Chapter 2 函数
1 函数概念
Example
Definition 1. 设给定实数集合,若存在一对应法则,,唯一的实数与之对应。则称是定义在上的函数,记为:
或
也可记为:,.
──定义域,──自变量,──因变量
f(x)={y=f(x)|x}称f(x)为f的值域
函数的两个重要因素:
对应法则;
定义域.
Example1 取整函数
f(x)=[x] 不超过x的最大整数.
f(x)= (x)=x-[x] 小数部分函数.
函数的图形(平面上)
{(x, f(x)|x}
注意: 整数部分函数和小数函数的连续(单调性和周期性)
Example2 |x|
Example3 Dirichlet函数
D(x)=
sgn(x)=
函数的特性
1 奇偶性
定义域X是关于原点对称
f(-x)= - f(x) 奇 f(x)=x 和f(x)=sin (x)
f(-x)= f(x) 偶 f(x)=cos(x)和f(x)=x
2 单调性
, 有 f()f() 单调
f(x)=x f(x)=x
3 周期性
Def ,对有
f(x+T)= f(x) T是周期
y=sin(x) T
D(x)
4有界性
Def ,对有
Def’ 且对 有
Def(无界的定义) 使得
Exa
2. 复合函数与反函数
复合函数
Def 1
则 是定义在X上的函数,称为与的复合函数。
2.反函数
Def 有唯一的使得 习惯为自变量
命题2 严格递增(减)的函数必有反函数,且其反函数也是严格递增(减)的。
证明: 设在上严格递增。要证在上也严格递增。
(反证法)如果不然, 但
这时有
得证
3.初等函数
基本初等函数
常值函数
指数函数
3.对数函数
4.幂函数 , 其中≠0。
5.三角函数
6.反三角函数
习题:4(2),5,6(1)(2)。