第十七章 隐函数存在定理
例1 设,, 及 ,证明
证 方程组 确定了函数组 ,先求这个函数组对各变元的偏导数,为此,对方程组求微分得
, 即
故
将函数组代入方程,得关于变元的方程
,
在这方程两边分别对求偏导,得
将上面三式分别乘以后再相加,得
将,,代入即得
。
例2 若有连续二阶偏导数,满足方程,证明:若把中看成的函数,则它满足同样形状的方程 。
证 由确定是的函数,则有,方程两边分别对求偏导,得
(1)
(2)
式再分别对求偏导,得
(3)
(4)
(2)式再对求偏导,得
(5)
由(3)(5)式
(由(5)式)
由(4)式
因为,则
结合(4)式得
即 。
例3 设 ,问什么条件下是的函数啊?求。
解 当对各变元有连续的偏导数,且时,方程组可确定函数组,代入即得是的函数 。
对方程组 求微分,得
记,若,由(2)(3)式
代入(1)得
故 ,
注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数,会使计算简单一些。