定积分
概念
例子:1. 曲边梯形的面积
2. 非匀速直线运动
性质1、2
性质3 对[a, b]的一个分法T,增加某些新分点构成[a, b]的一个新分法T’,有
证明:只增加一个新分点,区间分成,上的最小值记为, 上的最小值记为,则,从而
此即
性质4 任意分法,有
证明:合成,由性质3,可得
性质5:
从性质5,可以直观地看出,当时,函数可积。因为
定理1(可积准则)f(x)在[a, b]上可积当且仅当
证明:必要性
由性质2,得到,或
充分性(略)
定义 振幅
定理1’ (可积准则)f(x) 在[a, b]上可积当且仅当
三类可积函数
定理2 闭区间上的连续函数可积。
定理3 f(x)在[a, b]上单调,则f(x)在[a, b]上可积。
证明:不妨设f(x)在[a, b]上单调增加,对[a, b]的任意分法T,函数f(x)在小区间上的下确界mk与上确界Mk分别是
则
,对[a, b]的任意分法T,当时,即时,有
根据可积准则的充分性,单调 函数f(x)在[a,b]上可积.
Th4. f(x)在闭区间[a,b]上有界,且存在有限个不连续点,则f(x)在[a,b]上可积.
证明:不妨设是一个不连续点,其余都为连续点.w=M-m, M,m分别为f(x)在[a,b]上的最大最小值.去掉小区间后,f(x)在 上连续,从而一致连续. ,时 同样时.取 当 时, (1)当时 (1)同样满足.
对[a,b]的一个分划T.只要L(T)
将区间分成两类:
(I)[]全部落在或中.
(II)[]至少有一点落在中.
8.3 定积分的性质
,. f(x)在[a,b]上的定积分是
为了运算的需要,规定:
a=b时 =0
=-
Th1. 在[a,b]上,f(x)=c(const)则f(x)=c在[a,b]上可积,
且
证明: f(x)=c在[a,b]上的积分和
=c=c(b-a)
则 =c(b-a)
即
Th2. ,在[a,b]上可积,则+在[a,b]上也可积,且
=+
证明:+在[a,b]上的积分和
=+
=+
即=+
Th3. f(x)在[a,b]上可积,则c f(x)在[a,b]上也可积,且
=c
证明:=c
推论:n个函数,…都在区间[a,b]上可积
则它们的线性组合
++….+ 在[a,b]上也可积.
=++…+
Th4 .,f(x)在[a,b]上可积则f(x)在[,][a,b]上可积.
Th5. f(x)在[a,b]与[c,b]上可积,则f(x)在[a,b]上可积.
=
推论1 若f(x)在[A,B]上可积,且a,b,c 是[A,B]上任意三点
则
=
推论2 若f(x)在区间[](k=1,2,…n)上都可积,则f(x)在[]上可积,且
=++…+
Th6 f(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)0 (或f(x) 0) 则
0(或0)
证明:0
由f(x)在[a,b]上可积与极限保号性
=0
Th7. f(x),g(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)g(x),则
Th8. f(x)k[a,b] k[a,b]且
推论 f(x)k[a,b] f(x)k(const)则
k(b-c)
二.积分中值定理
Th9. f(x)C[a,b].则c[a,b]使
=f(c)(b-a)
证明:已知f(x)C[a,b],则f(x)在[a,b]上必取到最大最小值,
mf(x)M axb
由Th7与Th1有
m(b-a) M(b-a)
或mM
由介值定理 得到在[a,b]内至少一c,使
f(c)= axb
即 =f(c)(b-a)
几何意义 图8.7
图8.7
Th10. f(x),y(x)C[a,b]. y(x)在[a,b]上不变号,则c[a,b]使
=f(c)
证明:不妨设y(x)0
mM
1.若>0 2.若=0