牛顿动力学方程 (上) (参阅教材第一章;第三章) 2.1.质点的牛顿动力学方程概述 1.质点的牛顿动力学方程(见§1.2.) 2.质点的动力学定理 (参阅§1.4.-§1.6.)均由牛顿动力学方程导出 (作为复习可阅读11,13,16页) 3.质点动力学的三个运动积分(参阅§1.4.-§1.6.) 4.简单实例 抛射体 单摆 (自行复习) *5.变质量质点(参阅§1.7.自行选学) 2.2.在中心力场中单粒子的运动 有效势能 1.中心力场:力场中力的作用线保持通过一固定点(力心),质点的矢径   为径向单位矢量。 注意:这里与力的大小含义不同。事实上是中心力在径向单位矢量上的投影。> 0 对应于斥力;  < 0 对应于引力。 中心力场的特点:中心力场可以表为: 是的数量函数。 角动量守恒: 中心力场的力矩 即 从而得到角动量守恒:(即面积速度守恒) 平面运动: 由角动量守恒得  所以在中心力场中的质点必在平面内运动。因而可采用平面极坐标。从而  角动量守恒可表为或(为2倍面积速度) 2.有势力场: ,或 或变换到球坐标 其中:,,,或   (请同学们自行计算,可参阅第一章1.2.节球坐标的有关公式。) 于是就得到: 3.中心势场:上述两方面条件都要满足,即,即势能只与有关: ,  思考:1.有势:;2.是中心力场:;3.与无关:;在以上三者中,已知其中两者成立,能否推出另一者也成立? 4.在中心势场中单粒子运动的解 (参阅70—71页) 动力学微分方程:  对上面的微分方程组积分,得到,消去得到轨道方程。具体做,可利用守恒定律(初积分):从(1)得角动量守恒, (是面积速度的两倍,) . (3) 在(2)中消去,得的微分方程,求另一个初积分,得能量守恒,  (4) 其中第二项为离心势能,二、三两项之和 为有效势能。 进一步对(3)和(4)式进行积分(参阅教材(2。7)—(2。9)式)可得运动方程:  和轨道方程:  【思考】1.(5)(7)式中的号怎样确定?(6)式中应该有号吗? 2.分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系。 另一种方法:利用比耐(Binet)公式直接求轨道方程,然后求运动方程。(见教材80页)具体方法如下: 利用可将运动微分方程(2)中的消去.(并记)事实上,    于是得到比耐公式(轨道微分方程): (8) 方程(8)中的应满足中心力的要求,但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程或进一步可利用角动量守恒求得运动方程。在中心力有势的条件下,能量积分可由(4)式经变量代换得到:(也可由比耐公式(8)积分得到)  (9) 5.讨论;(不仅要会定量计算,分析结果的物理意义,也要会分析得到一些定性的结论) 不变号:得到的单调性(增或减随坐标的不同选择而定。) 面积速度守恒(本质就是角动量守恒) : 由于角动量守恒,很容易得到满足的一维方程(利用(3)式消去(2)式中的)  转变点和轨道的有限性和无限性; 可以由取值的范围判断轨道的有限与无限;  轨道伸向无限。  轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限;  质点不可能到无限远处(束缚态)  质点可以到无限远处(散射态) *轨道的封闭性的讨论(见71—72页)。 *中心势场中粒子运动轨道的稳定性 (见§3.4.) 【例】 与距离成反比的中心势场 (牛顿引力势和库仑静电势均属此。)分为两种情况:“+”对应于排斥势,“—”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。 万有引力就是一个实例  引力势   其中 :太阳质量; :行星质量; :万有引力常数; 太阳的高斯常数(注意:这里我们设定 ∞ 处的势能值为零) 1.利用对有效势能的定量的分析(必有一负的极小值)得到对粒子运动情况的定性描述(由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限)。(见74—75页) 2. 利用比耐公式:  解得: 或  其中为积分常数,这是圆锥曲线,力心位于一个焦点。适当选择极轴,使 , 与圆锥曲线的标准方程  相比较可得: 半通径, 偏心率 也可利用由能量积分得到的(7)式推导轨道方程(见76页)并与圆锥曲线的标准方程  相比可得:, 讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。(76—77页) 与圆锥曲线的标准方程相比较就可得到物理参量和几何参量之间的关系:  或  当,,轨道为椭圆。与直角坐标系中的椭圆标准方程 相比较,可得: ,  ,  当,轨道为抛物线;当,轨道为双曲线。三类轨道的主要特性,列表比较如下: 轨道的分类: 双曲线 抛物线 椭圆 (圆)        ( ) 当     (半实轴) (焦顶距) (半长轴)       3.有了轨道方程,可以进一步推导运动方程(78页) 讨论排斥势(78—79页),为正,必须大于零。轨道必定为双曲线。 由为使, 当,达到(在直角坐标系中的标准方程下,力心所在的焦点和这支双曲线分别位于原点的左右两侧。) 开普勒(Kepler)三定律(77页) 2.3.质点系的牛顿动力学方程 1.从动力学方面看,一个质点系能不能归结为单个质点的力学问题,要看这些质点间有没有相互作用力,有没有涉及两个或多个质点的约束关系(此时约束力就是相互作用力)。 10页的实例: (1)忽略太阳的运动,忽略行星间相互作用:各行星为独立的质点。 (2)太阳质量有限,忽略其余行星的质量:地球与太阳是两体问题。 (3)太阳和行星间的所有相互作用均考虑:太阳系是一个质点系。 2.质点系的牛顿动力学方程  共个方程,含个未知函数,正好求解。 如果还有个约束则包含主动力(一般为已知的)和未知的约束力。这样方程多了个,未知函数也增加个(一个约束一般地提供一 个未知的约束力)。由此可见约束越多,方程  个数越多,未知函数个数也越多,问题也就越 复杂。用牛顿定律解有约束的力学问题时,通   常总要先消去未知的约束力和不独立的坐标。  我们来讨论第10页图1.7的实例(参阅 10页33页) 牛顿方程为  1个约束方程为 (参阅教材33页) 1个约束方程使未知量和方程都增加了1个:4个未知量(3个未知坐标函数和1个未知约束力),由4个方程(3个动力学方程和1个约束方程)决定;约束的存在也使3个坐标不再完全独立,于是可利用约束方程(4) 将消去,同时使约束方程自动成为恒等式。再将(1)(3)两式相加,可以消去未知的约束力。这样化简为含两个未知量的两个方程(见33页(5),(6)式)。这是解牛顿动力学方程时常用的方法,但在较复杂情况下,对质点系中每个质点写出动力学方程组是很不方便的。我们将在第三章(拉格朗日力学)中系统地讨论寻找消去未知约束力的比较方便的方法。这里我们只从整体方面来研究质点系的动力学。为此先讨论质点系的动量、角动量和动能。 3.质点系的动量、角动量和动能 为此我们先引入质点系质心的概念:设质点系的第个质点的质量为,矢径 质心的矢径,由下式定义: 设相对于质心的矢径,则 可得 这样定义的质心,必须不依赖原点的选择,才有物理意义。(思考:如何证明?) 对于质量均匀分布的物体而言,质心就是形心。对于位于均匀重力场中的物体而言,质心就是重心。 质点系的动量 其中: (质心的动量) (相对于质心的动量) 质点系的角动量 (相对于“固定点”——惯性系的坐标原点) 其中:(质心的角动量) (相对于质心的角动量) 质点系的动能:(寇尼希定理)  其中:(质心的动能)(相对于质心的动能) 质点系的内力和外力:质点所受的作用力,右边两项分别为外力和内力, 为质点对质点的作用力,由牛顿第三定律  得 从而  质点系的内力矩和外力矩:质点所受的作用力矩 内力矩对  从而 注意:内力作的功一般不能抵消,这是因为内力对的功一般不能抵消: 。 综上所述,质点系的动量,角动量和动能都可以分解成质心的和相对于质心的两部分之和。前者可看成把质量集中于质心的一个质点的物理量,后者与相对于固定点的物理量具有相同的形式;因此这种分解是很方便的。 4.质点系的三个动力学定理 从整体方面来研究质点系的动力学,具体说来就是动力学的三大定理[动量定理,角动量定理,动能定理,分别见第一章的(4.11)(5.5)(6.4)]。质点系的三个动力学定理均由质点的三个动力学定理导出(12,14,17页),一共七个方程。质点系的角动量定理和动能定理,在惯性系和质心系(15页)中具有相同的形式,相互等价(16,17页)。 【思考】是否需要讨论质心系中的动量定理? 注:由于角动量的定义既依赖参考系,又依赖参考点的选择,(依赖参考系,的终点依赖参考系,起点还依赖参考点)。因此角动量定理的表达式也既与参考系有关,又与参考点的选择有关(一般情况下的讨论见15-16页)。 5.质点系的三个守恒定律 质点系的三个守恒定律由质点系的三个动力学定理在一定条件下得到。 当则有即动量守恒定律 当则有即角动量守恒定律。 注意:由于动量和角动量都是矢量,对应的守恒定律还可以在某个方向上成立: 当(是常矢量)则有即动量在某一方向上的投影守恒 相仿角动量也可有某一方向上的投影守恒。 由于动能守恒要求的条件太强,意义不大。有重要意义的是有势力情形下的机械能守恒定律。如果则 即这是机械能守恒定律。 说明:.动力学三大定理和动力学方程原则上是等价的(前者就是后者的初积分),可以互相代替。只是在不同的情况下,用不同方法,繁简程度各不相同。 .根据已知力的不同情况选择不同的方法。例如:力只是时间的函数,用动量定理往往比较方便;力只是空间坐标的函数,用动能定理可能比较方便。 .视问题的不同要求选择不同的方法。例如:如要求某个时刻的量,可能用动量定理比较方便;如果要求某个空间位置的量,可能用动能定理比较方便。 .若某个守恒定律成立,则可直接利用。 .在学习过程中,注意积累经验,提高灵活运用各种方法的能力。 6.运动积分和约束的区别和关系。 2.4.两体问题 1.我们来讨论由两个质点组成的质点系,即两体问题。通常两体问题可以得到严格的解:两体运动总可分解为质心运动和相对运动(或相对于质心的运动)两部分,在势能满足一定条件时(即势能也可作相应的分解),这两部分运动分别相当于一个单粒子问题。这里“严格”并不意味着可用初等函数来表示精确的解,事实上,能够这样求解的单粒子问题也为数不多。(注:任何质点系的运动都可分解为质心运动和相对于质心的运动,而且质心运动总是相当于一个单粒子的运动;但只有两体问题中,相对于质心的运动才可以表为用相对矢径和折合质量表征的单粒子运动。在三体问题中,相对于质心的运动无法精确分解为单粒子运动。更不用说质点更多的情况了。) 【例】地球围绕太阳运动在忽略其他天体的作用力的条件下就是一个两体问题。可以将这个两体问题分解为两个单体问题: 太阳和地球组成的力学体系的质心的运动; 地球围绕太阳转动(相对运动)或地球与太阳一起围绕质心转动(相对于质心的运动)。 2.两体运动分解为质心运动和相对运动的具体方法: 注意坐标系的取法和记法:以0标记惯性系中的矢量,其中固定坐标系(实验室坐标系),为质心,质心坐标系为以为原点,各坐标轴分别与固定坐标系对应轴平行。 质点(图3。2)质量,矢径(1) 质心的矢径,满足  (2) 相对矢径  (3) 由(2)可以得到  (4) 由(3)、(4)可以将各质点相对于质心的矢径表为: , (5) 我们可以利用(1)和(5)式把各粒子的矢径表为质心的矢径和相对矢径的线性组合: ,  (6) 这样,两体运动就可以看成质心运动和相对运动的合成。上述过程也就是选择质心坐标和相对坐标为广义坐标的过程。 3.质点系的动量、角动量和动能均可表为质心的与相对于质心的两部分之和。质心部分已经表为单粒子的物理量(见2.3.质点系的牛顿动力学方程3.其中:), 相对于质心的部分,在两体问题的特殊情况下,也可以表为单粒子的物理量的形式: ,, 其中: 为相对运动的速度,为折合质量。 4.势能的表达式可近似表为:  后项(内力的势能)一般总能成立。重要的一类情况是中心势场,内力沿着矢径方向。而前项(外力的势能)的表达式往往只是近似成立,但当外场相对很弱,以致可以忽略,总可认为此结论成立。此时,质心近似作惯性运动。只需研究相对运动部分。在内力为中心势场的情况下,相对运动可以看成一个质量为折合质量的质点在中心势场中的运动。(以上讨论见69页)这样,两体问题确实可以化为两个单粒子问题。 5.两体问题的牛顿动力学方程:为简单起见,只考虑不受外力的情形:设内力,其中为的标量函数。牛顿动力学方程为:   (1)+(2)得  (质心运动:匀速直线运动)。 (3) (1)—(2)得(相对运动) (4) 两体问题的牛顿动力学方程确实可化为两个单粒子问题的动力学方程(3)(4)。比较(1)和(4),和满足几乎相同的方程,差别只在于和不同。 (4)或得满足的方程:  或 (相对于质心的运动) (5) 比较(4)和(5),我们发现,相对运动和相对于质心的运动所满足的动力学方程形式相似。这是因为,之间只差一常系数。 比较(1)(2)和(5)发现和满足相同的方程,这个结果只在没有外场(因而的条件下成立。 【思考】如果有外力场,以上各公式应如何修改? 如果两个粒子质量相差很大,例如:很大,且(相当于可视作),则质心近似与粒子2重合,粒子2近似固定。可取粒子2所在之点为参考点,则,此时质心系和实验室系相同。比较(4)、(5)与(1)可见,相对运动(或相对于质心的运动)部分与质点1的运动近似相同。此时只需研究粒子1的运动即可(一个质点的动力学问题)。特别,在内力为中心势场的情况下,质点2只是提供了一个中心势场。上述情况是物理上经常碰到的,这就是在2.2.中讨论的中心势场中单粒子运动。 实际上,,粒子2不可能不动,当粒子2的运动不能忽略时,我们必须研究质心的运动和相对运动(或相对于质心的运动)。(参阅教材§3.1.) 2.5.碰撞与散射 弹性碰撞: 碰撞(散射):两质点从相距处飞来,接近到小距离范围内才有显著相互作用,经很短时间改变运动状态,向无穷远飞去。(这里所说的碰撞不限于两质点直接接触,例如:库仑散射;这里无穷远是指比有显著相互作用的小距离范围的尺度大得多。例如:核力的作用范围约为米,那么数十厘米的距离完全可以认为是无穷远了。) 外场一般很弱,碰撞前后粒子均可视作自由粒子;在碰撞的短时间内,其影响也一般可忽略。(例如;在重力场中的水平面内进行散射,重力的影响一般可忽略)。质心作匀速直线运动,为常矢量,碰撞前后,因此动量和角动量都是守恒的。对弹性碰撞,机械能也守恒。 弹性碰撞(弹性散射):每个粒子的内部状态不变(内能不变)。质点系的能量(包括动能、势能和内能)总是守恒的,内能不变就有机械能守恒;在忽略外场条件下,碰撞前后又是处于自由粒子状态,我们说弹性散射能量守恒实际上是指碰撞前后动能相等。(我们在此不讨论非弹性散射)既然体系的初终态均为相距无穷远且作相互运动,总能量应大于无穷远处的势能,即。研究碰撞问题包括两个方面: 碰撞的运动学问题:只利用守恒定律决定碰撞前后物理量必须满足的关系,不涉及相互作用的细节。(本节只讨论运动学问题) 碰撞的动力学问题:研究相互作用细节对运动状态改变的影响,及其逆问题。 2.在质心系和实验室系中碰撞前后质点的速度、动量和动能 质心坐标系和实验室坐标系(69页)分别固定于质心系(见15页;即质心参考系,一般为非惯性系,除非质心作匀速直线运动)和实验室系(见68页;即实验室参考系,惯性系)。有关各物理量列表对照如下: 碰撞前后质心系和实验室系各物理量的公式对照表 质心系 实验室系 碰 速度,  , 撞 相对速度  , 前 动量    碰 速度, , 撞 相对速度    后 动量   动量守恒  能量守恒  说明:用下标0标记实验室系中的物理量; 用上标’标记碰撞后的物理量; 用带箭头的字母标记矢量,而用不带箭头的同一字母标记这个矢量的长度; 表示沿质心系中第一个粒子碰撞后速度方向的单位矢量(利用守恒定律不能确定); 在质心系中,由于动量守恒,且动量的矢量和为零,即可求得碰撞前后各速度和动量的表达式。(碰撞前,;可求得,碰撞后情况相仿) 进一步,在弹性散射条件下,由于能量守恒也成立,从而推得,碰撞前后粒子的速率不变,即 ,,这样由上表中碰撞前后动量表达式可进一步推得于是 ,, 即 就得到上表左栏中的各公式;并进一步可写出动量守恒和能量守恒的表达式。 把公式中各速度由质心系变换到实验室系,就得到上表右栏中的对应各公式。 下面用几何图形来解释上面得到的结果,并借助几何方法求得一些有用的关系, (注意:图中的矢量所表示的物理量是动量,而不是速度。) 图3.9(a)质心系碰撞前后两粒子的四个动量大小相等,方向两两相反,,,,可以用一个圆(以为半径)内的四个矢量来表示。 直径和分别表示碰撞前后粒子运动的方向,因此是质心系中粒子1的偏转角。在碰撞前粒子运动方向确定的情况下,碰撞后粒子运动的方向仍不确定,(思考:受那些因素影响?)因此直径可在任意位置,即可取的任意值。 图3.9(b)实验室系(和质心系相比)各粒子速度应加上同一矢量,(与不一定平行)但各动量应加上的矢量各不相同。在实验室系中四个动量大小方向可以各不相同。仍然在以为半径的圆内,分别表示各粒子碰撞后的动量(点可在圆周上变动,反映碰撞后粒子动量的各种可能情况)。表示碰撞后两粒子动量之和,也就是碰撞前两粒子动量之和(各代表什么?不代表碰撞前两粒子的动量,因为质心速度与碰撞前两粒子的速度不一定平行。,),但不能由此确定碰撞前各粒子的动量(只知道碰撞前两粒子动量之和也由表示,且应满足动能守恒),当然也不能确定粒子的偏转角。 图3.10和图3。12表示:碰撞前一个粒子(例如)静止,(,即靶核静止)的各种情况。这时可知:点位于圆上,碰撞前粒子1沿方向运动;而点的位置(在圆内、圆外或圆上)由(或)决定。在此情况下,可以导出质心系和实验室系中偏转角之间的关系。(参阅图3。11)这部分内容,推导虽有些冗长,但难度不大,可参阅85—87页。 2.6.散射截面: 1.本节讨论动力学问题。也就是讨论相互作用对碰撞前后粒子运动状态变化的影响,也就是对偏转角的影响。 2.图3.13.粒子2固定在点(散射中心)不动。(这个两体问题相当于,质心保持与粒子2重合,即与重合,此时质心系和实验室系相同。这个问题也可以看成粒子1在一个固定的中心势场中运动,那就是一个单质点运动的问题了,粒子2只是给粒子1提供了一个固定的中心势场。) 粒子1从来,经过最接近的点,又到去,偏转了一个角(散射角)。我们用来记极坐标中的极角(以代替,因为专门用于表示质心系中粒子1的偏转角了)。由于弹性散射,中心势场,要求轨道关于对称,是轨道的转折点,。由图可知,点对应的值记为 ,则有 我们用粒子1的入射速度和瞄准距离代替守恒量: 利用轨道方程(见§3。2公式(7))求定积分 其中由解得。 由这积分,求得偏转角。这就是碰撞的动力学所要研究的问题。 3.微分散射截面。(教材88页下半页—89页末) 主要结果是公式(6。9)和(6。11)推导过程参阅教材。在这里只是提醒几点: 这里的推导也是在粒子2静止的条件下进行的。 由于我们遇到的一般不是一个粒子的散射而是粒子束的散射,我们需要研究粒子束散射后的分布情况,我们需要引进一个新的物理量:微分散射截面,这是描述粒子束散射过程特征的一个物理量。理解这个物理量时除了掌握定义(6。6)外还应注意: 这个量与粒子束的密度无关; 这个量的量纲是面积; (6.8)(6。9)(6,11)分别给出与的关系,特别是和的函数关系表示粒子束经过散射后的分布函数,也体现了相互作用势对散射过程中粒子运动状态的变化的影响。 例:库仑势场中的弹性散射。 (斥力)      于是  这是卢瑟福(Rutherford)公式(1911),是以原子的核模型为基础推导得到的,后来为盖革和马士登用实验所证实(1913)。以较重的原子核为靶,把-质点束射入进行散射。实验结果表明,当足够大,足够小是,能使-质点接近原子核的距离缩小到米时,上述关系仍基本成立。由此证明了原子的核模型。 5.迄今为止的计算是在假定靶粒子静止的条件下对粒子1的矢径进行的。实际上,靶粒子2不可能不动(不可能是无穷大),必须按两体问题的相对运动部分来处理。上述推导过程中,应将换为,,,因此,碰撞前相对位矢速率也就是粒子1的速率,不需更换。由于相对运动的位置矢量和质心系中粒子1的位置矢量只相差一个正的常系数,因此,这样公式中的既是相对运动位置矢量的偏转角,又是质心系中粒子1的偏转角。只要再把转换为实验室系中的偏转角,就可以和实验结果进行比较了。 第二章习题: 质点动力学:28页1.6; 1.13;1.19;1.20;*1.21;1.24;1.25; *1.27;1.28 中心力:98页3.1;3.3;3.5;3.6;*3.8; 补充题:参考资料1:109页 试导出下面中心力量值的公式:式中为质点的质量,为质点到力心的距离,常数,为力心到轨道切线的垂直距离。 如质点受中心力作用而作双纽线的运动时,则 ,试证明之。 如和为质点在远日点及近日点处的速率,试证明 *4。质点在中心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离的函数,而质点的速率则与此距离成反比,即如果求点的轨道方程。设当时, *5。质量为的质点在中心斥力场中运动,式中为质点到力心的距离,为常数。当质点离很远时,质点的速度为,而其渐近线与的垂直距离则为(即瞄准距离)。试求质点与的最近距离 (即是轨道的转折点。)