第一章 绪论 本次教学内容: 绪论 a. 介绍数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数(连续量) 描述什么是连续量? Example: 时间 t与位移S 连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念). 连续量的运算体系及其数学理论 (微积分) b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除) c. 两种体系的区别. 初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念) d. 学习方法的不同 初、高中： 从填鸭式 －> 启发式 以教师为主，强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 －> 个人自发 以学生本身为主，教师引导。 e. 微分问题 一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率。 Example: “瞬时”速度 积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成积累 example: 质点受力作用的位移，求力作用的功。 e、f 互为逆运算 微积分的发展历史 产生于17世纪 伽利略(Galileo 1564-1642) 落体速度的变化 惯性定律 用数学公式定量地描述物体学的规律（速度运动）（力做功） 笛卡儿（Descartes 1596-1650）和费儿玛（Fermat 1601-1665）创立的解析几何 曲线的切线 下方图形的面积 牛顿（Newton 1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz 1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。 从形式演算—> 严格的科学体系 哥西 (Cauchy 1789-1857) 波尔察诺（Bolzano 1781-1848） 维尔斯特拉斯（Weierstrass 1815-1897） （用极限的概念） 戴德金（Dedekind 1831-1916） 康托（Cantor 1845-1918） 维尔斯特拉斯又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论 注意：形成过程 演算体系(极限概念刻划( 基石：实数连续统 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法， 更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。简单的说，拿任何一本书都能看懂，兼收并蓄。 2．实数连续统 是重点与难点 离散量的特征：有最简单的最小的单元 example: 自然数，可数 连续量 example: 时间t 不能分解成最小的单元 问题：连续量的刻划 有理数 必须研究数系 几何模型 实数轴 0 回忆集合的概念 表示方法：列举法，解析法 A={张三，李四，王五，赵六,…} A={x|x是正偶数}={2,4,6,8,…}   S是一个数集，定义一种运算“” S中有次序的数a与b（有时有限制）有确定的数与之对应  如果对，都有，则称对运算是封闭的。 Example1: 自然数集，对于加法和乘法封闭。并且对加法和乘法满足交换律、结合律及分配律。 是一个数系。   数系中有顺序关系（大小关系） 对任意的a与b，下列关系有且仅有一个成立  顺序关系的传递性 若 自然数，存在归纳法。 Example2 整数系  Example3 有理数系  有理数的稠密性  Th1 不存在有理数使得 把直线分割成两部分，必有唯一的分点。 Def 1, S有大小顺序分成 A, B 两类 不空；A与B都至少包含S中的一个数 不漏；S中的每个数, S=AB 不乱； A,,必有ab A,B为取的S的一个分划，记为A|B A称为分划的下类，B称为分划的上类. Ex.  ， 戴德金连续准则 如果有大小顺序稠密的数系 S, 对它的每一个分划，都有S中唯一的数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一个数，那么数系S连续的 ,  第二次课 实数基本定理：对R的每一个分划，必有唯一的实数，它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。 证明：往证 存在唯一的实数 ，使得对任意有，对任意有. 1.先确定，先看整数，由非空知，有整数属于，若对任意整数且同时有  是空集，矛盾。所以我们知必有整数，使得，而 其次考虑 .0, .1,.2,…., .9 这时必存在是0，1,…,9中的某数，使得.,.(若=9，则.) 如此继续下去，在确定了，即：   …. ,   …. ,…..,   ….  由此确定，使得  …. ；   …. ，这样，便得到实数  …. … 2. 下证：对任意，有。 用反证法，如果不然， ，有, 设  这时必须存在非负整数，使得 ，而  有 因此     …   从而有，这与是一个分划矛盾。这就证明了对任意 ，有。 同理可证，对任意，有。 3. 下证唯一性。 （反证法），否则 ，同时对任意 ，， 对任意 有 ，不妨设， 令  显然   ，， 这与是的一个分划矛盾。 区间的表示法 闭区间  开区间  ， 半开半闭区间。 实数是有理数系的连续扩充。