1
2
A′
第七章 结构位移计算
§ 7— 1 概述
§ 7— 2 变形体系的虚功原理
§ 7— 3 位移计算的一般公式
§ 7— 4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§ 7— 5 图乘法
§ 7— 6 静定结构温度变化时的位移计算
§ 7— 7 静定结构支座移动时的位移计算
§ 7— 8 线弹性结构的互等定理
3
§ 7— 1 概 述
1,变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形
和位移。
变形,是指结构形状的改变。
位移,是指结构各处位置的移动。
2,位移的分类
A
P
A′
?A
线位移：
角位移,?A
(△ A) △ Ay△
Ax
△ Ay
△ Ax
△ A
绝对位移
相对位移
P
A B
C DC′ D′
△ C △ D
△ CD= △ C+ △ D
□
返 回
4
3,计算位移的目的
（ 1）为了校核结构的刚度。
（ 2）结构施工的需要。
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、
材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。
（ 3）为分析超静定结构打
下基础。 起拱高度
△
返 回
5
§ 7— 2 变形体系的虚功原理
1,功、实功与虚功
A
dW=P
w= （ a）
（ 1）功 P
? B
dS Cos?
dW= P Cos?dS
返 回
6
常力功
W= (b)
变力功 由 A→ B,
W= （ c）
力偶功 P
P
A B （ d）
d
△
P
?A B
常力 W=
变力 W=
P△ Cos?
2
1 P△ Cos?
M·?
2
1 M·?
力由 0→ P
返 回
7
（ 2）实功与虚功
实功：
A BP1 1
△
虚功：
W=
A BP22
△力在其它
因素引起的位移上作的
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如：
例如,W12=P1·△ 2
力在本身引起的位移上作的功。
1
2
返 回
8
2,变形体的虚功原理,
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小
虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上
内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外 =W内
或写成 W=Wi （ 7— 1）
式 (7— 1）称为虚功方程，式中
W
Wi
—— 外力虚功
—— 内力虚功 返 回
9
A B
力状态
P qM
dS
内力虚功的计算
给定力状态 R
A RB给定位移状态
位移状态
dWi=Ndu+Q?dS+Md?
Wi=
微段 dS上内力的变形虚功为
整个结构内力的变形虚功为
（ 7— 2)
虚功方程为
W=
（ 7— 3)
q
N N+dN
Q
Q+dQ
dS
ds
dS du dS
?
?
?dx
d?
dS
A B
返 回
10
1,位移计算的一般公式
设平面杆系结构由于
荷载、温度变化及支座
移动等因素引起位移如
图示。
P2
P1
Kk
kK′
△ K
利用虚功原理计算
c1 c2
c3
k
k
PK=1
实际状态－位移状态
c1,c2,c3,△ K
du,d?,?ds
ds
虚拟状态－力状态
ds
１Ｒ
２Ｒ
３Ｒ
K
QMN,、dSddu ??、、
外力虚功 W= =
内力虚功 Wi=
可得
求任一指定截面 K沿
任一指定方向 k— k上
的位移 △ K 。
1PRQMN Ki ?、、、、
(7－ 5)
t1
t2
(7－ 5)
这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结
果为正，所求位移△ K与假设的 PK=1同向，反之反向。
这种方法又称为 单位荷载法 。
§ 7— 3 位移计算的一般公式 单位荷载法
返 回
11
2,虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如, ?
A
求△ AH
实际状态 虚拟状态
A1
?
A
求 ?A
1
虚拟状态
A A
虚拟状态 虚拟状态
B
?求△ AB
1
1
B
?求 ?AB
1
1 广义力与广义位移
返 回
12
§ 7— 4 静定结构在荷载作用下的位移计算
当结构只受到荷载作用时，求 K点沿指定方向的位
移△ KP，此时没有支座位移，故式（ 7— 5）为
△ KP=
式中,为虚拟状态中微段上的内力； d?P,duP、
?Pds为实际 状态中微段上的变形。由材料力学知
（ a）
d?P= duP= ?Pds=
将以上诸式代入式（ a）得
△ KP= （ 7— 6）
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 返 回
13
讨 论
1,梁和刚架
△ KP= （ 7－ 7）
2.桁架
△ KP= （ 7－ 8）
3,组合结构
△ KP= （ 7— 9）
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（ 7— 6）
可以简化：
返 回
14
例 7— 1 求图示刚架 A点
的 竖 向位移△ Ay。 E,A、
I为常数。
AB
C
q
L
L
A`
实际状态 虚拟状态
AB
C
1
解,1,设置虚拟状态
x
x选取坐标如图。
则各杆弯矩方程为,
AB段,x,BC段：
2,实际状态中各杆弯矩方程为
AB段,BC段：MP= MP=
x
x
3,代入公式（ 7— 7）得
△ Ay=
，
(?)= (-x)(- 2qx2) EIdx + (-L)(- 2qL2 ) EIdx
返 回
15
§ 7— 5 图 乘 法
△ KP=
当结构符合下述条件时：
（ 1） 杆轴为直线；
（ 2） EI=常数；
上述 积分可以得到简化。
MP图
和 M两个弯矩图中
至少有一个是直线图形。
（ 3） x
y 面积 ?
?
设等截面直杆 AB段的两个弯矩图中,为一段直线,MP图为任意
形状，
A BO
则上式中的 ds可用 dx代替。
A BMP
M
dx
故有 =xtg?,且 tg?=常数，则
d?=MPdx
x
EI
tg?∫ xM
Pdx = EI
tg?∫ xM
Pdx = EI
tg?∫ xd?
1,图乘法, 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
返 回
16
MP图
x
y
形心
C
面积 ?
?
A BO
A BMP
M
dx
d?=MPdx
x x
C
有
yC
yC=xCtg?
则积分运算化简为
一个弯矩图的面积 ?乘
以其形心处所对应的另
一个直线弯矩图上的竖
标 yC。
如果结构上所有各
杆段均可图乘则位移计
算公式（ 7— 7）可写成
△ KP=
(7－ 10)
而
EI∫ xd?
tg?
EI ?xC
tg?
EI
?yC
EI
?yC
返 回
17
2,图乘法的注意事项
（ 1）必须符合上述三个前提条件；
（ 2）竖标 yC只能取自直线图形；
（ 3） ?与 yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3,常用的几种简单图形的面积和形心
?
L
h
2L/3 L/3
L
h
? a b
（ L+a)/3 (L+b)/3形心
形心
返 回
18
? L二次抛物线
顶点L/2
?二次抛物线
L
4L/5 L/5
3L/8 5L/8
?1 ?2?1=2/3(hL)
?2=1/3(hL) 顶点
返 回
19
4,图乘的技巧
当图形的面积和形心位臵不便确定时，将它分解成简单
图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
图M
MP图
a b
c d
?
L 则
ya=2/3× c+1/3× d
yb=1/3× c+2/3× d
?
图M
MP图a
b
c dya yb
此时
ya=2/3× c－ 1/3× d
yb=2/3× d－ 1/3× c
ybya
返 回
20
?
MA
8
qL2
QA
MA QB
MB
MB
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
图形（ ?）与原抛物
线图形（ ?）的面积
大小和形心位臵以及
形心处的竖标仍然是
相同的。
?
? 返 回
21
?当 yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截
面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
?1 ?2 ?
3
y1 y2 y3
?1 ?2
?3
y1 y2 y3
△ = (?1y1+ ?2y2+ ?3y3)
I1 I2 I3
△ =
返 回
22
例 7— 2 求下图所示刚架 C,D两点间距离的改变。
设 EI=常数。
A B
C D
L
q
解,1,作实际状态的 MP图。
MP图 图M
2,设臵虚拟状态并作 。
1 1
h h
yC=h
3,按式（ 7— 10）计算
（ →← ）?CD=∑ EI?yC = EI1 ( 32 8qL
2
L)h = 12EIqhL
2
? 形心 8
qL2
返 回
23
例 7— 3 求图示刚架 A点的竖向位移△ Ay 。
A
BC
D
EI
EI P
L
解,1,作 MP图、
P
2
PL
2
PL
PL
MP图 图M
1
L；
2,图乘计算。
△ Ay= （ ↓）
2
PL
4
PL
∑ EI?yC =EI1 ( 2L?L 2PL (L? 4 = 16EIPL2) - 2EI1 23L) PL 返 回
24
例 7— 4 求图示外伸梁 C点的竖向位移△ Cy。
EI=常数。 q
A B C
L 2L
8
qL2
M 图 1
?1
y2y3
+
解,1,作 M
P图
2,作 图
3,图乘计算
y1= y2=
y3=
△ Cy=
y1
8
qL2M
P图
?2
8
qL2 ?3
2
L
返 回
25
§ 7— 6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。 设结构 (见图 )外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2,求 K点
的竖向位移△ Kt 。
t1
t2 K
K` △
Kt
现研究实际状态中任一微段 ds,
由于温度变化产生的变形。
ds
ds
△ Kt=
此时由式（ 7— 5）可得
t1
t2
?t2ds
?t1ds
d?t
dut=(?t1ds+?t2ds)/2= ?tds
(a)
(b) Kds
PK=1
ds
实 虚
M M
NN
式中d?t=(?t2ds-?t1ds)/h=
△ t= t2－ t1
(c)h??tds
式中将式（ b), (c)代入式（ a)，得
△ Kt=
（ 7— 11）
温度变化不会引起剪切变形，即 ?t=0
返 回
26
△ Kt （ 7— 11）
若各杆均为等截面时，则有
△ Kt （ 7— 12）
在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当
实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反
时为负。
梁和刚架可略去轴力的影响。
桁架在温度变化时的位移计算公式为
△ Kt= （ 7— 13）
桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长
度的制造误差为△ L,其位移计算公式为
△ K= （ 7— 14） 返 回
27
例,7— 5 图示刚架施工时温度为 20℃,求冬季外侧温度
为－ 10℃,内侧温度为 0℃ 时 A点的竖向位移 △ Ay。已知 L=4m
，
?=10－ 5，各杆均为矩形截面，高度 h=0.4m。
L
t1
t2
实
解,外侧温度变化
绘 图，
A
A
1
虚 1
代入式（ 7— 12），并注意正负号 (判断 )，
L
图M图N
△ Ay
可得
t1=－ 10℃ － 20℃ =－ 30℃,内侧温度变
化 t2=0℃ － 20℃ =－ 20℃ 。 t=(t1+t2)/2=－ 25℃,△ t=t2－ t1=10℃
返 回
28
§ 7— 7 静定结构支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位
移计算公式化简为 △ Kc= （ 7— 15）
例,图示三铰刚架右边支座的竖向位移△ By=0.06m↓
水平位移△ Bx=0.04m→,已知 L=12m,h=8m。求 ?A 。
h
L/2 L/2
△ Bx
实
A B
C 解,虚拟状态如图。
A B
C
1
AH
AV BV
BH
由（ 7— 15）
式得
?A
=0.0075rad?
虚
返 回
29
§ 7— 8 线弹性结构的互等定理
（ 1）功的互等定理：
第一状态
M1,N1,Q1,P1、△ 21
1 2P1
△ 21
1 2 P2
△ 12
第二状态
M2,N2,Q2,P2、△ 12
据虚功原理有 W21=Wi21
W12=
W21=
或 W12=W21故 P1△ 12= P2△ 21（ 7— 16）,（ 7— 17）
第一状态的外力在第二状态的位移上所作
的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
P1△ 12
P2△ 21
W12=Wi12,证明如下：
返 回
30
（ 2）位移互等定理,
1 2P1=1
?21
1 2 P2=1
?12
据功的互等定理 1·?12=1·?21（ ?－影响系数）
即 ?12= ?21 （ 7— 18）
P1=1A A
B BC C
?A M=1 fC
?A= fc
又如：
第二个单位力所引起的第一
个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力
所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。
?
有 返 回
31
（ 3）反力互等定理：
△ 1=1
△ 2=1
据功的互等定理
r12·△ 1= r21·△ 2
即
r12= r21 （ 7— 19）
（ 4）反力位移互等定理,
支座 1发生单位位移所引起
的支座 2的反力，等于支座 2发生单位位移所引起的支
座 1的反力。
1
2
r21
1
2r
12
单位力所引起的某支
座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力
作用点沿其方向的位移。（略） 返 回
2
A′
第七章 结构位移计算
§ 7— 1 概述
§ 7— 2 变形体系的虚功原理
§ 7— 3 位移计算的一般公式
§ 7— 4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§ 7— 5 图乘法
§ 7— 6 静定结构温度变化时的位移计算
§ 7— 7 静定结构支座移动时的位移计算
§ 7— 8 线弹性结构的互等定理
3
§ 7— 1 概 述
1,变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形
和位移。
变形,是指结构形状的改变。
位移,是指结构各处位置的移动。
2,位移的分类
A
P
A′
?A
线位移：
角位移,?A
(△ A) △ Ay△
Ax
△ Ay
△ Ax
△ A
绝对位移
相对位移
P
A B
C DC′ D′
△ C △ D
△ CD= △ C+ △ D
□
返 回
4
3,计算位移的目的
（ 1）为了校核结构的刚度。
（ 2）结构施工的需要。
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、
材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。
（ 3）为分析超静定结构打
下基础。 起拱高度
△
返 回
5
§ 7— 2 变形体系的虚功原理
1,功、实功与虚功
A
dW=P
w= （ a）
（ 1）功 P
? B
dS Cos?
dW= P Cos?dS
返 回
6
常力功
W= (b)
变力功 由 A→ B,
W= （ c）
力偶功 P
P
A B （ d）
d
△
P
?A B
常力 W=
变力 W=
P△ Cos?
2
1 P△ Cos?
M·?
2
1 M·?
力由 0→ P
返 回
7
（ 2）实功与虚功
实功：
A BP1 1
△
虚功：
W=
A BP22
△力在其它
因素引起的位移上作的
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如：
例如,W12=P1·△ 2
力在本身引起的位移上作的功。
1
2
返 回
8
2,变形体的虚功原理,
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小
虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上
内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外 =W内
或写成 W=Wi （ 7— 1）
式 (7— 1）称为虚功方程，式中
W
Wi
—— 外力虚功
—— 内力虚功 返 回
9
A B
力状态
P qM
dS
内力虚功的计算
给定力状态 R
A RB给定位移状态
位移状态
dWi=Ndu+Q?dS+Md?
Wi=
微段 dS上内力的变形虚功为
整个结构内力的变形虚功为
（ 7— 2)
虚功方程为
W=
（ 7— 3)
q
N N+dN
Q
Q+dQ
dS
ds
dS du dS
?
?
?dx
d?
dS
A B
返 回
10
1,位移计算的一般公式
设平面杆系结构由于
荷载、温度变化及支座
移动等因素引起位移如
图示。
P2
P1
Kk
kK′
△ K
利用虚功原理计算
c1 c2
c3
k
k
PK=1
实际状态－位移状态
c1,c2,c3,△ K
du,d?,?ds
ds
虚拟状态－力状态
ds
１Ｒ
２Ｒ
３Ｒ
K
QMN,、dSddu ??、、
外力虚功 W= =
内力虚功 Wi=
可得
求任一指定截面 K沿
任一指定方向 k— k上
的位移 △ K 。
1PRQMN Ki ?、、、、
(7－ 5)
t1
t2
(7－ 5)
这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结
果为正，所求位移△ K与假设的 PK=1同向，反之反向。
这种方法又称为 单位荷载法 。
§ 7— 3 位移计算的一般公式 单位荷载法
返 回
11
2,虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如, ?
A
求△ AH
实际状态 虚拟状态
A1
?
A
求 ?A
1
虚拟状态
A A
虚拟状态 虚拟状态
B
?求△ AB
1
1
B
?求 ?AB
1
1 广义力与广义位移
返 回
12
§ 7— 4 静定结构在荷载作用下的位移计算
当结构只受到荷载作用时，求 K点沿指定方向的位
移△ KP，此时没有支座位移，故式（ 7— 5）为
△ KP=
式中,为虚拟状态中微段上的内力； d?P,duP、
?Pds为实际 状态中微段上的变形。由材料力学知
（ a）
d?P= duP= ?Pds=
将以上诸式代入式（ a）得
△ KP= （ 7— 6）
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 返 回
13
讨 论
1,梁和刚架
△ KP= （ 7－ 7）
2.桁架
△ KP= （ 7－ 8）
3,组合结构
△ KP= （ 7— 9）
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（ 7— 6）
可以简化：
返 回
14
例 7— 1 求图示刚架 A点
的 竖 向位移△ Ay。 E,A、
I为常数。
AB
C
q
L
L
A`
实际状态 虚拟状态
AB
C
1
解,1,设置虚拟状态
x
x选取坐标如图。
则各杆弯矩方程为,
AB段,x,BC段：
2,实际状态中各杆弯矩方程为
AB段,BC段：MP= MP=
x
x
3,代入公式（ 7— 7）得
△ Ay=
，
(?)= (-x)(- 2qx2) EIdx + (-L)(- 2qL2 ) EIdx
返 回
15
§ 7— 5 图 乘 法
△ KP=
当结构符合下述条件时：
（ 1） 杆轴为直线；
（ 2） EI=常数；
上述 积分可以得到简化。
MP图
和 M两个弯矩图中
至少有一个是直线图形。
（ 3） x
y 面积 ?
?
设等截面直杆 AB段的两个弯矩图中,为一段直线,MP图为任意
形状，
A BO
则上式中的 ds可用 dx代替。
A BMP
M
dx
故有 =xtg?,且 tg?=常数，则
d?=MPdx
x
EI
tg?∫ xM
Pdx = EI
tg?∫ xM
Pdx = EI
tg?∫ xd?
1,图乘法, 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
返 回
16
MP图
x
y
形心
C
面积 ?
?
A BO
A BMP
M
dx
d?=MPdx
x x
C
有
yC
yC=xCtg?
则积分运算化简为
一个弯矩图的面积 ?乘
以其形心处所对应的另
一个直线弯矩图上的竖
标 yC。
如果结构上所有各
杆段均可图乘则位移计
算公式（ 7— 7）可写成
△ KP=
(7－ 10)
而
EI∫ xd?
tg?
EI ?xC
tg?
EI
?yC
EI
?yC
返 回
17
2,图乘法的注意事项
（ 1）必须符合上述三个前提条件；
（ 2）竖标 yC只能取自直线图形；
（ 3） ?与 yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3,常用的几种简单图形的面积和形心
?
L
h
2L/3 L/3
L
h
? a b
（ L+a)/3 (L+b)/3形心
形心
返 回
18
? L二次抛物线
顶点L/2
?二次抛物线
L
4L/5 L/5
3L/8 5L/8
?1 ?2?1=2/3(hL)
?2=1/3(hL) 顶点
返 回
19
4,图乘的技巧
当图形的面积和形心位臵不便确定时，将它分解成简单
图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
图M
MP图
a b
c d
?
L 则
ya=2/3× c+1/3× d
yb=1/3× c+2/3× d
?
图M
MP图a
b
c dya yb
此时
ya=2/3× c－ 1/3× d
yb=2/3× d－ 1/3× c
ybya
返 回
20
?
MA
8
qL2
QA
MA QB
MB
MB
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
图形（ ?）与原抛物
线图形（ ?）的面积
大小和形心位臵以及
形心处的竖标仍然是
相同的。
?
? 返 回
21
?当 yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截
面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
?1 ?2 ?
3
y1 y2 y3
?1 ?2
?3
y1 y2 y3
△ = (?1y1+ ?2y2+ ?3y3)
I1 I2 I3
△ =
返 回
22
例 7— 2 求下图所示刚架 C,D两点间距离的改变。
设 EI=常数。
A B
C D
L
q
解,1,作实际状态的 MP图。
MP图 图M
2,设臵虚拟状态并作 。
1 1
h h
yC=h
3,按式（ 7— 10）计算
（ →← ）?CD=∑ EI?yC = EI1 ( 32 8qL
2
L)h = 12EIqhL
2
? 形心 8
qL2
返 回
23
例 7— 3 求图示刚架 A点的竖向位移△ Ay 。
A
BC
D
EI
EI P
L
解,1,作 MP图、
P
2
PL
2
PL
PL
MP图 图M
1
L；
2,图乘计算。
△ Ay= （ ↓）
2
PL
4
PL
∑ EI?yC =EI1 ( 2L?L 2PL (L? 4 = 16EIPL2) - 2EI1 23L) PL 返 回
24
例 7— 4 求图示外伸梁 C点的竖向位移△ Cy。
EI=常数。 q
A B C
L 2L
8
qL2
M 图 1
?1
y2y3
+
解,1,作 M
P图
2,作 图
3,图乘计算
y1= y2=
y3=
△ Cy=
y1
8
qL2M
P图
?2
8
qL2 ?3
2
L
返 回
25
§ 7— 6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。 设结构 (见图 )外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2,求 K点
的竖向位移△ Kt 。
t1
t2 K
K` △
Kt
现研究实际状态中任一微段 ds,
由于温度变化产生的变形。
ds
ds
△ Kt=
此时由式（ 7— 5）可得
t1
t2
?t2ds
?t1ds
d?t
dut=(?t1ds+?t2ds)/2= ?tds
(a)
(b) Kds
PK=1
ds
实 虚
M M
NN
式中d?t=(?t2ds-?t1ds)/h=
△ t= t2－ t1
(c)h??tds
式中将式（ b), (c)代入式（ a)，得
△ Kt=
（ 7— 11）
温度变化不会引起剪切变形，即 ?t=0
返 回
26
△ Kt （ 7— 11）
若各杆均为等截面时，则有
△ Kt （ 7— 12）
在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当
实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反
时为负。
梁和刚架可略去轴力的影响。
桁架在温度变化时的位移计算公式为
△ Kt= （ 7— 13）
桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长
度的制造误差为△ L,其位移计算公式为
△ K= （ 7— 14） 返 回
27
例,7— 5 图示刚架施工时温度为 20℃,求冬季外侧温度
为－ 10℃,内侧温度为 0℃ 时 A点的竖向位移 △ Ay。已知 L=4m
，
?=10－ 5，各杆均为矩形截面，高度 h=0.4m。
L
t1
t2
实
解,外侧温度变化
绘 图，
A
A
1
虚 1
代入式（ 7— 12），并注意正负号 (判断 )，
L
图M图N
△ Ay
可得
t1=－ 10℃ － 20℃ =－ 30℃,内侧温度变
化 t2=0℃ － 20℃ =－ 20℃ 。 t=(t1+t2)/2=－ 25℃,△ t=t2－ t1=10℃
返 回
28
§ 7— 7 静定结构支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位
移计算公式化简为 △ Kc= （ 7— 15）
例,图示三铰刚架右边支座的竖向位移△ By=0.06m↓
水平位移△ Bx=0.04m→,已知 L=12m,h=8m。求 ?A 。
h
L/2 L/2
△ Bx
实
A B
C 解,虚拟状态如图。
A B
C
1
AH
AV BV
BH
由（ 7— 15）
式得
?A
=0.0075rad?
虚
返 回
29
§ 7— 8 线弹性结构的互等定理
（ 1）功的互等定理：
第一状态
M1,N1,Q1,P1、△ 21
1 2P1
△ 21
1 2 P2
△ 12
第二状态
M2,N2,Q2,P2、△ 12
据虚功原理有 W21=Wi21
W12=
W21=
或 W12=W21故 P1△ 12= P2△ 21（ 7— 16）,（ 7— 17）
第一状态的外力在第二状态的位移上所作
的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
P1△ 12
P2△ 21
W12=Wi12,证明如下：
返 回
30
（ 2）位移互等定理,
1 2P1=1
?21
1 2 P2=1
?12
据功的互等定理 1·?12=1·?21（ ?－影响系数）
即 ?12= ?21 （ 7— 18）
P1=1A A
B BC C
?A M=1 fC
?A= fc
又如：
第二个单位力所引起的第一
个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力
所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。
?
有 返 回
31
（ 3）反力互等定理：
△ 1=1
△ 2=1
据功的互等定理
r12·△ 1= r21·△ 2
即
r12= r21 （ 7— 19）
（ 4）反力位移互等定理,
支座 1发生单位位移所引起
的支座 2的反力，等于支座 2发生单位位移所引起的支
座 1的反力。
1
2
r21
1
2r
12
单位力所引起的某支
座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力
作用点沿其方向的位移。（略） 返 回
