1
2
第九章 位 移 法
§ 9— 1 概述
§ 9— 2 等截面直杆的转角位移方程
§ 9— 3 位移法的基本未知量和基本结构
§ 9— 4 位移法的典型方程及计算步骤
§ 9— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
§ 9— 6 对称性的利用
3
§ 9— 1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两
种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，
位移法建立于上世纪初。
力法 ——
位移法 ——以某些结点位移为基本未
知量，由平衡条件建立位移法方程，求出
位移后再计算内力。
以多余未知力为基本未知量，
由位移条件建立力法方程，求出内力后再
计算位移。
返 回
4
位移法的基本概念
以图示刚架为例予以说明
1 2
3
EI=常数
P
2
l
2
l
刚架在荷载 P作用下将发生如虚
线所示的变形。
Z1
Z1
在刚结点 1处发生转
角 Z1，结点没有线位移。则 12杆可
以视为一根两端固定的梁（见图）。
1
P
Z1 2
其受荷载 P作用和支座 1发生转角 Z1
这两种情况下的内力均可以由力法
求。同理,13杆可以视为一根一端
固定另一端铰支的梁（见图）。
1
3
Z1
而
在固定端 1处发生了转角 Z1，其内
力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
Z1为基本未知量，设法首先求出 Z1，
则各杆的内力即可求出。 这就是位移法的基本思路 。
Z1
返 回
5
由以上讨论可知，在位移法中须解
决以下问题：
（ 1）用力法算出单跨超静定梁在杆
端发生各种位移时以及荷载等因素作
用下的内力。
（ 2）确定以结构上的哪些位移作为
基本未知量。
（ 3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。 返 回
6
§ 9— 2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移 (线位移、角位
移 )时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力 (弯矩、剪力 )。为了应
用方便，首先推导杆端弯矩公式。
如图所示，两端固定的等截
面梁,A B
LEI
P t
1t
2
A′
B′
?A
?B?AB
除受荷载及温度变化外，
两支座还发生位移：转角 ?A、
?B及侧移△ AB 。转角 ?A,?B顺时
针为正,△ AB则以整个杆件顺
时针方向转动为正。
在位移法中，为了计算方便，弯
矩的符号规定如下：弯矩是以对杆
端顺时针为正 (对结点或对支座以
逆时针为正 )。图中所示均为正值。
MAB
A
MBA
B返 回
7
A B
LEI
P t
1
t2
A′
B′
?A
?B?AB
用力法解此问题，选取基本
结构如图。
P t
1
t2
X1
X2 X3
多余未知力为 X1,X2。
力法典型方程为
?11X1+?12X2+ △ 1P+ △ 1t+ △ 1△ =?A
?21X1+?22X2+ △ 2P+ △ 2t +△ 2△ =?B
为计算系数和自由项，作,
,MP图。
1M
图1
2M
图
1
MP图X
A XB
?
由图乘法算出：
，
，
?AB
由图知
这里,?AB称为弦转角，顺时针为
正。 △ 1t,△ 2t 由第七章公式计算。 返 回
8
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得
X1=
X2=
令 称为杆件的 线刚度 。此外，用 MAB代替 X1，用
MBA代替 X2，上式可写成
MAB= 4i?A+2i ?B－
MBA= 4i ?B +2i ?A－
(9— 1）
式中
(9— 2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端
弯矩，称为 固 端弯矩 。 返 回
9
MAB= 4i?A+2i?B __
MBA= 4i?B +2i?A__ (9— 1）
式 (9— 1）是 两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常
称为 转角位移方程 。
对于一端固定另一端简支的等截面梁 (见图 ),其 转角位移方程
可由 式 (9— 1）导出，设 B端为铰支，则因
A B
EI
P
t1
t2
l
MBA= 4i ?B +2i ?A__ =0
可见,?B可表示为 ?A、△ AB的函数。将
此式代入式 (9— 1)第一式，得
MAB=3i?A (9— 3）（ 转角位移方程 ）
式中 （ 9— 4）（ 固端弯矩 ）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。
有
返 回
10
§ 9— 3 位移法的基本未知量和基本结构
在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计
算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定
由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个
刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等
于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可
知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
1.位移法的基本未知量
这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目 。
例如图示刚架
1 2 3
4 5 6
独立的结点角位移
数目为 2。
返 回
11
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移 (侧移 )。例如 (见图 a）
1 2 3
4 5 6
4,5,6 三个固定 端 都是不动的
点，结点 1,2,3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个
结点均有相同的水平位移 △ 。
P
△ △ △
(a)
事实上，图 (a)所示结构的独立线位
移数目，与图 (b)所示铰结体系的线
位移数目是相同的。因此，实用上
为了能简捷地确定出结构的独立线
位移数目，可以(b)
将结构的刚结点 (包括固定支
座 )都变成铰结点 (成为铰结体系 ),
则使其成为几何不变添加的最少
链杆数，即为原结构的独立线位
移数目 (见图 b)。 返 回
12
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁 (或可定杆件 )。通常
的做法是，在每个刚结点上假想
地加上一个 附加刚臂 (仅阻止刚结
点转动 ),同时在有线位移的结点上
加 上 附加支座链杆 (阻止结点移动 )。
1 2 3
4 5 6例如 ( 见图 a)
(a)
又例如 (见图 b)
(b)
2
3 4
5 6 7
共有四个刚结点，结点线位移
数目为二，基本未知量为六个。
基本结构如图所示。
1
基本未知量三个。
返 回
13
§ 9— 4 位移法的典型方程及计算步骤
以图 (a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知
量的方程及具体计算步骤。
P
L
2l
2l
1 2
3 4
EI=常数
基本未知量为,Z1,Z2 。
Z1
Z2
基本结构如图 (b)所示。
(a) (b)基本结构
1 2
3 4
= Z1
Z2R1=0
=0
P
R1— 附加刚臂上的反力矩
R2— 附加链杆上的反力
据叠加原理,
=
?Z
1
?R211 2
3 4
?
?
?
1
3 4
P
?
R2P
12 2
3 4
?
则有
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
R22
R2
R12R
11
R1PZ
2
返 回
14
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
式中第一个下标表示该反力的位置，
第二个下标表示引起该反力的原因。
设以 r11,r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反
力矩,以 r21,r22分别表示由单位位移 所引起的链杆
上的反力，则上式可写成
r11Z1+ r12Z2+R1P=0
r21Z1+ r22Z2+R2P=0 (9— 5)
这就是求解 Z1,Z2的方程，即 位移法基本方程 (典型方程 )。
它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用
下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零 (静力平衡条
件 )。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：
r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0
····························
ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0
····························
rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0
(9— 6）
返 回
15
r11Z1+ ·· + r1iZi+ ·· + r1nZn+R1P=0
····················································
ri 1Z1+ ·· + ri iZi+ ·· + ri nZn+Ri P=0
····················································
rn1Z1+ ·· + rniZi+ ·· + rnnZn+RnP=0
(9— 6）
在上述典型方程中,rii 称为 主系数, rij(i≠j) 称为 副系
数 。 RiP称为 自由项 。主系数恒为正，副系数和自由项可
能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j) 。
由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移
所引起的附加联系的反力 (或反力矩 )，显然，结构刚度愈
大，这些反力 (或反力矩 )愈大，故这些系数又称为结构的
刚度系数 。因此位移法典型方程又称为结构的 刚度方程,
位移法也称为 刚度法 。 返 回
16
以及载荷作用下的弯矩图
为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表 9— 1，绘
出基本结构在 和 MP图：
1
3 4
2 1
3 4
2 1
3 4
2
11?Z
图1M
4i
2i
3i
图2M
l
i6
l
i6
l
i3
??12 ?Z
P
MP图
8
Pl
系数和自由项可分为两类,?附加刚臂上的反力矩 r11,r12、和
R 1P； ?是附加链杆上的反力 r21,r22和 R2P。
r21
r22
R2P
(a) (b) (c)
可分别在图 (a),(b),(c)
中取结点 1为隔离体，
1 1 1
r11
3i
4i
r12
0
R1P
0
8
Pl
由力矩平衡方程 ∑M1=0求得,r11=7i,
R1P= 。
r11=7i,R1P=，
对于附加链杆上的反力，可分别在图 (a),(b),(c）中用截面法割断
两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表 9— 1查出杆端
剪力，
1 2 1 2 1 2? ?
l
i6 0 ? ?
2
12
l
i
2
3
l
i
? ?2P 0
由方程 ∑X=0求得 r21=－ R2P=－ P/2
r21
r22 R2P
R 1Pr12
r11
返 回
17
将系数和自由项代入典型方程 (9— 5)有
解此方程得
所得均为正值，说明 Z 1,Z2与所设
方向相同。
最后弯矩图由叠加法绘制：
例如杆端弯矩 M31为
M图
1 2
3 4
Pl552183
P
Pl55260
Pl55227
Pl55227
Pl55266
M图绘出后,Q, N图即可由平衡条件绘出 (略）。 返 回
18
最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其
方法与力法中所述一样，这里从略。
结 论
由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：
? ?
(1) 确定结构的基本未知量的数目 (独立的结点角位移和线位移 )，
并引入附加联系而得到基本结构。
(2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下 (或支座位移、温度变化等其它外因作用下 )的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 返 回
19
例 9— 1 图示刚架的支座 A产生了水平位移 a、竖向位移 b=4a
及转角 ?=a/L，试绘其弯矩图。
A
BC EI
2EI
L
A′
a ?
解,基本未知量 Z 1(结点 C转角 )；
Z 1
基本结构如图示；
A
BC Z 1
基本结构建立位移法典型方程,r
11Z1+R1△ =0
为计算系数和自由项，作
和 M△ 图 (设 EI/L=i)
A
BC Z 1=1
图1M
b
8i
4i
3i A
BC
M△ 图基本结构由于支座位移产生的固端弯矩 (由表 9— 1)查得
20i?
16i?
12i?
8i
3i
由 求得 r11=8i+3i=11i
由 M△ 图求得
12i?
16i?
R1△ =16i?+12i?=28i?
R1△
r11
R1△
返 回
20
将上述系数和自由项代入典型方程，
便有
11iZ1+28i?=0
解得 Z
1=
刚架的最后弯矩图为
A
BC
A
BC Z 1=1
图1M
8i
4i
3i
A
BC
M△ 图
20i?
16i?
12i?
例如：
MAC= 4i× +20i?
=
?i11108
?i1148
M图
R1△
返 回
21
§ 9— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得
基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩 (或反力 )等于零的条件，
建立位移法的基本方程。
我们也可以不通过基本结构，直
接由平衡条件建立位移法基本方程。
举例说明如下
1 2
3 4
P
2L
2L
L
i
i i
取结点 1，由 ∑ M1=0及截取两柱顶端
以上横梁部分，由 ∑ X=0 (见图 )得
M12M
13
1
1 2← ←
Q24Q13
∑M1=M13+M12=0 (a)
∑X=Q13+Q24=0 (b)
由转角位移方程及表 10— 1得
将以上四式代入式 (a),(b)得这与 § 9— 4节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质
相同，只是处理方法上不同。 返 回
22
§ 9— 6 对称性的利用
在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论,对
称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对
称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的 。在位移法中，同样可
以利用这一结论简化计算。
例如：
P P/2 P/2
Z1 Z1
P/2 P/2
Z2 Z
2
+
‖
Z3
Z1
P/2 P/2
Z2
‖
Z3
返 回
2
第九章 位 移 法
§ 9— 1 概述
§ 9— 2 等截面直杆的转角位移方程
§ 9— 3 位移法的基本未知量和基本结构
§ 9— 4 位移法的典型方程及计算步骤
§ 9— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
§ 9— 6 对称性的利用
3
§ 9— 1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两
种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，
位移法建立于上世纪初。
力法 ——
位移法 ——以某些结点位移为基本未
知量，由平衡条件建立位移法方程，求出
位移后再计算内力。
以多余未知力为基本未知量，
由位移条件建立力法方程，求出内力后再
计算位移。
返 回
4
位移法的基本概念
以图示刚架为例予以说明
1 2
3
EI=常数
P
2
l
2
l
刚架在荷载 P作用下将发生如虚
线所示的变形。
Z1
Z1
在刚结点 1处发生转
角 Z1，结点没有线位移。则 12杆可
以视为一根两端固定的梁（见图）。
1
P
Z1 2
其受荷载 P作用和支座 1发生转角 Z1
这两种情况下的内力均可以由力法
求。同理,13杆可以视为一根一端
固定另一端铰支的梁（见图）。
1
3
Z1
而
在固定端 1处发生了转角 Z1，其内
力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
Z1为基本未知量，设法首先求出 Z1，
则各杆的内力即可求出。 这就是位移法的基本思路 。
Z1
返 回
5
由以上讨论可知，在位移法中须解
决以下问题：
（ 1）用力法算出单跨超静定梁在杆
端发生各种位移时以及荷载等因素作
用下的内力。
（ 2）确定以结构上的哪些位移作为
基本未知量。
（ 3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。 返 回
6
§ 9— 2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移 (线位移、角位
移 )时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力 (弯矩、剪力 )。为了应
用方便，首先推导杆端弯矩公式。
如图所示，两端固定的等截
面梁,A B
LEI
P t
1t
2
A′
B′
?A
?B?AB
除受荷载及温度变化外，
两支座还发生位移：转角 ?A、
?B及侧移△ AB 。转角 ?A,?B顺时
针为正,△ AB则以整个杆件顺
时针方向转动为正。
在位移法中，为了计算方便，弯
矩的符号规定如下：弯矩是以对杆
端顺时针为正 (对结点或对支座以
逆时针为正 )。图中所示均为正值。
MAB
A
MBA
B返 回
7
A B
LEI
P t
1
t2
A′
B′
?A
?B?AB
用力法解此问题，选取基本
结构如图。
P t
1
t2
X1
X2 X3
多余未知力为 X1,X2。
力法典型方程为
?11X1+?12X2+ △ 1P+ △ 1t+ △ 1△ =?A
?21X1+?22X2+ △ 2P+ △ 2t +△ 2△ =?B
为计算系数和自由项，作,
,MP图。
1M
图1
2M
图
1
MP图X
A XB
?
由图乘法算出：
，
，
?AB
由图知
这里,?AB称为弦转角，顺时针为
正。 △ 1t,△ 2t 由第七章公式计算。 返 回
8
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得
X1=
X2=
令 称为杆件的 线刚度 。此外，用 MAB代替 X1，用
MBA代替 X2，上式可写成
MAB= 4i?A+2i ?B－
MBA= 4i ?B +2i ?A－
(9— 1）
式中
(9— 2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端
弯矩，称为 固 端弯矩 。 返 回
9
MAB= 4i?A+2i?B __
MBA= 4i?B +2i?A__ (9— 1）
式 (9— 1）是 两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常
称为 转角位移方程 。
对于一端固定另一端简支的等截面梁 (见图 ),其 转角位移方程
可由 式 (9— 1）导出，设 B端为铰支，则因
A B
EI
P
t1
t2
l
MBA= 4i ?B +2i ?A__ =0
可见,?B可表示为 ?A、△ AB的函数。将
此式代入式 (9— 1)第一式，得
MAB=3i?A (9— 3）（ 转角位移方程 ）
式中 （ 9— 4）（ 固端弯矩 ）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。
有
返 回
10
§ 9— 3 位移法的基本未知量和基本结构
在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计
算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定
由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个
刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等
于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可
知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
1.位移法的基本未知量
这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目 。
例如图示刚架
1 2 3
4 5 6
独立的结点角位移
数目为 2。
返 回
11
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移 (侧移 )。例如 (见图 a）
1 2 3
4 5 6
4,5,6 三个固定 端 都是不动的
点，结点 1,2,3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个
结点均有相同的水平位移 △ 。
P
△ △ △
(a)
事实上，图 (a)所示结构的独立线位
移数目，与图 (b)所示铰结体系的线
位移数目是相同的。因此，实用上
为了能简捷地确定出结构的独立线
位移数目，可以(b)
将结构的刚结点 (包括固定支
座 )都变成铰结点 (成为铰结体系 ),
则使其成为几何不变添加的最少
链杆数，即为原结构的独立线位
移数目 (见图 b)。 返 回
12
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁 (或可定杆件 )。通常
的做法是，在每个刚结点上假想
地加上一个 附加刚臂 (仅阻止刚结
点转动 ),同时在有线位移的结点上
加 上 附加支座链杆 (阻止结点移动 )。
1 2 3
4 5 6例如 ( 见图 a)
(a)
又例如 (见图 b)
(b)
2
3 4
5 6 7
共有四个刚结点，结点线位移
数目为二，基本未知量为六个。
基本结构如图所示。
1
基本未知量三个。
返 回
13
§ 9— 4 位移法的典型方程及计算步骤
以图 (a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知
量的方程及具体计算步骤。
P
L
2l
2l
1 2
3 4
EI=常数
基本未知量为,Z1,Z2 。
Z1
Z2
基本结构如图 (b)所示。
(a) (b)基本结构
1 2
3 4
= Z1
Z2R1=0
=0
P
R1— 附加刚臂上的反力矩
R2— 附加链杆上的反力
据叠加原理,
=
?Z
1
?R211 2
3 4
?
?
?
1
3 4
P
?
R2P
12 2
3 4
?
则有
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
R22
R2
R12R
11
R1PZ
2
返 回
14
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
式中第一个下标表示该反力的位置，
第二个下标表示引起该反力的原因。
设以 r11,r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反
力矩,以 r21,r22分别表示由单位位移 所引起的链杆
上的反力，则上式可写成
r11Z1+ r12Z2+R1P=0
r21Z1+ r22Z2+R2P=0 (9— 5)
这就是求解 Z1,Z2的方程，即 位移法基本方程 (典型方程 )。
它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用
下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零 (静力平衡条
件 )。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：
r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0
····························
ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0
····························
rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0
(9— 6）
返 回
15
r11Z1+ ·· + r1iZi+ ·· + r1nZn+R1P=0
····················································
ri 1Z1+ ·· + ri iZi+ ·· + ri nZn+Ri P=0
····················································
rn1Z1+ ·· + rniZi+ ·· + rnnZn+RnP=0
(9— 6）
在上述典型方程中,rii 称为 主系数, rij(i≠j) 称为 副系
数 。 RiP称为 自由项 。主系数恒为正，副系数和自由项可
能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j) 。
由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移
所引起的附加联系的反力 (或反力矩 )，显然，结构刚度愈
大，这些反力 (或反力矩 )愈大，故这些系数又称为结构的
刚度系数 。因此位移法典型方程又称为结构的 刚度方程,
位移法也称为 刚度法 。 返 回
16
以及载荷作用下的弯矩图
为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表 9— 1，绘
出基本结构在 和 MP图：
1
3 4
2 1
3 4
2 1
3 4
2
11?Z
图1M
4i
2i
3i
图2M
l
i6
l
i6
l
i3
??12 ?Z
P
MP图
8
Pl
系数和自由项可分为两类,?附加刚臂上的反力矩 r11,r12、和
R 1P； ?是附加链杆上的反力 r21,r22和 R2P。
r21
r22
R2P
(a) (b) (c)
可分别在图 (a),(b),(c)
中取结点 1为隔离体，
1 1 1
r11
3i
4i
r12
0
R1P
0
8
Pl
由力矩平衡方程 ∑M1=0求得,r11=7i,
R1P= 。
r11=7i,R1P=，
对于附加链杆上的反力，可分别在图 (a),(b),(c）中用截面法割断
两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表 9— 1查出杆端
剪力，
1 2 1 2 1 2? ?
l
i6 0 ? ?
2
12
l
i
2
3
l
i
? ?2P 0
由方程 ∑X=0求得 r21=－ R2P=－ P/2
r21
r22 R2P
R 1Pr12
r11
返 回
17
将系数和自由项代入典型方程 (9— 5)有
解此方程得
所得均为正值，说明 Z 1,Z2与所设
方向相同。
最后弯矩图由叠加法绘制：
例如杆端弯矩 M31为
M图
1 2
3 4
Pl552183
P
Pl55260
Pl55227
Pl55227
Pl55266
M图绘出后,Q, N图即可由平衡条件绘出 (略）。 返 回
18
最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其
方法与力法中所述一样，这里从略。
结 论
由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：
? ?
(1) 确定结构的基本未知量的数目 (独立的结点角位移和线位移 )，
并引入附加联系而得到基本结构。
(2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下 (或支座位移、温度变化等其它外因作用下 )的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 返 回
19
例 9— 1 图示刚架的支座 A产生了水平位移 a、竖向位移 b=4a
及转角 ?=a/L，试绘其弯矩图。
A
BC EI
2EI
L
A′
a ?
解,基本未知量 Z 1(结点 C转角 )；
Z 1
基本结构如图示；
A
BC Z 1
基本结构建立位移法典型方程,r
11Z1+R1△ =0
为计算系数和自由项，作
和 M△ 图 (设 EI/L=i)
A
BC Z 1=1
图1M
b
8i
4i
3i A
BC
M△ 图基本结构由于支座位移产生的固端弯矩 (由表 9— 1)查得
20i?
16i?
12i?
8i
3i
由 求得 r11=8i+3i=11i
由 M△ 图求得
12i?
16i?
R1△ =16i?+12i?=28i?
R1△
r11
R1△
返 回
20
将上述系数和自由项代入典型方程，
便有
11iZ1+28i?=0
解得 Z
1=
刚架的最后弯矩图为
A
BC
A
BC Z 1=1
图1M
8i
4i
3i
A
BC
M△ 图
20i?
16i?
12i?
例如：
MAC= 4i× +20i?
=
?i11108
?i1148
M图
R1△
返 回
21
§ 9— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得
基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩 (或反力 )等于零的条件，
建立位移法的基本方程。
我们也可以不通过基本结构，直
接由平衡条件建立位移法基本方程。
举例说明如下
1 2
3 4
P
2L
2L
L
i
i i
取结点 1，由 ∑ M1=0及截取两柱顶端
以上横梁部分，由 ∑ X=0 (见图 )得
M12M
13
1
1 2← ←
Q24Q13
∑M1=M13+M12=0 (a)
∑X=Q13+Q24=0 (b)
由转角位移方程及表 10— 1得
将以上四式代入式 (a),(b)得这与 § 9— 4节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质
相同，只是处理方法上不同。 返 回
22
§ 9— 6 对称性的利用
在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论,对
称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对
称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的 。在位移法中，同样可
以利用这一结论简化计算。
例如：
P P/2 P/2
Z1 Z1
P/2 P/2
Z2 Z
2
+
‖
Z3
Z1
P/2 P/2
Z2
‖
Z3
返 回
