第一讲 整体与部分3 姚正安 § 1.3 重极限和路径极限 　 本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多. 问题 海涅定理:存在的充要条件是对任给的点列,,,落在的定义域内且存在. 证明:本问题的证明与问题的证明完全类似,证明留给读者． 在多就是函数中,所谓的方向极限即沿某一方向取极限.所谓的路径极限即是沿某一路径取极限． 问题 　重极限存在，则任两条路径极限存在且相等. 分析: 所谓的路径极限即是某曲线落在的定义域中,且此曲线过点,当,取时的极限. 证明:设 ,则对任给的,存在,当且落在的定义域中时,有. 由路径过点,且,,从而当时,有 , 于是有. 方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时, 落在定义域的方向极限一定存在，反之不一定正确，我们也常用问题1.3.1的逆否命题来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧。 问题1.3.3 （1） 证明当时，函数的方向极限存在但重极限不存在； （2）不存在，但沿任意方向，方向极限为0。 【证明】（1）设通过原点的方向为，则方向极限为 , 我们看到不在定义域内，但如某点无限靠近，则可充分大，我们用扰动方法，取则  不存在。 由问题1.3.2，知不存在。 （2）取，则 。 取，则 。 由问题1.3.2知不存在，但对任给的方向，方向极限为：  （i），则，从而此方向极限为0。 （ii）,则方向极限为 。 注意：从问题1.3.3的（2）可知，二元函数与一元函数的极限已有区别，在一元函数中，两个方向极限（左、右极限）存在且相等，则极限存在，但这里则不然，即使对任给的方向极限存在且相等，但重极限任可能不存在。 问题1.3.4 设的定义域是连通的（即任给定义域中两点，可用一折线连结），则 的充要条件是沿任何连续曲线趋于时，趋于。 【证明】问题1.3.2已证明了必要性，下证充分性。任取，由连续性依次连接点列的相邻各点即得一连续曲线，那么则沿此连续曲线趋于时，趋于。因为任意趋于的点列，根据海涅（Heine）定理，。 其实，从证明中我们看到，如果的定义域为有限个连通分支，问题1.3.4仍正确，只是我们把落在各连通分支的点分别做一连续曲线，然后可证得相应结论，现在我们可以弄清单变量函数与多变量函数的本质区别，对单变量而言，通过点的连续路径总摆脱不了左、右方向趋于，而对多变量区域而言，一连续路径可能根本不沿任何方向，而是绕“曲线”趋于，如，所以方向极限非本质极限，这也反映了单变量函数部分极限的简单性和多边量函数部分极限的复杂性。同样对单变量函数和多变量函数的微分学而言，由定义域简繁导致了本质的区别，在单变量微分学中，可导必可微，对于多变量微分学，甚至即使所有的方向导数存在也未必可微。 问题1.3.5 二元函数在点可微，必存在所有方向的方向导数，而且相反方向的方向导数互为相反数。 【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令，所谓的可微即是存在常数A、B使得  这里，。 而沿方向的方向导数为 。 【证明】设在可微，则由，得 。 由此沿的方向导数为 。 又注意到的反方向为，我们有，所以可证最后的结论。 在方向导数中取，即为偏导数，取，即得偏导数，这是在可微的前提下，如果不可微，即使沿的方向导数存在，也未必有存在。例如取  则沿的方向导数存在，但  不存在。一般地，我们知道，可微必可导，可微必连续，但连续与偏导数存在一般没有什么关系，而且问题1.3.5的逆命题不正确。 问题1.3.6 证明在沿任何方向的方向导数存在且相等，但偏导数不存在，从而不可微。 【证明】 。 但不存在。 同理不存在。我们亦可用问题1.3.5来证。 即使有偏导数存在，各方向导数存在也未必可微。 问题1.3.7 证明在存在偏导数，且存在各方向导数，证明在不可微。 【证明】。 同理 。对方向，有  另外，假定在可微，则 ， 从而。但  （这里），矛盾。 从此问题的证明中我们可以看到可微要求的是更强的条件，因为可微仍是一个二元函数的极限，只是此时的变量为，所以我们有 问题1.3.8设的定义域为有限个连通分支，则在可微的充要条件是沿过点的连续路径在点路径可微。 【证明】所谓路径可微，即是沿连续曲线有，仿问题1.3.4的证明即可证得本问题成立。 从问题1.3.6可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系，它们依然是部分与整体得关系。 问题1.3.9 偏导数存在得充要条件是沿和得方向导数存在且其值相反。 【证明】必要性 设 ， 则 ，  充分性 设  则 同理可证关于的相应结论。 这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢？这是因为在这里取正值，而在一元函数中，右导数为正，而左导数中，为负。此外注意到问题1.3.6, 1.3.7的例中 有方向导数，其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数，所以我们可以继续举下面的例。 问题1.3.10 证明 （1） 在有各方向导数存在，各方向与其相反方向的方向导数互为相反数，但在不可微。 （2） 其结论与（1）相同。 【分析】 注意（1）中是连续的，并且在问题1.3.5的证明中，，而（2）中在不连续。 【证明】（1）由。 同理。 另一方面， ， 。 但注意如果取，此时若按问题1.3.5的证明有 （因为）, 但这里 ， 由此在原点不可微。 （2）易证，且。  。 （分和两种情况讨论） 下证在不连续。 取路径，则 。 由此在不连续。当然在不可微。 我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题，至于相同形式的如上、下极限，上、下连续等我们作为练习留给读者。