微积分的进一步应用 微元法 曲边梯形的面积的求法． dA=f(x)dx (矩形面积＝底高) A== 整体量由局部围成，将实际问题抽象为定积分．从整体着眼，从局部入手，小区间在极限过程中缩小为一点．将区间上的整体量化成区间上一点的微分，亦称为微元，然后对区间上的各点无限累加――连续作加． 平面区域的面积． 直角坐标系 平面区域：  参数方程 曲线是参数方程x=(t) ,y=(t) ,(t) ,(t)及在［a,b］上连续，且(t)＝a, (t)=b. D由曲线x=(t) ,y=(t)及直线x=a与x=b围成，区域的面积 A= 例１．　椭圆　x=a cost y=b sint A= =ab = =(x-sin2x)  =ab 例２　旋轮线：x=a(t-sint) y=a(1-cost) (a ) 一拱与x轴围成的区域的面积 A= =3 3.极坐标  A=() A==  3 圆　　（0<） A== 双纽线．（ａ＞０）围成区域． A= ＝ 5．三叶玫瑰线　　 　　　　　  = 三．平面曲线的弧长  定义：若当时 L（T）=L MN可求长，其长为L Th1. f(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长 L= （1） 式是弧长公式。 证明： = =  L=  f(x)=在[0,a]上的弧长 解： = = 例10． 求曲线的全长     由公式（1） 曲线的全长  令= dx=2tdt 当x=0时t=0 节当x=1时t=1 则= =1+ 2．参数方程 Th2.参数方程  （） 在上连续，则  例 11 求半径为r的圆的周长 解：*  例 12 星形线的全长   3．极坐标 表示在上连续  B． 求心脏线的全长  变 力 作 功 例 1 空气活塞机的活塞面积是，在等温的压缩过程中，活塞由处（气体体积）压缩到,此时气体体积，求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的功。 解： 其中是比例常数。在上任意一点，气体体积，即。活塞面上的总压缩。在点活塞运动了，则在点空气压缩机消耗的功微元是：