第二章 平面体系的机动分析
§ 2-1 引言
§ 2-2 平面体系的计算自由度
§ 2-3 几何不变体系的简单组成规则
§ 2-4 瞬变体系
§ 2-5 机动分析示例
§ 2-6 几何构造与静定性的关系
§ 2— 1 引 言
1,体系：
2,几何不变体系：
P
若干个杆件相互联结而组成的构造。
在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，
其几何形状与位置均保持不变的体系。
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3.几何可变体系
即使不考虑材料的变形，在很小的荷载
作用下，会产生机械运动的体系。
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4.机动分析, 判断体系是否几何
不变这一工作,又 称作几何构造分析
﹙ 或几何组成分析 ﹚ 。
5.刚片, 在平面体系中将刚体称
为刚片。
可表示为：
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§ 2— 2 平面体系的计算自由度
1,自由度,
是指物体运动时可以独立变化的几何参数
的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。
⑴ 平面上的点有两个自由度
x
y
独立变化的几
何参数为,x,y。
A
x
y
o
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⑵ 平面上的刚片有三个自由度
x
y
x
y
o
独立变化的几何参数为,x,y,?。
A
B
?
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2.约束,
减少自由度的装置（又称为联系）。 凡
是减少一个自由的装置称为一个约束。
3.约束的种类,
⑴ 链杆, 一根链杆相当一个约束。
x
y
?
B
A
x
y
o
A
x
y
o
?2
?1
B
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⑵ 单铰：
⑶ 复铰,
Ⅰ Ⅱ
x
y A
x
y
?1 ?2
o
连结 n 个刚片的
复铰相 当于 (n－ 1)
个单铰
一个单铰相当于两个
约束。
Ⅰ Ⅱ
x
y A
x
y
?1 ?2
o
Ⅲ ?
3
连结两个
刚片的铰称为单铰 。
连结两个
以上刚片的铰称为复
铰。
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3,平面体系的计算自由度,
m— 刚片数目
h— 单铰数目
r— 链杆数目
W— 计算自由度
w = 3m－ (2h + r)（ 2— 1）
一个平面体系,通常由若干个刚片
彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。
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4,讨论：
⑴ w＞ 0,体系缺少足够的联系，为几何
可变。
任何平面体系的计算自由度，其计算结果
将有以下三种情况：
⑵ w＝ 0,体系具有成为几何不变所必需
的最少联系数目。
⑶ w＜ 0,体系具有多余联系。
则几何不变体系的必要条件是, w≤0,但
这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的
合理组成规则。 返 回
例如：
刚片个数
单铰个数
链杆个数
W = 3× 9 — （ 12× 2 + 3）
= 0
虽然 W=0,但其上部有多余联系，
而下部又缺少联系，仍为几何可变。
1 1
3 3
2 2
m = 9
h = 12
r = 3
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§ 2— 3 几何不变体系的简单组成规则
1,基本的三刚片规则（三角形规则）,
三个刚片用不共线的三个单较两两相联,组
成的体系为几何不变。
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
例,
Ⅰ
此体系由三个刚片用不共线
的三个单铰 A,B,C两两铰联组
成的，为几何不变。
Ⅱ Ⅲ
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2,二元体规则,
在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变
体系。
二元体,两根不共线的连杆联结一个新结点
的构造。
结论,在一个体系上增加或拆除二元体，不
会改变原体系的几何构造性质。
刚 片
铰结点 如,
为没有多余约束的几何不变体系二元体
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3.两刚片规则,
两个刚片用一个铰和
一根不通过此铰的链杆
相联,为几何不变体系。
虚铰：
O为相对转动中心。起
的作用相当一个单铰，称
为虚铰。
铰
O
刚片 Ⅰ
刚片 Ⅰ
① ②
.
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两个刚片用三根不完
全平行也不交于同一点的
链杆相联，为几何不变体
系。
或者
例如：
基础为刚片 Ⅰ,杆
BCE为刚片 Ⅱ,用链杆
AB,EF,CD 相联，
为几何不变体系。 Ⅰ
Ⅱ
刚片 Ⅰ
Ａ
O
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
．
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小 结
以上介绍了几何不变体系的三
条简单组成规则，而它们实质上只
是一条规则，即 三刚片规则 （或三
角形规则）。按这些规则组成的几
何不变体系 W=0(体系本身 W=3),因
此都是没有多余联系的几何不变体
系。
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§ 2— 4 瞬变体系
原为几何可变，但经过微小位移后
转化为几何不变体系，这种体系称为 瞬
变体系 (常变体系 )。
瞬变体系也是一种几何可变体系。
例如,,o
上述情况为瞬变体系。 返 回
§ 2— 5 机动分析示例
方法,首先算计算自由度 W，若 W＞ 0,体系为几
何可变，若 W≤0,须进行几何组成分析。但通常可略
去 W的计算。
例 2— 1
解：地基视为 —— 刚片 Ⅰ 。
Ⅲ Ⅱ
刚片 Ⅱ
与梁 BC按, 两刚片规则, 相联，又构成一个更扩
大的刚片 Ⅲ 。
AB梁与地基按, 两
刚片规则, 相联，构成了一个扩大的刚片 Ⅱ 。
CD梁与大纲片 Ⅲ 又是按, 两刚片规则, 相
联。则此体系为几何不变，且无多余约束。
Ⅰ
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例 2－ 2
解：
当拆到结点６时，二元体的两杆共线，
故此体系为瞬变体系，不能作为结构。
此体系的
支座连杆只有
三根，且不完
全平行也不交
于一点，故可
只分析体系本
身。
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例 2－ 3
解：
ADCF和 BECG这两部分都是几何不变的，作为刚
片 Ⅰ, Ⅱ,地基为刚片 Ⅲ 。而联结三刚片的 O1,O2、
C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。
O1
Ⅱ
O2
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
.,
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§ 2－ 6 几何构造与静定性的关系
只有无多余联系的几何不变体系才是
静定的。或者说，静定结构的几何构造特
征是几何不变且无多余联系。凡按基本简
单组成规则组成的体系，都是静定结构；
而在此基础上还有多余联系的便是超静定
结构。
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