自由时：
A B
1
MAB
=o
EI
SAB=MAB=0S
AB=0
SAB=4i
返 回
5
(2) 传递系数 Cij
A BEI
L
1
MAB
=4i
A BEI
1
MAB
=3i
SAB=MAB=4i
SAB=MAB=3i
A B
1
EI
MAB
=i
MBA
=-i
SAB=MAB=i
A B
1
MAB
EI
SAB=MAB=0
当近端 A转动时，另一端 B(远端 )
也产生一定的弯矩，这好比是近端
的弯矩按一定比例传到远端一样，
故将 B端弯矩与 A端弯矩之比称为由
A端向 B端的 传递系数,用 CAB表示。
即
或 MBA=CABMAB
远端固定时,CAB=0.5
远端铰支时,CAB=0
远端滑动支撑,CAB=－ 1
由表右图或表 (10— 1)可得
MBA
=2i
返 回
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2,力矩分配法的基本原理
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
12
3
4
q P
(a)
12
3
4
(b)
MP图
F21M
F12M
F14M
F41M
图 (a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为 r
11Z1+R1P=0
绘出 MP图（图 b),可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点 1的杆端固端弯矩的代数和,即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的 不平衡力矩 。
1
F12M
F13M
F14M
返 回
7
r11=
式中 ∑ S1j代表汇交于结点 1的各
杆端劲度系数的总和。 1
2
3
4
(c)
1M
图
1Z1?
2i12
4i12
3i13 i14
绘出结构的 图（见图 c),计算系数为：
解典型方程得
Z1=
然后可按叠加法 M= 计算各杆端的最后弯
弯矩。
4i12+3i13+i14
= S12+S13+S14
= ∑S1j
返 回
8
M12=
M13=
M14=
以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。
第二项为结点转动 Z1角所产生的弯矩，这相当于把不
平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，
因此称为分配弯矩,?12, ?13, ?14等称为 分配系数,
其计算公式为
?1j= (10— 1)
结点 1的各近端弯矩为：
返 回
9
?1j = (10— 1)
显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于 1，即
∑ ?1j =1 。
各远端弯矩如下
M21=
M31=
M41=
各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动 Z1
角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系
数的比例传到各远端一样，故称为 传递弯矩 。 返 回
10
得出上述规律后，便可不必绘 MP, 图，也不必列出典
和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端
弯矩。,其过程分为两步：
(1)固定结点
即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有
不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。
(2)放松结点
即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加
入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结
点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的
比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各
自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传
递弯矩。 返 回
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例 10— 1试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
AB
C
D
30kN/m 50kN
(a)
解：
(1)计算各杆端分配系数
?AB=
?AC=
?AD=
?AB=0.445
?AC=0.333
?AD=0.222
(2)计算固端弯矩
据表 (10— 1）
EI 2EI
4m 2m 2m
12
qL2 =
+ 12qL
2
=
+ 83PL =
8
PL =
(3)进行力矩的分配和传递
结点 A的不平衡力矩为
A
C
D
杆 端 AB AC AD
BA
CA
DA0.445 0.333 0.222分配系数
固端弯矩-40 +40 0 － 75 -25
0
-35
分配弯矩 +15.5 +11.7 +7.8
+7.8
0
-7.8
-32.2 +55.5最后弯矩 +11.7 -67.2 -32.8
0
B
55.560
11.7
67.2
32.8
M图
(kN.m)
(b)
32.2
(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
+35
返 回
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§ 10— 3 用力矩分配法计算连续梁
对于具有多个结点转角但无结点线位移 (简称
无侧移 )的结构，只需依次对各结点使用上节所述
方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计
算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即
每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这
样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，
直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次
渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。
返 回
13
例 10— 2 用力矩分配法计算图示连续梁。
0 1 2 3
25kN/m 400kN 25kN/m解,固定 1
` 2
结点。列表计
算如下, 12m 6m 6m 12m
分配系数 ?
?10= ?12=?
21= ?23=
固端弯矩 MF -300 +300 -600 +600-300 -450 0+150
结点 1分配传递 +150 +150+75 +75
结点 2分配传递 -129 -96-64 0
结点 1分配传递 +32 +32+16 +16
结点 2分配传递 -9 -7-5 0
0.5 0.5 0.571 0.429
结点 1分配传递 +2 +3+1 +1
结点 2分配传递 -1 0
最后弯矩 M -208 +484 -484 +553 -553 0
EI EI EI
+225-
返 回
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例 10— 3 用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m 8kN 4kN
5m 8m 3m 5m 5m
1.5kN/m 8kN 4kN 4kN·m
? 0.375 0.625 0.5 0.5 0.3750.625
MF 0 +4.69 -8 +8 -9.38 +5.62 +2 +4
分
配
及
传
递
-4.76 -2.86-2.38 0
A B C D E FI 2I 2I I
0.8i i i 0.8i
1m
A B C D E
+1.24 +2.070 +1.03
+1.37 +1.36+0.68 +0.68
-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43 -0.21
-7.62+3.31
+2.73
+0.42
+0.21 +0.21+0.11 +0.11
-0.04 -0.07 -0.03 -0.07 -0.04-0.03
+0.03+0.03+0.02 +0.02
-0.01 -0.01 -0.01 -0.01
M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4返 回
15
1.5kN/m 8kN 4kN
A B C D E FI 2I 2I I
M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4
5.634.69
1.88
12 1.1615
0
4
8.06M图
0
10.40
3.98
返 回
