1
2
§ 8— 2 超静定次数的确定
§ 8— 3 力法的基本概念
§ 8— 4 力法的典型方程
§ 8— 6 对称性的利用
§ 8— 5 力法的计算步骤和示例
§ 8— 7 超静定结构的位移计算
§ 8— 9 温度变化时超静定结构的计算
§ 8— 10 支座移动时超静定结构的计算
§ 8— 11 超静定结构的特性
§ 8— 8 最后内力图的校核
§ 8— 1 超静定结构概述
第八章 力 法
3
§ 8— 1 概 述
1,静定结构与超静定结构
静定结构：
超静定结构：
?
A B CP
?
P
全部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
仅用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
A BPHA
VA RB
VA
HA
RB RC
外力超静定问题 内力超静定问题 返 回
4
? PA ?B C
P
↙
↗ ↙↗
1X
2, 超静定结构在几何组成上的特征
多余联系与多余未知力的选择。
是几何不变且具有, 多余, 联系（外部或内部）。
多余联系,这些联系仅就保持结构的几何不变
性来说，是不必要的。
多余未知力,多余联系中产生的力称为 多余未
知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联
系，既有一个多余未知力。 此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。
1X 2X
返 回
5
3,超静定结构的类型
（ 1）超静定梁 ;
（ 2）超静定桁架；
（ 3）超静定拱；
⑶
⑷
⑸
4,超静定结构的解法
求解超静定结构，必须
综合考虑三个方面的条件,
（ 1）平衡条件；
（ 2）几何条件；
（ 3）物理条件。
具体求解时，有两种基本 (经典 )方法 — 力法和位移法。
（ 4）超静定刚架；
（ 5）超静定组合结构。
返 回
6
§ 8— 2 超静定次数的确定
1,超静定次数：
2,确定超静定次数的方法,
解除多余联系的方式通
常有以下几种：
（ 1）去掉或切断一根链杆，相
当于去掉一个联系。
→
↑ 1X
（ 2）拆开一个单铰，相当
于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
→ ↑← →1X 1X
2X
多余联系或多余未知力的个数。
采用解除多余联系的
方法。
返 回
7
3,在刚结处作一切口，
或去掉一个固定端，相当
于去掉三个联系。
← →1X 1X→ ↑
3X
4,将刚结改为单铰联
结，相当于去掉一个联系。
1X 1X
应用上述解除多余
联系 (约束 )的方法，不难
确定任何 超静定结构的
超静定次数。
X2 X2
返 回
8
3,例题,确定图示结构的超静定次数（ n）。
←
←
→
→
↓
↓
↑
↑
1X
2X
3X
←→4X 5X
6Xn=6
←→↓↑1X 2X
←→
3X
←4X 5X6X
n=3× 7=21
对于具有较多框格的结构，可
按 框格的数目确定，因为一个封
闭框格，其 超 静定次数等于三。
当结构的框格数目为 f,则 n=3f 。
返 回
9
§ 8— 3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
A BEI
L
1判断超静定次数：
n=1
q
q
↑
1X
A B
原结构
2,确定 (选择 )基本结构。
3写出变形 (位移 )条件,
↑
1X
11?
P1?
(a)
(b)
q
基本结构
?根据叠加原理，式（ a）可写成
返 回
10
图1M
图PM
1X1 ?
图M
8
qL2
↑
2
qL2
L
8
qL2
将 代入 (b)得
4,建立力法基本方程
(8— 1)
5,计算系数和常数项
6,将 ?11,?11代入力法方程式 (8-1)，可求得
A BEI
L
q(b)
此方程便为一次超静定结
构的力法方程。
= EI1 2L
2
3
2L
?11=?11x1
= EI1 2qL
2
4
3L_ (
3
1 L)
多余未知力 x1求出后，其余反力、内
力的计算都是静定问题。利用已绘出
的 M1图 和 MP图按叠加法绘 M图。
q
返 回
11
结 论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而
得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未
知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立
的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平
衡条件计算其余反力、内力的方法，称为 力法 。
力法整个计算过程自始至终都是在基本结构
上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化
为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 返 回
12
§ 8— 4 力法的典型方程
1,三次超静定问题的力法方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方
程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
A B
→ P
首先选取基本结构（见图 b）
→X1 X2A B
→ P
↑X3
基本结构的位移条件为：
△ 1=0
△ 2=0
△ 3=0
设当 和荷载 P
分别作用在结构上时，
A点的位移
沿 X1方向：
沿 X2方向：
沿 X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构 基本结构
△ 1=
（ 8— 2）
（ a） （ b）
?11
?21,?22,?23和△ 2P ；
?31,?32,?33和△ 3P 。
△ 2=?21X1+?22X2+?23X3+△ 2P=0
△ 3=?31X1+?32X2+?33X3+△ 3P=0
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1P=0
,?12,?13和△ 1P ；
返 回
13
2,n次超静定问题的力法典型 (正则 )方程
对于 n次超静定结构,有 n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出 n个方程
?11X1+ ?12X2+ … + ?1iXi+ … + ?1nXn+△ 1P=0
（ 8— 3）
这便是 n次超静定结构的力法典型 (正则 )方程。式中
Xi为多余未知力,?i i为主系数,?i j(i≠j) 为副系数,△ iP
为常数项（又称自由项）。
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1P=0
（ 8— 2）?21X1+?22X2+?23X3+△ 2P=0
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3P=0
……………………………………………………………
……………………………………………………………
?i 1X1+ ?i 2X2+ … + ?i iXi+ … + ?i nXn+△ iP=0
?n1X1+ ?n2X2+ … + ?niXi+ … + ?nnXn+△ nP=0
返 回
14
3,力法方程及系数的物理意义
（ 1）力法方程的物理意义为：
（ 2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 ?i i 称为主系数 (主位移 )，它是单位
多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 ?i j(i≠j) 称为副系数 (副位移 )，它是单位多余未知力
单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，
其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
?i j= ?j i
△ i P称为常数项 (自由项 )它是荷载单独作用时所引起
的沿 Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。
上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
基本结构在全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
返 回
15
4,力法典型 (正则 )方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在
已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于
平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，
代入典型方程即可解出各多余未知力。 返 回
16
§ 8— 5 力法的计算步骤和示例
1,示例
P
A
BC
I1
I 2=
2I 1
a
2
a
2
a?
n=2(二次超静定 )
原选择基本结构如图示 P
A
C
?
B?
基
X1?
X2
力法典型方程为：
?11X1
计算系数和常数项，为
此作 图1M
1X1 ?
?
a
图2M
?
1X2 ?a
a
计算结果如下
(a)
a
?21X1 + ?22X2+△ 2P=0
+ ?12X2+△ 1P=0
2EI1
1
2
a2
3
2a =
6EI1
a3
2EI1
1
2
a2 a =
4EI1
a3 返 回
17
图1M
a
图2M
a
a
P?
图PM
2
Pa
将以上各系数代入方程 (a)
并消去 (a3/EI1)得
解联立方程得
多余未知力求得后其余反力、
内力的计算便是静定问题。
例如
最后内力图的绘制用叠加法
15/88× Pa M图
13/88× Pa?P
A
BC
3/88× Pa
a
MAC= a.114P + a( 883P ) 2Pa
返 回
18
2,力法的计算步骤
（ 1）确定原结构的超静定次数。
（ 2）选择静定的基本结构 (去掉多余联系，
以多余未知力代替 )。
（ 3）写出力法典型方程。
（ 4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力
图，据此计算典型方程中的系数和自由项。
（ 5）解算典型方程，求出各多余未知力。
（ 6）按叠加法作内力图。
返 回
19
例 8— 1 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。 EI=常数。
?A B
L
a bP 解,n=3
选取简支梁为基本结构
?PX1
X2
?X3基本结构
典型方程为
?11X1+ ?12X2+ ?13X3+△ 1P=0
?21X1+ ?22X2+ ?23X3+△ 2P=0
?31X1+ ?32X2+ ?33X3+△ 3P=01
? 1X2 ?
图2M
1X1? 1
? 1X3 ?
图1M
图3M
MP图
P?
3=0,故
?13= ?31= ?23= ?32= △ 3P=0
则典型方程第三式为
?33X3=0
?33≠0( 因 X3的解唯一 )
故
作基本结构各 和 MP图
由于
X3=0
L
Pab
L3
bL?
2
2
L
bPa
M图2
2
L
Pab
?11X1+ ?12X2+△ 1P=0
?21X1+ ?22X2+△ 2P=0
由图乘法求得
代入典型方程 (消去公因子 )得
解得
代入典型方程解得
作弯矩图。
按式
返 回
20
例 8— 2 用力法计算图示桁
架内力，设各杆 EA相同。
解,n=1(一次超静定 )。
0 1 2
3 4? ?
P P
2a 2a
a
选择基本结构如图示。
0 1 2
3 4? ?
P P??X1
基本结构
写出力法典型方程
?11X1+△ 1P=0
按下列公式计算系数和自由项
为此，求出基本结构的 和 NP值 0 1 2
3 4? ?
X1=1
1N
22?
22?
-1/2
对称
0 1 2
3 4? ?
P P
NP
P22?
+P/2
对称
0列表计算 (见书 141页 )后得
EA?11=(3+ ) a
EA△ 1P=－ Pa 返 回
21
0 1 2
3 4? ?
X1=1
1N
22?
22?
-1/2
对称
0 1 2
3 4? ?
P P
NP
P22?
+P/2
对称
0
0 1 2
3 4? ?
P P
N
对称
代入典型方程，解得
各杆内力按式
叠加求得。
+0.414P
+0.172P
例如
N03=0.707× 0.172P
-0.707Ｐ
=－ 0.586P
=0.172P
返 回
22
§ 8— 6 对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，
计算工作量就愈大，主要工作量是组成 (计算系数、常数
项 )和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简
化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。
结构的对称性：
例如：
EI1 EI1
EI2
a a
对称
EI1
EI1
对称
指结构的几何形状、约束、刚度和
荷载具有对称性 (正对称或反对称 )。正对称简称对称。
返 回
23
1,选取对称的基本结构
EI1 EI1
EI2
对
称
轴 基本结构
? ?X1 X
2X
3
?多余未知力 X
1,X2是
正对称,X3是反对称的。
基本结构的各单位弯
矩图 (见图 )。
图1M
1X1 ?
← →
图2M
1X2 ?
图3M
?
??
1X3 ?
、
是正对称,是反对称。
则 ?
13= ?31= ?23= ?32=0
于是,力法典型方程简
化为 ?
11X1+?12X2+△ 1P=0
?21X1+?22X2+△ 2P=0
?33X3+△ 3P=0
下面就对称结构作进一步讨论。 返 回
24
（ 1）对称结构作用对
称荷载
↓ ↓a aP P ↓ ↓P P
MP图
MP图是正对称的，故△ 3P=0。
?11X1+?12X2+△ 1P=0
?21X1+?22X2+△ 2P=0
?33X3+△ 3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，
只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓ a aP P ↓ ↓P P
MP图
（ 2）对称结构作用反
对称荷载
MP图是反对称的，故
△ 1P= △ 2P=0
则得 X1=X2=0
这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，
只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。 返 回
25
例 8— 4 分析图示刚架。 ? ?10kN 10kN
6m
6m
6m
解,这是一个对称结构，为四次
超静定。 选取对称的基本结构
如图示，
? ???
X1
只有反对称多余未知力 X1
基为计算系数和自由项分别作和 M
P图 (见图 )。
?? ? ?
1X1 ?
EI=常数
3
3
1M
图
(m)
10kN
MP图
(kN·m)
60 60
120
由图乘法可得
EI?11=(1/2× 3× 3× 2) × 4
+（ 3× 6× 3） × 2
=144
EI△ 1P=(3× 6× 30+1/2× 3×
3× 80) × 2=1800
代入力法方程 ?11X1+△ 1P=0
X1=－
弯矩图由 作出。
解得
返 回
26
这样，求解两个多余未知
力的问题就转变为求解新
的两对多余未知力的问题。
当选基本结构为 ?时,
2,未知力分组及荷载分组
（ 1）未知力分组 A B?P
?
X1
?
X2
?P
?
为使副系数等于零，可采
取未知力分组的方法 ?。
? ??
P
? ?
Y1 Y1
Y2 Y2
?
有
X1=Y1+Y2, X2=Y1－ Y2
作, M2图。
? ?
1Y1 ? 1Y1 ?
1M 图
? ?
1Y2 ? 1Y2 ?
M2图
正对称
反对称
故 ?12= ?21=0
典型方程化简为 ?
11Y1+△ 1P=0
?22Y2+△ 2P=0 返 回
27
（ 2）荷载分组
当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷
载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。
?
若取对称的基本
结构计算，在正对称
荷载作用下将只有对
称的多余未知力。
若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将
只有反对称的多余未知力。
P P2 P2 P2 P2
X1? X1? X2 X2?
?2
P
2
P
2
P 2P
返 回
28
3.取一半结构计算
当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结
构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨
和偶数跨两种对称刚架进行讨论。
（ 1）奇数跨对称刚架
↓ ↓p p
对称
↓p
二次超静定
对称荷载 反对称荷载
↓p
↑p
反对称
↓p 。
一次超静定 返 回
29
（ 2）偶数跨对称刚架
对称荷载
↓ ↓p p
对称
↓p
三次超静定
反对称荷载
↓
↑
p
pI
↓p
I/2
三次超静定
↓p
↑p
I/2 I/2
↓p
↑p
I/2 I/2
?
C
QC QC
?
返 回
30
§ 8— 7 超静定结构的位移计算
上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构
也是适用的，下面以 § 8— 5的例题予以说明。
求 CB杆中点 K
的竖向位移△ KY K
P=1
P
A
BC
I1
I 2=
2I 1
a2a
2
a?
原
虚拟状态如图
为了作
8/44× a
3/44× a 图KM
需解
算一个二次超静定问题，较为麻烦。
K
图中所示的 M图
就是实际状态。
基本结构的内力和位移与原结构完全
相同，则可以在基本结构上作 。
K P=1
a/4
图KM图乘得
?
?
6/44× a
(↓) 返 回
31
结 论
综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：
（ 1）解算超静定结构，求出最后内力，
此为实际状态。
（ 2）任选一种基本结构，加上单位力求
出虚拟状态的内力。
（ 3）按位移计算公式或图乘法计算所求
位移。
返 回
32
§ 8— 8 最后内力图的校核
用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意
检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加
以校核。校核应从两个方面进行。
1.平衡条件校核
取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足
平衡条件。
（ 1）弯矩图,通常检查刚结点处是否满足 ∑ M=0的
平衡条件。例如
取结点 E为隔离体 E
MED ?
MEB
MEF
应有 ∑ ME=MED+MEB+MEF=0 M图 返 回
33
（ 2）剪力图和轴力图
可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查
是否满足 ∑ X=0和 ∑ Y=0的平衡条件。
2.位移条件校核
检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相
符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的
最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移
相符。例如
图1M
P
A
BC
I1
I 2=
2I
1
a2
a
2
a
? 原
检查 A支座的水
平位移 △ 1是否
为零。
将 M图与
相乘得
]=0… 返 回
34
§ 8— 9 温度变化时超静定结构的计算
对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，
同时产生内力。
用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，
其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发
生变化，选取基本结构（见图），
t1
t1 t2 t3
t1
t1 t2 t3
?X1 X2?X
3
典型方程为
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1t=0
?21X1+?22X2+?23X3+△ 2t=0
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3t=0
其中系数的计算同前，
自由项 △ 1t,△ 2t,△ 3t
分别为基本结构由于温
度变化引起的沿 X1,X2
X3方向的位移。即 返 回
35
例 8— 6 刚架外侧温度升高 25℃,内侧温度升高 35℃,
绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架 EI=常数，截面
对称于形心轴，其高度 h=L/10,材料的膨胀系数为 ?。
L
L
+ 25℃
+35℃
解,n=1
选取基本结构
?X1基
+ 25℃
+35℃典型方程为,?
11X1+△ 1t=0
计算 并绘制 图
?11M 图
1N
LL -1求得系数和自由项为
=
故得
=－ 230?L…
返 回
36
按
M图
作弯矩图
求横梁中点 K的位移△ K，
作基本结构虚拟状态的 图
并求出,然后计算位移
K?1
KN
0
KM
图
L/4
138?EI/L
－
1/
2
－
1/
2
返 回
37
§ 8— 10 支座位移时超静定结构的计算
超静定结构当支座移动时，位移的同时将产
生内力。
对于静定结构，支座移动时将使其产生位移，
但并不产生内力。例如
A B C
A B C
?? ? 返 回
38
用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原
理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。
例如图示刚架，
A B
L a
b?
可建立典型方程如下：
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1△ =0
?21X1+?22X2+?23X3+△ 2△ =－ ?
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3△ =－ a
A B?
X1 ?X2?
X3
基
式中系数的计算同前，自由项按
式 (7— 15)计算。
（ 7— 15)
最后内力按下式计算
在求位移时，应加上支座移动的
影响,返 回
39
例,8— 7 两端固定的等截面梁 A端发生了转角 ?，分
析其内力。
A B
L
?解,n=3选取基本结构如图，
X1 ?X2 ?X
3基本结构
因
X3=0,则典型方程为
?11X1+?12X2+△ 1△ =－ ?
?21X1+?22X2+△ 2△ =0
绘出 图，
1
? 1X2 ?
图2M
1X1? 1
图1M图乘得
，,
由题意知：△ 1t= △ 2t=0,将上
述结果代入方程后解得
按式 作弯矩图。
A B
?lEI4
?lEI2
M图
返 回
40
§ 8— 11 超静定结构的特性
超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：
1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素
影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。
2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，
必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。
3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何
不变，故有较强的防御能力。
4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相
应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。 返 回
2
§ 8— 2 超静定次数的确定
§ 8— 3 力法的基本概念
§ 8— 4 力法的典型方程
§ 8— 6 对称性的利用
§ 8— 5 力法的计算步骤和示例
§ 8— 7 超静定结构的位移计算
§ 8— 9 温度变化时超静定结构的计算
§ 8— 10 支座移动时超静定结构的计算
§ 8— 11 超静定结构的特性
§ 8— 8 最后内力图的校核
§ 8— 1 超静定结构概述
第八章 力 法
3
§ 8— 1 概 述
1,静定结构与超静定结构
静定结构：
超静定结构：
?
A B CP
?
P
全部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
仅用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
A BPHA
VA RB
VA
HA
RB RC
外力超静定问题 内力超静定问题 返 回
4
? PA ?B C
P
↙
↗ ↙↗
1X
2, 超静定结构在几何组成上的特征
多余联系与多余未知力的选择。
是几何不变且具有, 多余, 联系（外部或内部）。
多余联系,这些联系仅就保持结构的几何不变
性来说，是不必要的。
多余未知力,多余联系中产生的力称为 多余未
知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联
系，既有一个多余未知力。 此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。
1X 2X
返 回
5
3,超静定结构的类型
（ 1）超静定梁 ;
（ 2）超静定桁架；
（ 3）超静定拱；
⑶
⑷
⑸
4,超静定结构的解法
求解超静定结构，必须
综合考虑三个方面的条件,
（ 1）平衡条件；
（ 2）几何条件；
（ 3）物理条件。
具体求解时，有两种基本 (经典 )方法 — 力法和位移法。
（ 4）超静定刚架；
（ 5）超静定组合结构。
返 回
6
§ 8— 2 超静定次数的确定
1,超静定次数：
2,确定超静定次数的方法,
解除多余联系的方式通
常有以下几种：
（ 1）去掉或切断一根链杆，相
当于去掉一个联系。
→
↑ 1X
（ 2）拆开一个单铰，相当
于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
→ ↑← →1X 1X
2X
多余联系或多余未知力的个数。
采用解除多余联系的
方法。
返 回
7
3,在刚结处作一切口，
或去掉一个固定端，相当
于去掉三个联系。
← →1X 1X→ ↑
3X
4,将刚结改为单铰联
结，相当于去掉一个联系。
1X 1X
应用上述解除多余
联系 (约束 )的方法，不难
确定任何 超静定结构的
超静定次数。
X2 X2
返 回
8
3,例题,确定图示结构的超静定次数（ n）。
←
←
→
→
↓
↓
↑
↑
1X
2X
3X
←→4X 5X
6Xn=6
←→↓↑1X 2X
←→
3X
←4X 5X6X
n=3× 7=21
对于具有较多框格的结构，可
按 框格的数目确定，因为一个封
闭框格，其 超 静定次数等于三。
当结构的框格数目为 f,则 n=3f 。
返 回
9
§ 8— 3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
A BEI
L
1判断超静定次数：
n=1
q
q
↑
1X
A B
原结构
2,确定 (选择 )基本结构。
3写出变形 (位移 )条件,
↑
1X
11?
P1?
(a)
(b)
q
基本结构
?根据叠加原理，式（ a）可写成
返 回
10
图1M
图PM
1X1 ?
图M
8
qL2
↑
2
qL2
L
8
qL2
将 代入 (b)得
4,建立力法基本方程
(8— 1)
5,计算系数和常数项
6,将 ?11,?11代入力法方程式 (8-1)，可求得
A BEI
L
q(b)
此方程便为一次超静定结
构的力法方程。
= EI1 2L
2
3
2L
?11=?11x1
= EI1 2qL
2
4
3L_ (
3
1 L)
多余未知力 x1求出后，其余反力、内
力的计算都是静定问题。利用已绘出
的 M1图 和 MP图按叠加法绘 M图。
q
返 回
11
结 论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而
得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未
知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立
的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平
衡条件计算其余反力、内力的方法，称为 力法 。
力法整个计算过程自始至终都是在基本结构
上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化
为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 返 回
12
§ 8— 4 力法的典型方程
1,三次超静定问题的力法方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方
程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
A B
→ P
首先选取基本结构（见图 b）
→X1 X2A B
→ P
↑X3
基本结构的位移条件为：
△ 1=0
△ 2=0
△ 3=0
设当 和荷载 P
分别作用在结构上时，
A点的位移
沿 X1方向：
沿 X2方向：
沿 X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构 基本结构
△ 1=
（ 8— 2）
（ a） （ b）
?11
?21,?22,?23和△ 2P ；
?31,?32,?33和△ 3P 。
△ 2=?21X1+?22X2+?23X3+△ 2P=0
△ 3=?31X1+?32X2+?33X3+△ 3P=0
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1P=0
,?12,?13和△ 1P ；
返 回
13
2,n次超静定问题的力法典型 (正则 )方程
对于 n次超静定结构,有 n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出 n个方程
?11X1+ ?12X2+ … + ?1iXi+ … + ?1nXn+△ 1P=0
（ 8— 3）
这便是 n次超静定结构的力法典型 (正则 )方程。式中
Xi为多余未知力,?i i为主系数,?i j(i≠j) 为副系数,△ iP
为常数项（又称自由项）。
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1P=0
（ 8— 2）?21X1+?22X2+?23X3+△ 2P=0
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3P=0
……………………………………………………………
……………………………………………………………
?i 1X1+ ?i 2X2+ … + ?i iXi+ … + ?i nXn+△ iP=0
?n1X1+ ?n2X2+ … + ?niXi+ … + ?nnXn+△ nP=0
返 回
14
3,力法方程及系数的物理意义
（ 1）力法方程的物理意义为：
（ 2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 ?i i 称为主系数 (主位移 )，它是单位
多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 ?i j(i≠j) 称为副系数 (副位移 )，它是单位多余未知力
单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，
其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
?i j= ?j i
△ i P称为常数项 (自由项 )它是荷载单独作用时所引起
的沿 Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。
上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
基本结构在全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
返 回
15
4,力法典型 (正则 )方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在
已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于
平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，
代入典型方程即可解出各多余未知力。 返 回
16
§ 8— 5 力法的计算步骤和示例
1,示例
P
A
BC
I1
I 2=
2I 1
a
2
a
2
a?
n=2(二次超静定 )
原选择基本结构如图示 P
A
C
?
B?
基
X1?
X2
力法典型方程为：
?11X1
计算系数和常数项，为
此作 图1M
1X1 ?
?
a
图2M
?
1X2 ?a
a
计算结果如下
(a)
a
?21X1 + ?22X2+△ 2P=0
+ ?12X2+△ 1P=0
2EI1
1
2
a2
3
2a =
6EI1
a3
2EI1
1
2
a2 a =
4EI1
a3 返 回
17
图1M
a
图2M
a
a
P?
图PM
2
Pa
将以上各系数代入方程 (a)
并消去 (a3/EI1)得
解联立方程得
多余未知力求得后其余反力、
内力的计算便是静定问题。
例如
最后内力图的绘制用叠加法
15/88× Pa M图
13/88× Pa?P
A
BC
3/88× Pa
a
MAC= a.114P + a( 883P ) 2Pa
返 回
18
2,力法的计算步骤
（ 1）确定原结构的超静定次数。
（ 2）选择静定的基本结构 (去掉多余联系，
以多余未知力代替 )。
（ 3）写出力法典型方程。
（ 4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力
图，据此计算典型方程中的系数和自由项。
（ 5）解算典型方程，求出各多余未知力。
（ 6）按叠加法作内力图。
返 回
19
例 8— 1 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。 EI=常数。
?A B
L
a bP 解,n=3
选取简支梁为基本结构
?PX1
X2
?X3基本结构
典型方程为
?11X1+ ?12X2+ ?13X3+△ 1P=0
?21X1+ ?22X2+ ?23X3+△ 2P=0
?31X1+ ?32X2+ ?33X3+△ 3P=01
? 1X2 ?
图2M
1X1? 1
? 1X3 ?
图1M
图3M
MP图
P?
3=0,故
?13= ?31= ?23= ?32= △ 3P=0
则典型方程第三式为
?33X3=0
?33≠0( 因 X3的解唯一 )
故
作基本结构各 和 MP图
由于
X3=0
L
Pab
L3
bL?
2
2
L
bPa
M图2
2
L
Pab
?11X1+ ?12X2+△ 1P=0
?21X1+ ?22X2+△ 2P=0
由图乘法求得
代入典型方程 (消去公因子 )得
解得
代入典型方程解得
作弯矩图。
按式
返 回
20
例 8— 2 用力法计算图示桁
架内力，设各杆 EA相同。
解,n=1(一次超静定 )。
0 1 2
3 4? ?
P P
2a 2a
a
选择基本结构如图示。
0 1 2
3 4? ?
P P??X1
基本结构
写出力法典型方程
?11X1+△ 1P=0
按下列公式计算系数和自由项
为此，求出基本结构的 和 NP值 0 1 2
3 4? ?
X1=1
1N
22?
22?
-1/2
对称
0 1 2
3 4? ?
P P
NP
P22?
+P/2
对称
0列表计算 (见书 141页 )后得
EA?11=(3+ ) a
EA△ 1P=－ Pa 返 回
21
0 1 2
3 4? ?
X1=1
1N
22?
22?
-1/2
对称
0 1 2
3 4? ?
P P
NP
P22?
+P/2
对称
0
0 1 2
3 4? ?
P P
N
对称
代入典型方程，解得
各杆内力按式
叠加求得。
+0.414P
+0.172P
例如
N03=0.707× 0.172P
-0.707Ｐ
=－ 0.586P
=0.172P
返 回
22
§ 8— 6 对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，
计算工作量就愈大，主要工作量是组成 (计算系数、常数
项 )和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简
化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。
结构的对称性：
例如：
EI1 EI1
EI2
a a
对称
EI1
EI1
对称
指结构的几何形状、约束、刚度和
荷载具有对称性 (正对称或反对称 )。正对称简称对称。
返 回
23
1,选取对称的基本结构
EI1 EI1
EI2
对
称
轴 基本结构
? ?X1 X
2X
3
?多余未知力 X
1,X2是
正对称,X3是反对称的。
基本结构的各单位弯
矩图 (见图 )。
图1M
1X1 ?
← →
图2M
1X2 ?
图3M
?
??
1X3 ?
、
是正对称,是反对称。
则 ?
13= ?31= ?23= ?32=0
于是,力法典型方程简
化为 ?
11X1+?12X2+△ 1P=0
?21X1+?22X2+△ 2P=0
?33X3+△ 3P=0
下面就对称结构作进一步讨论。 返 回
24
（ 1）对称结构作用对
称荷载
↓ ↓a aP P ↓ ↓P P
MP图
MP图是正对称的，故△ 3P=0。
?11X1+?12X2+△ 1P=0
?21X1+?22X2+△ 2P=0
?33X3+△ 3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，
只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓ a aP P ↓ ↓P P
MP图
（ 2）对称结构作用反
对称荷载
MP图是反对称的，故
△ 1P= △ 2P=0
则得 X1=X2=0
这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，
只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。 返 回
25
例 8— 4 分析图示刚架。 ? ?10kN 10kN
6m
6m
6m
解,这是一个对称结构，为四次
超静定。 选取对称的基本结构
如图示，
? ???
X1
只有反对称多余未知力 X1
基为计算系数和自由项分别作和 M
P图 (见图 )。
?? ? ?
1X1 ?
EI=常数
3
3
1M
图
(m)
10kN
MP图
(kN·m)
60 60
120
由图乘法可得
EI?11=(1/2× 3× 3× 2) × 4
+（ 3× 6× 3） × 2
=144
EI△ 1P=(3× 6× 30+1/2× 3×
3× 80) × 2=1800
代入力法方程 ?11X1+△ 1P=0
X1=－
弯矩图由 作出。
解得
返 回
26
这样，求解两个多余未知
力的问题就转变为求解新
的两对多余未知力的问题。
当选基本结构为 ?时,
2,未知力分组及荷载分组
（ 1）未知力分组 A B?P
?
X1
?
X2
?P
?
为使副系数等于零，可采
取未知力分组的方法 ?。
? ??
P
? ?
Y1 Y1
Y2 Y2
?
有
X1=Y1+Y2, X2=Y1－ Y2
作, M2图。
? ?
1Y1 ? 1Y1 ?
1M 图
? ?
1Y2 ? 1Y2 ?
M2图
正对称
反对称
故 ?12= ?21=0
典型方程化简为 ?
11Y1+△ 1P=0
?22Y2+△ 2P=0 返 回
27
（ 2）荷载分组
当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷
载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。
?
若取对称的基本
结构计算，在正对称
荷载作用下将只有对
称的多余未知力。
若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将
只有反对称的多余未知力。
P P2 P2 P2 P2
X1? X1? X2 X2?
?2
P
2
P
2
P 2P
返 回
28
3.取一半结构计算
当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结
构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨
和偶数跨两种对称刚架进行讨论。
（ 1）奇数跨对称刚架
↓ ↓p p
对称
↓p
二次超静定
对称荷载 反对称荷载
↓p
↑p
反对称
↓p 。
一次超静定 返 回
29
（ 2）偶数跨对称刚架
对称荷载
↓ ↓p p
对称
↓p
三次超静定
反对称荷载
↓
↑
p
pI
↓p
I/2
三次超静定
↓p
↑p
I/2 I/2
↓p
↑p
I/2 I/2
?
C
QC QC
?
返 回
30
§ 8— 7 超静定结构的位移计算
上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构
也是适用的，下面以 § 8— 5的例题予以说明。
求 CB杆中点 K
的竖向位移△ KY K
P=1
P
A
BC
I1
I 2=
2I 1
a2a
2
a?
原
虚拟状态如图
为了作
8/44× a
3/44× a 图KM
需解
算一个二次超静定问题，较为麻烦。
K
图中所示的 M图
就是实际状态。
基本结构的内力和位移与原结构完全
相同，则可以在基本结构上作 。
K P=1
a/4
图KM图乘得
?
?
6/44× a
(↓) 返 回
31
结 论
综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：
（ 1）解算超静定结构，求出最后内力，
此为实际状态。
（ 2）任选一种基本结构，加上单位力求
出虚拟状态的内力。
（ 3）按位移计算公式或图乘法计算所求
位移。
返 回
32
§ 8— 8 最后内力图的校核
用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意
检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加
以校核。校核应从两个方面进行。
1.平衡条件校核
取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足
平衡条件。
（ 1）弯矩图,通常检查刚结点处是否满足 ∑ M=0的
平衡条件。例如
取结点 E为隔离体 E
MED ?
MEB
MEF
应有 ∑ ME=MED+MEB+MEF=0 M图 返 回
33
（ 2）剪力图和轴力图
可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查
是否满足 ∑ X=0和 ∑ Y=0的平衡条件。
2.位移条件校核
检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相
符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的
最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移
相符。例如
图1M
P
A
BC
I1
I 2=
2I
1
a2
a
2
a
? 原
检查 A支座的水
平位移 △ 1是否
为零。
将 M图与
相乘得
]=0… 返 回
34
§ 8— 9 温度变化时超静定结构的计算
对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，
同时产生内力。
用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，
其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发
生变化，选取基本结构（见图），
t1
t1 t2 t3
t1
t1 t2 t3
?X1 X2?X
3
典型方程为
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1t=0
?21X1+?22X2+?23X3+△ 2t=0
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3t=0
其中系数的计算同前，
自由项 △ 1t,△ 2t,△ 3t
分别为基本结构由于温
度变化引起的沿 X1,X2
X3方向的位移。即 返 回
35
例 8— 6 刚架外侧温度升高 25℃,内侧温度升高 35℃,
绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架 EI=常数，截面
对称于形心轴，其高度 h=L/10,材料的膨胀系数为 ?。
L
L
+ 25℃
+35℃
解,n=1
选取基本结构
?X1基
+ 25℃
+35℃典型方程为,?
11X1+△ 1t=0
计算 并绘制 图
?11M 图
1N
LL -1求得系数和自由项为
=
故得
=－ 230?L…
返 回
36
按
M图
作弯矩图
求横梁中点 K的位移△ K，
作基本结构虚拟状态的 图
并求出,然后计算位移
K?1
KN
0
KM
图
L/4
138?EI/L
－
1/
2
－
1/
2
返 回
37
§ 8— 10 支座位移时超静定结构的计算
超静定结构当支座移动时，位移的同时将产
生内力。
对于静定结构，支座移动时将使其产生位移，
但并不产生内力。例如
A B C
A B C
?? ? 返 回
38
用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原
理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。
例如图示刚架，
A B
L a
b?
可建立典型方程如下：
?11X1+?12X2+?13X3+△ 1△ =0
?21X1+?22X2+?23X3+△ 2△ =－ ?
?31X1+?32X2+?33X3+△ 3△ =－ a
A B?
X1 ?X2?
X3
基
式中系数的计算同前，自由项按
式 (7— 15)计算。
（ 7— 15)
最后内力按下式计算
在求位移时，应加上支座移动的
影响,返 回
39
例,8— 7 两端固定的等截面梁 A端发生了转角 ?，分
析其内力。
A B
L
?解,n=3选取基本结构如图，
X1 ?X2 ?X
3基本结构
因
X3=0,则典型方程为
?11X1+?12X2+△ 1△ =－ ?
?21X1+?22X2+△ 2△ =0
绘出 图，
1
? 1X2 ?
图2M
1X1? 1
图1M图乘得
，,
由题意知：△ 1t= △ 2t=0,将上
述结果代入方程后解得
按式 作弯矩图。
A B
?lEI4
?lEI2
M图
返 回
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§ 8— 11 超静定结构的特性
超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：
1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素
影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。
2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，
必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。
3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何
不变，故有较强的防御能力。
4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相
应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。 返 回
