第六章 影响线及其应用
§ 6— 1 影响线的概念
§ 6— 2 用静力法作单跨静定梁的影响线
§ 6— 3 间接荷载作用下的影响线
§ 6— 4 用机动法作单跨静定梁的影响线
§ 6— 5 多跨静定梁的影响线
§ 6— 6 桁架的影响线
§ 6— 7 利用影响线求量值
§ 6— 8 铁路和公路的标准荷载制
§ 6— 9 最不利荷载位置
§ 6— 10 换算荷载
§ 6— 11 简支梁的绝对最大弯矩
§ 6— 12简支梁的包络图
§ 6— 1 影响线的概念
1,问题的提出
工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷
载的作用。 例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力
和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必
须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
返 回
为了解决这个问题，需要研究荷
载移动时反力和内力的变化规律。然
而不同的反力和不同截面的内力变化
规律各不相同，即使同一截面，不同
的内力变化规律也不相同，解决这个
复杂问题的工具就是影响线。
返 回
2,最不利荷载位置
某一量值产生最大值的荷载位置，称为 最不利荷载位
置 。 例如：见图。
A B
RA
P
工程中的移动荷载
通常是由很多间距不变
的竖向荷载所组成，其
类型是多种多样的，不
可能逐一加以研究。
为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位
集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后
据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。
例如：见图。
1 2 3
1
=1P=1 P=1 P=1 P=1
这样所得的图形就表示了 P=1在梁上
移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的
影响线。
0
3/4 1/2
1/4
返 回
3,影响线的定义
当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下）
沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称
为该量值的影响线。
某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不
利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
RA的影响线
A B
RA
P
1 2 3
1
=1P=1 P=1 P=1 P=1
0
3/4 1/2
1/4
返 回
§ 6— 2 用静力法作单跨静定梁的影响线
1,绘制影响线的基本方法：
2,静力法：
将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标
系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后
根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x
之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，
再根据方程作出影响线图形。
静力法和机动法。
返 回
3,简支梁的影响线
（ 1）反力影响线
由 ∑ MB=0 有
RAL－ P(L－ x)=0
得 RA=P
L
xL
L
xL ???
(0≤x≤L)
当 x=0,RA=1x=L,R
A=0
RA影响线
1
RA影响线
RB影响线 由 ∑ MA=0 有
RBL－ Px=0
RB=
L
x (0≤x≤L)
当
x=0,RB=0
x=L,RB=1
RB影响线
1
yK
x
RA RB
P=1
K
0
0 ⊕
⊕
返 回
P=1（ 2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当 P=1在截面 C以左移动时,
取截面 C以右部分为隔离体
MC=RBb=
bLx
(0≤x≤a)
即 MC影响线的左直线。
当 x=0,MC=0x=a,M
C=
L
ab
b
当 P=1在截面 C以右移动时,
取截面 C以左部分为隔离体
MC=RAa= (a≤x≤L)
即 MC影响线的右直线。 当
x=a,MC=
L
ab
x=L,MC=0
ab/L
L
a
1
1
x x
MC影响线
QC影响线
a
P=1
x
0
绘制 QC的影响线
（ 3）剪力影响线
当 P=1在 AC段上移动时,
取截面 C以右部分为
隔离体
QC=－ RB (0≤x＜ a)
为 QC的左直线。
当 P=1在 CB段上移动时,取截面 C以左部分为隔离体
QC=RA (a＜ x≤L) (右直线 )
P=1
RA
a bC
RB
x ?
?-
返 回
4,伸臂梁的影响线
（ 1）反力影响线 P=1
x
由平衡条件求得
RA=
L
xL?
RB=
L
x
(-L1≤x≤
L+L2) 1
1
（ 2）跨内部分截面
内力影响线
MC,QC影响线
当 P=1在 DC段移动
时，取截面 C以右部分
为隔离体 有
MC=RBb
QC=－ RB
1
当 P=1在 CE段移动
时，取截面 C以左部分
为隔离体 有
MC=RAa
QC=RA
a b
1
RA影响线
RB影响线
MC影响线
QC影响线
RA RBa b
ED A BC
P=1x
⊕
?
返 回
(3)伸臂部分截面内力影响线 绘制 M
K,QK影响线
当 P=1在 DK 段上移动时KD E
P=1
x
取 K以左为隔离体
MK=－ x
QK=－ 1
d
d
1
MK影响线
QK影响线
当 P=1在 KE 段上移动时
取 K以左为隔离体
P=1
MK=0
QK=0
绘制 QA左 影响线
1 QA左 影响线
绘制 QA右 影响线
1
1
QA右 影响线
0
?
?
⊕ ⊕ ?
?
返 回
§ 6— 3 间接荷载作用下的影响线
1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图
如图所示。
主梁
横梁（结点）纵梁
计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁
简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横
梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为
间接荷载或结点荷载。
P
返 回
2,间接荷载影响线的绘制方法
以绘制 MC影响线为例P=1
（ 1）首先，将 P=1移动到各
结点处。
P=1
其 MC与直接荷载作用
在主梁上完全相同。
MC影响线
yD yE （ 2）其次，当 P=1在 DE间移动时,主梁在 D,E处分别受到
结点荷载
d
xd? 及
d
x 的作用。x
d
xd?
d
x
d
设直
接荷载作用下 MC影响线在 D、
E处的竖标为 yD,yE, 在上述
两结点荷载作用下 MC值为
y=
ED yd
xy
d
xd ?? （直线方程）
x=0,y=yD
x=d,y=yE
y
P=1
P=1
C
DA
B
E
P=1
返 回
3,结 论
绘制间接荷载作用下影响线的一般方法：
（ 1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。
（ 2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁
范围内连成直线。
例题
P=1
RB影响线
MK影响线
a
QK影响线（练习）
a
10
K
返 回
§ 6— 4 用机动法作单跨静定梁的影响线
静力法和机动法是作影响线的两种基本
方法。
1.机动法的依据 ——
虚位移原理：
虚位移原理
即刚体体系在力系作用下处
于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的
虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。
返 回
2,机动法简介
以简支梁为例。
作反力 RA的影响线，为
求反力 RA，去掉与其相应
的联系即 A处的支座，以正
向反力代替。
RA此时，原结构变成了有
一个自由度的几何可变体
系，给此体系微小虚位移。
?A
虚功方程为
RA?A+P?P=0
?P
RA=－
A
P
?
?
BA
令 ?A=1
RA=－ ?P
此时，虚位移图 ?P便代表了
RA的影响线。
P=1A B
1
返 回
3,机动法
由前面分析可知，欲作某一反力或内力 X的影响线，
只需将与 X相应的联系去掉，并使所得体系沿 X的正向发
生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即
代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为 机动法 。
机动法的优点
在于不必经过具体
计算就能迅速绘出
影响线的轮廓。
例：用机动法绘
MC影响线
A BC
a b
MC MC
A B
C
P=1
? ????
A1
?P
1AA
令 ?+?=1 = a
a
MC(?+?)+P?P=0解：
(
1
返 回
§ 6— 5 多跨静定梁的影响线
1,多跨静定梁影响线绘制步骤
首先分清 多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力
关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影
响线即可绘出。 2,举例说明
首先分析几何组
成并绘层叠图。
K
a L
当 P=1在 CE段上移动时
MK影响线与 CE段单独
作为一伸臂梁相同。
MK影响线
当 P=1在 AC段上移动时
MK=0
当 在 EF段上移动时
RF
此时 CE梁相当于在结
点 E处受到 VE的作用
VE=
L
xL?
故 MK影响线在 EF段为
直线。
a
绘制 MK的影响线
绘制 QB左 的影响线
按上述步骤绘出 QB左
影响线如图。
0
VE
P=1
1 0
1 QB左 影响线
P=1x
E
返 回
3,结论
由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法
如下：
（ 1）当 P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线
与相应单跨静定梁相同。
（ 2）当 P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁
段上移动时，量值影响线的竖标为零。
（ 3）当 P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁
段上移动时，量值影响线为直线。
此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便
的（课后自行练习）。 返 回
MC影响线
8
3
0 00
MK影响线
QC左 影响线0
QC右 影响线
1
1
1
1.5
0 0
习题 6— 10
返 回
§ 6— 6 桁架的影响线
1,单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨
静定梁相同，故二者反力影响线相同。
2,用静力法作桁架内力影响线，其计算方法
与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截
面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求
出 P=1在不同位置时内力的影响线方程。
下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线
的绘制方法。
返 回
3,作桁架的影响线 解：
绘 S12影响线
用力矩法，作 Ⅰ -Ⅰ
截面。
当 P=1在 A－ 1间移动时
Ⅰ
ⅠP=1
P=1A B 取右部为隔离体，
由 ∑M5=0 有
RA RB
RB× 5d－ S12h=0
S12=
h
d5 RB
S12影响线
当 P=1在 2－ B间移动时
取左部为隔离体，
P=1
P=1
由 ∑M5=0 有
RA× 3d－ S12h=0
S12=
h
d3
RA
当 P=1在节间（ 1-2）内
移动时,S12的影响线
为一直线。 返 回
§ 6— 7 利用影响线求量值
前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影
响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。
1,集中荷载
某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用
在已知位置。
P1 P2 Pn
y1
y2 yn
据叠加原理
S=P1y1+P2y2+…+P nyn=∑Piyi (6－ 1)
若集中力作用在影响线某
一直线范围内，则有 S影响线
S影响线
y1 y2
yn
o
x1
x2
S=P1y1+P2y2+…+P nyn
0
?=(P1x1+P2x2+…+P nxn)tg?
=tg?∑Pixi
据合力矩定理 ∑Pixi=R x
故有 S=Rx tg?=R
y
(6－ 2)
R
y
x
返 回
2,分布荷载
qx
a b
S影响线
将分布荷载沿长度分
成许多无穷小的微段,dx
y
每一
微段 dx上的荷载为 qxdx，
S=
? ba x ydxq
当为均布荷载（ q=常数）
（ 6— 3）
S=
? ??ba qy d xq
(6— 4）
q
S影响线
式中 ?表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。
a b
?qxdx
则 ab区段内分布荷载产生的
影响量
ω
返 回
§ 6— 8 公路标准荷载制
公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况
复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是
以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经
过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情
况，又适当考虑了将来的发展。
我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为 计算荷载
和验算荷载两种。
计算荷载以汽车车队表示，有汽车 — 10级、汽车 —
15级、汽车 — 20级和汽车 — 超 20级四个等级（见书上图
6-22）。验算荷载有履带 — 50、挂车 — 80、挂车 — 100
和挂车 — 120等四种。 返 回
§ 6— 9 最不利荷载位置
最不利荷载位置：
使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即
为最不利荷载位置。
在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置
的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或
最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分
几种情况讨论。
1,一个集中荷载 最不利荷载位置可直观判断。
S影响线
P S
max
P S
min 返 回
2,可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）
由式
S=q?
可知
S影响线
Smax
Smin
3,行列荷载,
行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。 但据最不
利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求
量值 S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到
邻近位置时,S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移
动时 S的增量入手解决这个问题。
一系列间距不变
的移动集中荷载
返 回
设某量值 S的影响线如图所示
x
y
?1
?2
现有一组集中荷载
处于图示位置，
R1 R2 R
n
y1 y2
yn
所产生
的影响量 S1为
S1=R1y1+R2y2+…+R nyn
当整个荷载组向右移动
△ x时，
△ x
△ y1
△ x
△ x△ y2
△ yn
?n
相应的量值为 S2
S2=R1(y1+△ y1)+R2(y2+
△ y2)+…+R n(yn+△ yn)
故 S的增量
△ S=S2－ S1=R1△ y1+R2△ y2+…+R n△ yn=R1△ x tg?1+R2△ x tg?2
+…+R n△ x tg?n=△ x∑Ri tg?i
则
x
S
?
? =∑Ri tg?i 返 回
x
S
?
? =∑Ri tg?i
当 S有极大值时，载荷自该位置左移或右移△ x后
S将减小，即△ S＜ 0。由于左移时△ x＜ 0,右移时△ x＞ 0,
故 S有极大值时
荷载左移,∑Ri tg?i＞ 0
荷载右移,∑Ri tg?i＜ 0
(6— 5）
同理,S有极小值时
荷载左移,∑Ri tg?i＜ 0
荷载右移,∑Ri tg?i＞ 0
(6— 5`）
总之，荷载向左、右移动微小距离后,∑Ri tg?i变号，
S才可能有极值。 返 回
那末，在什么情况下 ∑ Ri tg?i才可能变号？式中
tg?i是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动
而变号。故引起变号就是各段上的合力 Ri的数值发生变
化，显然只有当 某一集中荷载恰好作用在影响线的某一
个顶点处时,才有可能。我们把能使 ∑ Ri tg?i变号的集
中荷载称为 临界荷载,此时的荷载位置称为 临界荷载位
置 。式（ 6— 5）、（ 6— 5`）称为临界荷载位置判别式。
确定临界位置一般采用 试算法 。在一般情况下，临
界位置可能不止一个，这就需将与各临界位置相应的 S
极值均求出，从中选出最大（最小） 值，相应的荷载位
置就是最不利荷载位置。 返 回
为了减小试算次数，可事先大致估计最不利荷载位
置，对于常用的 三角形影响线,
a b
h? ?
临界位置判别式可进一步
简化，设临界荷载 Pcr处于
三角形影响线的顶点，Ra Pcr Rb 临界
位置判别式为：
荷载左移
(Ra+Pcr)tg?－ Rbtg?＞ 0
荷载右移
Ratg?－ (Pcr+Rb)tg?＜ 0
将 tg?=
a
h 和 tg?=
b
h 代入，得
a
PR cra ?
b
Rb
b
RP
a
R bcra ??
?
（ 6— 6）
这就是三角形影响线判别临界
位置的公式，可以形象理解为：
把 Pcr归到顶点哪一边，哪一边
的 平均荷载 就大。 返 回
对于均布荷载跨
过三角形影响线顶点
的情况，
a b
h? ?
Ra Rb
可由
0tgR
dx
dS
ii ????
的条件来确定临界位
置。 此时有 ∑Ritg?i=
0
b
hR
a
hR
ba ??
得
b
R
a
R ba ? （ 6— 7）
即左、右两边的平均
荷载相等。
直角三角形影响线上面诸式不适用。 返 回
4,例题,求图示简支梁在汽车 — 10级荷载作用下
截面 C的最大弯矩。 A BC
40m
15m 25m解,作 Mc影响线
15 9·38
首先考虑车队右行
将重车后轮置于顶点。
1003070kN 50 70 30
6m 4 5 4 15 4 2
3·75 6·25 7·88 2·25 0·75按式（ 6— 6)计算
有
25
150
15
100100 ??
25
150100
15
100 ??
故，这是临界位置
其他行驶位置不必考虑。
其次再考虑车队调
头向左行驶。将重车后
轮置于影响线顶点。
有
25
130
15
10050 ??
25
130100
15
50 ??
故这又是一临界位置，
其它情况也不必考虑。
?
?
根据上述两
种临界位置，可
分别算出相应的
MC值。经比较得
右行时 MC值大，
故：
MCmax=70× 3.75+
30× 6.25+100×
9.38+50× 7.88+
70× 2.25+30×
0.75=1962kN·m
返 回
§ 6— 10 换算荷载
在移动荷载作用下，求结构上某一量值的最大（最
小）值，一般先通过试算确定最不利荷载位置，然后求
出相应的量值，计算较为麻烦。在实际工作中，为了简
化计算，可利用编制好的 换算荷载表 。
换算荷载表,是指这样一种均布荷载 K，它产生的某
一量值，与所给移动荷载产生的该量值
的最大值 Smax相等，即
K?=Smax
由此式可求出任何移动荷载的等效荷载。 返 回
例题,A BC
40m
15m 25m
15 9·38
据题 6— 3的
弯矩 MCmax，求
汽车 — 10级的
换算荷载。
K=
MC影响线
MCmax
ω =
1962
2
1 ⅹ 40 ⅹ 9.38=10.5kN·m
ω
返 回
换算荷载的数值与移动荷载及影响线的形状
有关。但对竖标成固定比例的各影响线，其换算
荷载相等。
y1
y2=ny1
证明如下
设有两影响线的竖
标按同一比例变化，
即 y2=ny1
从而可知 ?2=n?1
于是有 K2=
长度相同、顶点位置也相同，但最大竖标不同的各
三角形影响线是成固定比例的，故用同一换算荷载。
换算荷载表（部分）见下页。
?1
?2
返 回
汽车 — 10级的换算荷载（ kN/m每列车）
跨径或荷载
长 度（ m）
影 响 线 顶 点 位 置 （标准荷载）
端 部 1/8 处 1/4 处 3/8 处 跨 中
1 200·0 200·0 200·0 200·0 200·0
2 100·0 100·0 100·0 100·0 100·0
3 66·7 66·7 66·7 66·7 66·7
4 50·0 50·0 50·0 50·0 50·0
6 38·9 37·3 35·2 33·3 33·3
8 31·3 30·4 29·2 27·5 250
10 26·0 25·4 24·7 23·6 22·0
13 21·5 20·4 19·9 19·3 19·4
16 18·9 18·0 16·9 17·3 17·0
20 17·1 16·0 15·8 16·1 15·2
25 14·9 14·2 14·1 14·3 13·7
30 13·3 12·7 12·6 12·7 12·3
35 12·5 11·5 11·4 11·4 11·1
返 回
例 6— 4 利用换算荷载表计算在汽车 — 10级荷载作用下图示简
支梁截面 C的最大（小）剪力和弯矩。
A BC
20m
15m 5m
解：
1,作 QC,MC影响线
15 3.75
MC影响线
1
1
0.25
0.75
QC影响线
⊕
⊕
2,计算 MCmax
L=20m
5/20=1/4
由表查得
K=15·8
MC影响线面积
?=1/2× 3·75× 20
=37·5㎡
于是
MCmax=K? =15·8× 37·5=590·5kN·m
3,计算 QCmax
取正号三角形计算，从
表中查的
L=4m K=50.0
L=5m K=？
L=6m K=38.9
K=44.5
QCmax=K?=44.5× 1/2× 5× 0.25=27.8kN
4,计算 QCmin（略 · 作为课后习题 ）
由直线内插法求得
返 回
关于内插法的说明
?
?
?
a
b
c
K1
K2
K
K=K2 + h
1 + h2
h2 ( K1+K2) =
h1 + h2
K1h2+K2h1
返 回
§ ６ — 11简支梁的绝对最大弯矩
1,绝对最大弯矩,梁的各截面最大弯矩中的最大者，
称为绝对最大弯矩。
2,确定绝对最大弯矩的一般方法
须解决,（ 1）绝对最大弯矩发生的截面；
（ 2）该截面发生最大弯矩的荷载位置。
应逐个截面计算最大弯矩，然后加以比较。即使取
有限个截面计算也是较繁琐的。
当梁上作用的荷载是集中荷载时，问题可以简化。
在集中荷载作用下，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用
处，可以断定绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作
用点处截面上。
余下的问题只是确定它发生在哪一个荷载作用点处
及该点位置。 返 回
3, 集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定
方法如下,任选一集中荷载，找出该集中荷载作用
点处截面在什么位置弯矩有最大值，然后按同样方法计
算其它荷载作用处截面的最大弯矩，再加以比较，即可
求出绝对最大弯矩。
A B
P1 P2 Pk Pn取一集中荷载 Pk,
L/2 L/2
x
Pk作用点截面的弯矩 Mx为
Mx=RAx－ Mk
=R/L(L－ x－ a)x－ Mk
RA=R/L(L－ x－ a)Mk为 Pk以左梁上荷载对 Pk
作用点的力矩总和，它是
与 x无关的常数。
当 Mx有极大值时
即
Ra
有
可逐个荷载计算，然后加以比较，
便可以得出绝对最大弯矩。
x=L/2－ a/2
即当 Pk 与合力 R对称于梁的中点
返 回
例 6— 5 求图示简支梁在汽车 — 10级荷载作用下的绝对最
大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩比较。
A B
C
20m
解,（ 1）求 MCmax
10m
绘 MC影响线
10 5.0
MC影响线
6m 4m
5m 4m
10050 30 70
显然重车后轮位于影响线顶点
时为最不利荷载位置
3.0 2.5
0.5
MCmax=50× 3.0+100× 5.0+30×
2.5+70× 0.5=760kN·m
（ 2）求绝对最大弯矩
设发生绝对最大弯矩时有四个
荷载在梁上，其合力为 R
R=50+100+30+70=250kN
R到 Pcr(100)的距离
a=
A B
C
10050 30 70
R
2·32m
8.84m 8.84m
故得 绝对最大弯矩 Mmax= =777kN·m 返 回
§ 6— 12 简支梁的包络图
1.内力包罗图
在结构计算中，需要求出恒载和活载共同作用下，
各截面的最大最小内力，作为设计依据。联结各截面的
最大、最小内力的图形，称为内力包络图。
2.内力包络图的绘制方法
在实际工作中，对活载还需考虑动力效应，将静活
载产生的内力值乘以动荷（冲击）系数 ( 1+?) 来考虑。
设梁承受的恒载为均布荷载 q,某一内力影响线的正、负面
积及总面积分别为 ?+,?-及 ∑ ?，活载的换算荷载为 K，在恒载和
活载的共同作用下该内力的最大、最小值的计算式为
（ 6— 10）
3作图（略） 返 回
