第三章 极限与函数的连续性 §1 极限问题的提出 （Newton） 然后令 ，先 ，后。 （Cauchy） §2 数列的极限 Def1.定义域为自然数的函数称为数列，记为。。  也称为数列的通项。 Exa。，    极限的概念 Exam.1. ，当n无限大时，无限接近于0。因而的极限为0。 Exam.2.  Exam.3.  Exam.4.  Exam.5.  Def2.设是一数列，n是一实数，若对于（充要）N>0,当n>N时，都有 |-|< 则称收敛即它的极限为，记为。 几何意义：    － + 外面仅有有限项。 Def3.极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） 命题1. 的极限为n <=> 是无穷小量. Exam.6.证明: . 证明:,要使 |－0|<<. 只要,取N= 则当n>N时,有 |－0|=≤< Exam.7.设||<1,证明. ||n= Ex8.设a>0,证明. 证明:a≥1, . Ex9.证明. 2.极限与四则运算及与不等式的关系. Th1.设,,则 (1) ; (2) ; (3) . Th2.(有界性)设,则有界. 证明: 对时, |－|<1 －1<<+1 ||≤||+1 取M=max{1+||,||,||,…, ||}>0, 则 ||≤M, n=1,2,… 推论1.若无界,则发散. 定理3（保号性）：若,则N,当n>N时,有。 证明：由，取，N 当n>N时， |－|< >-=>0 0    推论2：设 ， 若 ,N，当n>N时，有 ； 若,N，当n>N时，有 。 定理1的证明： 1． 。 定理4：若{}是无穷小量，{}是有界数列，则{＋}是无穷小量。 Ex.11. 。 Ex.12.  。 定理5（保序性）：若，，N，当n>N时， 。 Th6.（极限不等式）   且   则 Th7. (夹迫性)：   =>  Ex13  其中A>B>0 求证  …