第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。  格林公式 斯托克司公式  高斯公式 例1 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，是的外法线方向。证明 y  x 证明 ， 因为 ，  则 ，      注1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到） ，  注2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：  或（用外法向矢量）  试比较（用正向的切线矢量）  事实上   注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当是平行于坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。 在高斯公式中，设不依赖于。考虑平行于轴的单位高柱体的边界曲面的外侧，它在面的投影为曲线。记柱面的上底面为，下底面为，侧面为，则         又   即  例2 设具有二阶连续偏导数，证明 （1） （2） 其中，为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线方向的导数。 证 （1）在格林公式的等价形式中令得，  即  （2）    注4 在式中令，则（2）即化为（1）。 注5 设，为空间立体的边界，为沿外法线方向的导数，则有格林第一公式：  格林第二公式：  [12/394] 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令即得[13（2）/394]。 例3 用斯托克司公式计算下列积分 (a)  (b) 是曲线，，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则。 解 是曲面上所围部分的上侧。它关于zx平面对称，在xy平面的投影是。   （斯托克司公式）   （，对称性）  （两类曲面积分的关系）   （，对称性）  （两类曲面积分的关系，几何意义） 注6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有： 斯托克司公式 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量 对称性 几何意义 例4 证明高斯积分  其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向。又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于。 解 （1）设外某一定点，则 ，  =   ，    注意是外某一定点，故和在内处处连续，由格林公式得    （2）设是内某一定点，这时格林公式不再成立。以为中心，为半径作圆，充分小使完全含于内。取的方向为顺时针方向，则由（1）知  故    几何解释 积分值是从点所能看到曲线的角的度量。事实上，以为半径作圆心角为的圆弧，则  是在圆弧上的投影，而  就是从点所能看到元素的角的度量，将所有这些角求和，得  就是从点所能看到曲线的角的度量。注意  时是负角，即  时是正角，即 故当是外某一定点时，正负角抵消，积分 。 而当是内某一定点时，总有，因而积分 =。 根据这个几何解释可知，当是曲线上某一定点时，积分 。 注7：这是一个著名的积分，要用到5/392给出的平面上封闭曲线的正向与外法线方向的关系。相应的也有曲面积分的高斯积分（9/393），  求解的思想方法是一样的，几何解释也很有意义。 积分与路径无关 例5 求,其中是被积函数的定义域内从(2,0)到(0,2)的逐段光滑曲线。 解 被积函数的定义域 记 ，，则在定义域内有连续的偏导数，且。取，逆时针方向，则   于是内任意一条封闭曲线，若包围了单位圆，则  若不包围单位圆，则由格林公式  2 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图，得  2  场论初步 例6 计算曲面积分，其中，为球面：，是上侧的单位向量。 解法1 用Stokes公式。取 ： 或      解法2 用高斯公式。补一块面：，下侧     (是在方向的投影,即在z轴方向的分量乘以(-1))