第一讲 整体与部分2 姚正安 §1.2 左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限，左右连续和左右导数等问题，也就是把整体问题分成两个部分问题来讨论。 问题 存在的充要条件是与存在并且相等． 分析：整体正确则部分必正确．反之，部分正确，则可＂拼＂出整体正确．关键是要弄清楚左、右极限的概念． 证明：必要性显然，仅须证良分性．设，从而对任给的，存在和， 当　时，　　　　　　　　　　　 ① 当－时，　　　　　　　　　　　 ② 取时，当时，则和二者必居其一，从而满足①或②，所以 ． 问题　　函数在点连续的充要条件是左连续且右连续． 　　　证明：在点连续即为．注意左连续即为，右连续即为，用问题即可证． 同理我们可证单变量实函数在可导的充要条件是在点的左、右导数存在且相等． 问题　　对任给的，　（为常数），且在某点右连续，则在中连续． 分析：我们仅须证明在某点连续，然后利用已知条件，证明在所有点上连续． 证明：设，而，得, 由此可得．另一方面，，得 ，所以，在右连续．下证在左连续． 由, , 令,得,从而． 下证在任意点皆连续．由 ，对取极限，注意，即得 ． 其实我们后面还将证明如此的为线性函数．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题． 问题　　海涅（）定理：存在的充分必要条件是对任给的序列，若满足（），则有存在． 分析：这实际上也是整体与部分的关系．只不过我们这里的部分是离散形式．必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法，抽取子序列． 证明：设，则对任给的，存在，当时， 　　　　　　　　　 ① 设（），则存在，当时，，从而满足①， 即，亦即． 　下证充分性　（１）　先证若（），，则 ． 取　则，从而 存在且 ． 于是对任给的序列，若（），则存在且极限值与的选取无关，记为． (2)　证明（反证法），若，则有，对任给的，总有满足且使得． 取，则有满足，使得  取，则有满足，使得 ， …　… 　　　　取，则有满足，使得 ， …　… 由此可以找到满足（），且 ， 　　　　　即时　　　　　，这与（１）之证矛盾． 问题　　设，则存在的充分必要条件是． 分析：注意，同时也有． 证明：设存在，则由柯西（）收敛准则，对任给的，存在，当，且时，，由此，注意当时，，所以必有．反之，设，则对任给的，存在，，由此，时，． 问题　　存在的充要条件是（下极限）与此同时（上极限）存在且相等． 分析：注意，． 证明：设，则对任给的，存在，有， 当时，注意到上、下极限的定义，则有 ． 由的任意性即得． 反之，设，则有，从而由由问题得证． 问题 单变量实函数在点连续的充要条件是在点上连续且下连续． 证明：注意上连续即为=，下连续即为=，再由问题即可得证． 仿问题的证明方法，我们可证 问题 存在的充要条件是对任给的满足条件>，的序列存在；存在的充要条件是对任给的满足条件<，的序列有存在． 问题　　设对一切满足等式，且在右连续，在连续，则在上恒为常数． 证明：由，从而为偶函数，仅须证在［上连续． 在［上＝，取，则，所以我们不妨设，则对任给的，有 　　 …， 由，得，从而用问题的结论和在点的连续性可知. 又在右连续，于是，所以在［上连续，从而在上边疆且恒为常数． 以下介绍连续变量离散化方法，即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质．事实上，前面的海涅定理即探讨这方面的问题． 问题　　函数在上连续，则函数在上达到最大值． 分析：设，则问题所要证的是存在，有． 证明：设，则对任给的，有，使得． 由有界，按致密性定理（问题），从而可选取的子序列，，，一方面，得 ，另一方面由连续性，由此． 同理，我们可证，上的连续函数在上可达到最小值．此外，这里（１，２，…）按极限的保序性有． 问题　　设为有界闭区间上一连续函数列，且 　　　　　……， 　　　　　处处存在． 　　试证在上必有最大值． 　　证明：在上连续，故有界，从而存在，使，，从而，． 令，则为有限数，对任给的有，.又是有界数列,则有收敛子列,设其极限为,即,于是 . 再令,,从而. 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 问题 在存在导数的充要条件是对任给的两数列(1,2,…), ,,有存在. 证明:若存在,即,从而对任给的,存在,当时, . 而　　　   由,于是有,当时,,从而 , 于是　　　=. 反之,设,则对任给的存在,存在,由问题,可得存在,即右可导．同理可证在左可导,下证左右导数相等.对 取为　　取为　 则　存在, 注意　　　　　.  同时注意到 (右导数),  (左导数), 所以, =. 此问题很容易误证,最常见的是用中值公式证明:令由得,然后得.这里犯了两点错误:(1) 在区间上并没有指出其满足中值定理条件,在必要性的证明中,我们仅知道存在,而在除外的其它点是否可导根本不知道.(2) 即使满足中值公式条件,但导数也未必连续,所以也不能从推导出.此外在本问题的充分性的证明中,为证明左、右极限相等我们构造了序列和,并且利用子序列的极限应等于原收敛序列的极限,这种构造性的方法望读者仔细体会.