第一讲 整体与部分4 姚正安 §1.4 其他整体与部分问题 本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的性质则部分区域上成立，我们这里讨论相反的问题。 问题1.4.1 （1）若函数在上分别连续，则在上连续。 （2）若函数在上可积，则在上可积。 【分析】由在上连续，则在左连续，在上连续，则在点右连续。 【证明】（1）我们仅须证在点左连续且右连续，则在点连续（问题1.2.2）。 由在上连续，于是在点左连续，又在上连续，从而在点右连续。 （2）由在上可积，则在上有界，又在上可积，于是在上有界，即存在使得 ， 从而取，则  下证在上可积，任给，由在上可积，在上可积，则存在，，当分划，时， ，。 这里是分划得步长，是达布大和，是达布小和。现在取 。 设是上的分划：，且，  （i）设有分点，则 是上的分划，从而，且 。 是上的分划，从而，且 。 于是，由，， 得 。 （ii）设对某个，则  （这里为在上的振幅，），取为，则由，有，从而 。为在上的振幅，。 取为，则由，得，于是。 为在上的振幅，则 。 另外，， 。 注意，振幅的非负性，于是 ， 亦即在上可积。 从本问题可以看到连续性概念是所谓的局部整体概念，既要证明在上连续，则要证明其在每点连续，所以从部分的连续性到整体的连续性，必须有重叠，两个部分区间都必须含分界点。而对于可积性（严格讲这里是黎曼（Riemannn）可积）是一个整体概念，从而在某局部点的值（甚至是有限个点的值，无穷多个孤立点的值）都不影响可积性，所以我们不要求重叠，而直接可以部分上升到整体可积性。此外，关于可积性的证明一般比较复杂，我们必须把分划弄清楚，特别要掌握本问题分情形讨论的方法。这种方法在后面我们还会经常碰到。关于整体与部分的概念和方法也远不止本讲所讨论的内容。另外，在本书的其他部分还会涉及到这方面的内容。