第一章 运动学 （上） （第一章上参阅教材§1．2．§1．3．§2．1．§2．2．） 运动学研究机械运动的描述方法，也就是讨论机械运动的几何学方面的特性，而不涉及机械运动变化的原因，即不涉及动力学方面的特性。 1．1．质点运动学 （参阅教材§1．2．） 1．质点运动学描述质点的机械运动，主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有：矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢来表示，利用求导数的方法可求得速度和加速度；利用积分可作上述运算的逆运算。 2．为了对质点的机械运动进行具体的描述，必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有： （1）直角坐标：坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族，沿坐标曲线的矢量（组成一组基矢）方向是不变的，且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量作为基矢（平面直角坐标情况相仿）。这些特点使我们运用起来很方便。 （2）平面极坐标（当质点在平面运动时，有时可选用） （3）球坐标（球极坐标） （4）柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标，曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族，（因而在各点沿坐标曲线的切线的单位矢量，方向可能不同，但只和质点的位置有关，而和速度无关）；当然也不完全排除直线族（例如：柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族；平面极坐标、球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族）。 在这三种情况下，沿坐标曲线（的切线）的单位矢量依然是相互垂直的（我们称之为正交的），因而它们满足 （特别）。若依赖于任意参数，则。特别若为单位矢量与某一固定方向的夹角，则有。例如：在平面极坐标情形下，取互相垂直的径向和横向单位基矢，可求得 ； ；进而可求得和的表达式。（以上参阅教材5－7页） 在此给出球坐标系（球极坐标）中求速度加速度的运算过程： 可求得九个偏导数  可求得九个偏导数,进一步可求得： ； ,   由此可见       ，，， ，，， ，，     进一步可以求得加速度表达式。参见教材7页（2．21）式。（其他坐标系中的运算也可仿此进行） 为什么要有多种坐标系供选用？根据问题的特点（包括：力、势能、约束等的对称性及其它特点），选用适当的坐标比较方便。（当然，采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则上“不可能”。） 例如约束于球面上的运动质点，若用直角坐标，则三个坐标并不完全独立，需附加一约束方程；若用球坐标，约束方程简化为，径向坐标为常数，实际上只需两个独立坐标。（在平面、圆周、圆柱面、圆锥面等各种约束的情况，应如何处理？）又如由于相互作用力的特点，例如保守的有心力（只与有关），若采用平面极坐标，则很容易化为一维问题。（详见第二章） *【思考】柱坐标和球坐标都可看成平面极坐标到三维空间的不同的推广，能否推广到更高维空间？ *(5)一般的曲线坐标（本段内容可参阅参考资料2上册第一章§9） 在这种情况下，沿坐标曲线的单位矢量不限于相互正交 我们用和记曲线坐标，把直角坐标和曲线坐标之间的变换记为    满足  曲线坐标系的坐标曲面记为  ，坐标曲线记为    矢径表为  仿照前面的计算可求得沿坐标曲线的基矢 ，  一般不一定正交归一，甚至量纲都可以不为1，但必定是线性独立的。 对于非正交归一基，矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实2维空间的矢量为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢再建立一组一般不正交归一的基矢 ，但要求系数行列式，以保证它们线性独立。 引进度规张量，一般说，其量纲也可能不为1。考虑任意一个矢量，一方面可以用平行四边形法则表为 ，另一方面，还可以用矢量在基矢上的投影来表示：一般说， ， 称为逆变分量，称为协变分量，它们之间有如下的关系：  （§） 一般地，矢量长度的平方 也 ，事实上， 由于线性独立，可由（§）式解出，其中系数满足  ，以及  ，因而与是互逆的矩阵。 （） 若记，则有.由上可知，度规张量和有升降指标之功能。这种功能还能推广到高阶张量，例如： ， 用到度规张量本身，就得到  ，与（）式比较可知，以及就是Kronecker －记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式：  对于正交归一化的基，我们有 ，度规矩阵成为单位矩阵，从而 ，逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到维情形，必要时也可推广到复数情形。 现在我们可以利用度规张量来计算速度和加速度矢量的表达式了。利用矢径公式  可以求出元位移的表达式  ，其中是元位移的逆变分量，而它的协变分量则为 从而弧微分的平方可以表为  ，进而我们可以速度的表达式 ， 由此得  ，以及 下面我们来计算加速度的协变分量（进而计算逆变分量也就不难了）  在以上计算过程中用到了下列关系  和  这两个被称为第一和第二拉格朗日经典关系的公式（请同学自行从已有关系中导出）。 把这些结果运用到牛顿动力学方程，由出发，求等式在坐标基矢上的投影，得到 即  这就是单质点力学体系的拉格朗日方程（推广到质点系并无原则上的困难，见第三章）。 思考与练习 1。利用一般曲线坐标系的公式求球坐标系中速度和加速度的表达式，并和以前学过的多种方法作比较。 2。，其中为一组正交归一基矢，另取一组基矢，求在这组基矢下的以及矢量在这组基矢下的以及 . 3。设 ，为正交归一基，一般不是正交归一基。 求证：  （6）自然坐标(教材7－9页) 自然坐标的基矢与速度的方向有关，（不同于前述的几种坐标） 密切平面：几何学：切线与主法线所张的平面。 运动学：速度与加速度所张的平面。 动力学：作用力与速度所张的平面（作用力总在密切平面内）。 曲率半径的公式的证明：参阅有关微分几何的书籍。 3．现在我们来讨论受约束的质点如何运动。在有约束的情况下，独立坐标数目减少。约束可以用约束方程来表示。 【例1】 平面上的曲线约束：独立坐标数目从2减少为1，可以选用或为独立坐标， 也可以用参数方程表示这条曲线：这样我们可选用作为独立坐标，以代替或，这样的坐标称为广义坐标，记为 例如： 圆   可以选 为广义坐标。 我们熟悉的匀速圆周运动就可以:表为： 【例2】空间的曲面约束： 独立坐标数目从3减少为2 也可以用参数方程表示：可选独立的广义坐标为 例如：球面   选 【例3】空间的曲线约束： 可以用参数方程表示：  独立坐标数目从3减少为1，可选 1．2．质点系运动学（参阅教材§1．3．） 1．质点系：多个质点所组成的力学体系。个质点，用3n 个坐标描述他们的运动。质点系的运动学似乎只是质点运动学的直接延拓。其实不然，一方面，由于约束的存在，问题并非如此简单；另一方面，引入广义坐标却提供了简化问题的可能性。（质点系的质点数目极其巨大时，这个方法不适用——需要统计物理。）下面我们先来看两体问题（讨论两个质点组成的质点系）的一个实例。 【例4】 在平面上运动的两质点以定长刚性棒相互固连 一个约束方程可以选三个独立的广义坐标为：（3=41）两质点连线中点的坐标和连线方向的角坐标，（这里所选的都不是某一质点的坐标，而是属于整个质点系的广义坐标）即： ，，  或 ，； ， 【思考】选取广义坐标的方法是不是唯一的？ 1．3．约束 广义坐标 自由度（§2．1．§2．2．） 1．约束的实例 一般地，质点或质点系所受到的约束可以用约束方程来表示。此时独立坐标的数目相应减少。例如个质点组成的质点系受到个约束：，此时独立坐标的数目减少为。可以选用适当的个独立的广义坐标。此时也可以看作质点系约束在维空间中的维超曲面上。我们再举几个约束的实例： 【例5】用（细轻软不可伸长的）绳子连结两质点跨过轻滑轮（此力学体系位于竖直平面内，有4个坐标） 三个约束方程： 可以选独立的广义坐标为：就有： 【例6】置于竖直墙和水平地面间的光滑刚性杆   选 【例7]】双单摆（178页例1）选 【例8】 碗边上的筷   选独立的广义坐标 以上约束方程均不显含，称为稳定约束。相反，显含的约束方程所描述的约束称为非稳定约束。 【例9】膨胀着的肥皂泡：约束方程为： 利用球坐标 可选独立的广义坐标为： 以上约束方程均不显含速度，，称为几何约束。显含速度的约束方程：  所描述的约束称为微分约束（或运动约束）。有的微分约束可以经积分得到几何约束： 【例10】沿直线作纯滚的圆轮受约束 （在没有解出动力学方程之前）可以通过积分化成几何约束 ，积分常数可由初条件确定。 在有滑动的情况下，就没有这个纯滚约束。 我们再举几个例子。 【例11】外方内圆平面刚体挂在钉上，可摆动： 可滑动  2个独立坐标 不可滑动  1个独立坐标 【例12】如例4。滑轮系统，滑轮也作为体系的一部分： 可滑动  2个独立坐标 不可滑动  1个独立坐标 几何约束和可积的微分约束称为完整约束。这种约束是加在坐标上的限制，利用完整约束可以将其中一个坐标表为其他坐标的函数，因此，每增加一个独立的完整约束，就减少一个独立的坐标。 【思考】可积的微分约束与几何约束有没有区别？（注意：可积的微分约束与几何约束还是有所区别。可积的微分约束积分后所得到的约束方程含有积分常数，实际上是一族方程，应根据问题的初值或其他条件选定方程。有的作者把可积分的微分约束称为半完整约束。） 有的微分约束则不可积分： 【例13】冰刀问题：冰刀在平面上运动，两端点坐标为和冰刀长度不变，有 几何约束： 中点速度沿冰刀方向，约束方程为：  即  是不可积分的。 不可积分的微分约束又称为非完整约束。(由不可积分的微分约束不能得到这样的方程，这种约束不是对坐标所加的限制，而是对坐标和速度的关系所加的限制，所以不能减少独立坐标的数目)非完整约束还可分为：线性非完整约束和非线性非完整约束。 至此我们只讨论了双面约束（不可解约束，固执约束；用等式描述的约束），还有一种用不等式描述的约束称为单面约束（可解约束，非固执约束），由于它也不能减少独立坐标的数目，因此也可归入非完整约束（教材39页）。 【例14】质点在球面外滑动，但可向外脱离球面。 质点脱离球面时，实际上约束不再存在。对坐标没有限制。 在本课程中主要研究双面约束、完整约束。 综上所述, 在系统的点的位置和速度上，事先加上一些几何的或者运动学特性的限制，称为约束。约束条件都可用 约束方程  或约束不等式    来表达。随着近代科技的发展，约束概念有了扩充。(参阅资料3第11页) 2．广义坐标。 在有约束的情况下，选用适当的坐标系，往往会简化问题。现在，我们来一般地讨论质点系的广义坐标。 广义坐标既称为坐标，当然要满足坐标的基本要求，即坐标的一组取值与质点系的位形之间有一一对应的关系(广义坐标张成的空间称为位形空间)。广义坐标又应该是相互独立的，即全部约束方程都变为恒等式。广义坐标也可以选取得不完全独立。称为有多余坐标的情形。（我们暂不考虑） 【例15】有多余坐标的四连杆机构。（参考资料3第12 页例3） 广义坐标之所以称为“广义”，其含义：不仅可以是长度、角度，而且可以是面积、体积等；不仅可以是几何量，而且可以是其他物理量；不仅可以从各质点的坐标中选取，而且可以引入不是属于任一质点，而是属于整个质点系的广义坐标（§2．2）。 当然熟知的质点的曲线坐标如：球坐标，柱坐标，平面极坐标以至直角坐标也都是广义坐标的例子。 广义坐标的优越性在于能简化问题，这就要求选取得适当。选取适当是指：和系统所受的约束互相协调，能使约束方程化为恒等式；便于解决我们的问题（在很大程度上依靠经验，应注意积累经验）。 3．广义坐标的数学表述： 一系统，个质点，个完整约束： 选取个独立的广义坐标，我们可以通过坐标变换引入广义坐标：或个直角坐标表达式。如果约束是稳定的，我们有可能（不是必须）采用不显含的坐标变换。例如：在稳定约束下，引入广义坐标，可以采用：  （不含）但也可以采用： （含） 因此上述坐标变换式显含，并不能推断约束是不稳定的。 如果约束是非稳定的，一般说，应采用显含的变换式  ，  才能使非稳定约束化为恒等式。 4．广义速度：可以用广义坐标直接算出： 对上述坐标变换式求导数，可得速度变换式（个矢量关系式或个直角坐标关系式）：  其中为广义速度。进一步可得即第一个经典关系。（在拉格朗日力学中，在运用偏导数符号时，我们总是把视作相互独立的变量。） 以上推导，无论约束是否稳定，无论坐标变换式是否显含，都是成立的。 对上式继续求导数，可得加速度变换：   为广义加速度。 也可写成个直角坐标表示的公式。以上推导过程中实际上已经导出了第二个经典关系：   5．完整体系的自由度 一般地说，如果质点系有个质点，有个完整约束，则应有个独立的广义坐标。叫做这个（完整）体系的自由度，（这里我们没有考虑非完整约束。）和独立的广义坐标的数目相同。 作业：第一章习题 质点运动学：28页1．2； 1．7；*1．8；1．12；补充题：参考资料1： 质点系运动学；约束：28页1．1；