第十七章 隐函数存在定理
例1 设,, 及 ,证明
证 方程组 确定了函数组 ,先求这个函数组对各变元的偏导数,为此,对方程组求微分得
, 即
故
将函数组代入方程,得关于变元的方程
,
在这方程两边分别对求偏导,得
将上面三式分别乘以后再相加,得
将,,代入即得
。
例2 若有连续二阶偏导数,满足方程,证明:若把中看成的函数,则它满足同样形状的方程 。
证 由确定是的函数,则有,方程两边分别对求偏导,得
(1)
(2)
式再分别对求偏导,得
(3)
(4)
(2)式再对求偏导,得
(5)
由(3)(5)式
(由(5)式)
由(4)式
因为,则
结合(4)式得
即 。
例3 设 ,问什么条件下是的函数啊?求。
解 当对各变元有连续的偏导数,且时,方程组可确定函数组,代入即得是的函数 。
对方程组 求微分,得
记,若,由(2)(3)式
代入(1)得
故 ,
注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数,会使计算简单一些。
第十八章 多元函数的极值
例1 求函数 在条件下的极值。
解 令
得 (1)
又 (2)
(3)
由(1)得 ,
当时得
,
故得,代入(2)(3)式得
解得稳定点,。
由对称性得,也是稳定点。
下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。
1、通过判别最值来求极值
注意约束集为单位圆,是有界闭集,故在其上必有最大(小)值,且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值:
,
最大者为极大值,最小者为极小值。
2、用无条件极值的充分性判别
令 ,
则 ,故在点的某邻域,方程组可唯一地确定可微函数组。
方程组两边对求导,得
再求导,得
将点代入,解得 ,
,
又
,
故是极小值点,是极大值点。由的对称性知,是极小值点,是极大值点。
极小值,
极大值。
3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时,所有变量是独立的,但应满足约束条件的微分在的关系式:
[]
因为
在点 即
又满足稳定点方程 得
故
所以是极小值点。由的对称性知,也是极小值点。同理可证,是极大值点。
极小值,
极大值。
例2 将长度为的铁丝分成三段,用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分法,才能使这三个图形的面积之和最小。
解 设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积
满足约束 ,
令
解得
约束集为有界闭集,故在其上必有最小值。在边界上,即解下列三个条件极值问题:
稳定点分别是
函数值分别是
, ,
又
, 。
比较上述7个函数值得,最小值为
。
下面再用无条件极值的充分性判别。
约束条件可确定。方程两边分别对求导,得
, ,
, ,
,
,
故稳定点是极小值点。从而是最小值点。
从几何上看,当是一常数时,是一椭球面,而约束条件给出一个平面在第一挂限的部分,如图示。当逐渐增大,首次与平面接触一点时,达到最小值。当继续增大时,的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。