牛顿动力学方程 （下）
（参阅教材§4．4．－§4．9．）
2．7．刚体动力学的基本概念（参阅教材§4．4．－§4．9．）
1．刚体是一种特殊的质点系，质点系动力学的研究方法也适用于刚体，把动力学的三大定理应用到刚体，所得结果就是111页（4．1．）（4．2．）和（4．3．）。由于刚体的自由度是6，三大定理有七个方程，取其中六个方程就足以决定刚体的运动了。
鉴于刚体内部约束的特点(任意两质点间的距离保持不变)，内力所作的功为零（证明见后），动能定理(4. 3)式已经得到化简；内势能一般取决于各对质点间的距离(而与相对的取向无关)，因而内势能也是常数，可以不予考虑（相当于调整计算势能的零点，使内势能为零）。
刚体内力所作功为零的证明：
是质点作用于质点的力，沿这两个质点的连线，满足
因而可表为, ；于是可计算成对内力所做的元功：
（这里用到了刚体的约束条件：）
【思考】以上证明和刚体内部约束是理想约束的证明有什么联系和区别？
2．在动力学中，通常我们从惯性参考系出发来讨论，即我们假定坐标系是惯性参考系中的固定坐标系。由于质心在质点系诸物理量的分解中的特殊地位，刚体动力学中把刚体的运动分解为平动和转动时，通常以质心为基点（除非有固定点的情形），即把固连于刚体的坐标系的原点选在质心。这样，刚体的平动部分由质心代表，满足质心运动定律；刚体运动的转动部分就是相对于质心的运动，也就是在质心参考系（见15页）中刚体绕质心的定点转动，满足下一节讨论的欧拉定动力学方程。
3．由于刚体内部的约束的特点，为讨论刚体相对于质心运动的运动学描述，引入角速度矢量（1．4．节）；为讨论刚体相对于质心运动的动力学规律，将引入转动惯量张量。(2．8．节)
2．8．转动惯量张量 欧拉动力学方程 （参阅教材§4．4．－§4．9．）
转动惯量张量：为了计算作定轴转动和平面平行运动的某些刚体的角动量和动能，写出动力学方程，我们曾经引入了转动惯量。但在研究刚体的定点转动和一般运动时，上述转动惯量的概念就不够了，必须把转动惯量推广为转动惯量张量。
【思考】这个转动惯量张量和以前所学的转动惯量之间，有什么区别？有什么联系呢?
【思考】我们学过某些情况下刚体的角动量表达式，和动能表达式,这两个式子能否推广到更一般的情况? (这些问题应在学习本节时解决。）
注意：以下计算，除非特别说明，对刚体的形状、结构及其运动状况均不加任何限制。
2．刚体转动的角动量(121页起)
， （※）
把（※）式写成矩阵的形式(其中各矩阵元的定义见122页)：
把其中的矩阵记为：
是一个二阶张量，称为惯量张量（转动惯量张量），可以表为一个实对称矩阵（满足）称为惯量矩阵。其中对角元分别为刚体绕各坐标轴的转动惯量，非对角元称为惯量积。惯量张量的物理意义是刚体作转动时惯性的度量，和平动时质量的概念相当；而其数学形式则是标量的推广。质量是一个标量，也可以看成是一个特别简单的张量：
由惯量张量的定义可知，但三个对角元中至多可有一个为零；若有两个为零，则必有三个均为零，此时刚体退化为一个质点。
【思考】以下不等式是否成立
，，
， ， ，
选择适当的直角坐标系能使惯量张量表为对角矩阵，这样的三个坐标轴称为刚体的主轴或惯量主轴。寻找刚体的主轴和数学上寻找矩阵的本征矢量或把矩阵对角化是等价的。惯量张量的主轴体现了刚体作转动时的惯性的某种对称性。如果刚体的密度是常数,可从刚体形状的对称性找到主轴。无论刚体的形状有无对称性，刚体的密度分布规则有无对称性，刚体的主轴是一定存在的，因为实对称矩阵总是可以对角化的。
惯量张量一般在固定于刚体的坐标系中进行计算，这样基矢变化（规律比较简单）而惯量张量的分量不随时间变化，因而计算角动量对时间的导数就比较方便。由于质点系的角动量定理只有在惯性系和质心系中才有简洁的形式，对固定点和对质心计算的惯量张量总是最有用的。
关于转动惯量，我们曾学过平行轴定理（113页）。至于惯量张量，我们也可以深入思考一些问题。例如：
形状对称的刚体,它的对称轴一定是主轴吗？
形状对称的均质刚体,它的主轴一定是对称轴吗？
对于刚体上的一个确定点而言,主轴是唯一确定的吗？
如果对刚体上的两个确定的点，主轴都是唯一确定的，那么这两组主轴是不是对应平行的？
设，（是转动轴或瞬时转动轴方向即角速度方向上的单位矢量，）是与之间的夹角。 ,是,与垂直且与共面的单位矢量。（径向单位矢量）（※）式可化为：
（※※）
其中：，就是围绕这个瞬时转动轴的转动惯量。由（※）式和（※※）式均可见，一般情况下，与方向可以不同。只有当角速度沿刚体的主轴方向，使（※※）式第二项为零时，才有，与的方向才相同。这正是由于刚体在转动情况下表现出来的惯性的张量特性（转动惯量张量）引起的。不过角速度与角动量的内积却总是有比较简洁的表达式，事实上，由（※）式和（※※）式均可见：
于是就可以把角动量在转动轴或瞬时转动轴上的投影表为：
或把角速度在角动量方向上的投影表为：或利用下面的动能式表为
【思考】如果计算角动量的基点沿着转动轴移动，对角动量会有怎样的影响？
3．刚体转动的动能
我们再来计算刚体转动的动能：以下可用不同的方法继续计算，所得到的各种不同形式的结果，它们应该是相等的。
利用角动量的表达式，得到
(1)
或利用转动惯量张量的矩阵元表为
(2)
或利用矢量积的定义 (3)
（3）式中右边的求和式就是对于瞬时转动轴的转动惯量，于是
（4）
可见刚体转动的动能这个表达式（4）是普遍成立的，只不过在一般情况下，因为瞬时转动轴可以随时间变动，转动惯量一般为变量，这点与定轴转动不同。
还可以利用角速度的大小和方向来表示：令，单位矢量表示角速度的方向,其中是的三个方向余弦,(是和坐标轴的三个夹角)满足， 又因为
因而由（2）式，动能再一次表为(4)的形式：
其中： (*)
由上可见，围绕任意瞬时转动轴的转动惯量可以由(*)式利用转动惯量张量求出。
特别，由(*)式取,于是得,相仿可得 ，分别为围绕轴的转动惯量。，，称为惯量积。
坐标系选取得使坐标轴沿着主轴,惯量积为零,角动量和动能的公式可以简化。(124页)
4．欧拉动力学方程的推导：
出发点是角动量定理；为了使方程形式简单, 我们作以下选择：
坐标系原点选在固定点（如果刚体有固定于空间的点）或质心；(对固定点或质心的角动量定理有简洁的形式)
选用固定于刚体的坐标系；(保证转动惯量张量为常量) 角动量定理具体表为：
坐标轴选得和主轴一致;(惯量积为零)于是得欧拉动力学方程：
2．9．欧拉动力学方程的应用
欧拉动力学方程是刚体运动的转动部分普遍适用的动力学方程。无论是定轴转动或定点转动，还是一般运动或平面平行运动的转动部分，欧拉动力学方程都是适用的。
对于定轴转动或者平面平行运动的转动部分， 如果转动轴就是刚体的一个主轴，那么方向不变的角速度和这个主轴方向保持一致，角动量也和这个主轴方向保持一致，欧拉动力学方程形式特别简单，如我们已经在普通物理中学过的那样。（关于刚体的平面平行运动，参见§4．5．112-115页）如果角速度方向和主轴方向不一致,那么选择坐标轴沿主轴并不见得方便。在这种情况下，我们可以把固定于刚体的坐标系的一个坐标轴（例如轴）选得与角速度的方向一致, 这时，虽然这不是主轴，惯量积一般不等于零；但, , , , ，从而
转动部分的动力学方程仍可得到一定程度的简化
应该指出，对于定轴转动或者平面平行运动的转动部分，角速度的方向不变，角动量的方向一般说，不同于角速度的方向，是可以变化的，为了使刚体作定轴转动或者平面平行运动，往往需要约束提供适当的约束力。因此方程右边的外力矩,除了主动力矩外，还应包括约束力矩在内。例如：刚体作定轴转动时，通常约束力通过轴承作用到转动轴上，对固定点的约束力矩与转动轴垂直。上述第三个方程解出角位移随时间变化的规律，再从前两个方程求出约束反力。对称刚体且转动轴过质心、沿主轴的定轴转动，求解运动规律和计算约束力都是不困难的（已在普通物理中学过）。但偏心或转动轴偏离主轴的刚体，或者高速转动部件的转轴需要变动方向时(例如轮船发动机上的转动部件)，约束力的计算往往比较复杂，这类问题对机器的设计，制造和安装都是很重要的。 (参见§4．12．)
又如，置于光滑水平面上的非对称的刚体作平面平行运动，角动量也有水平面内的分量,为使其变化满足刚体的动力学方程，作用于刚体底面非均匀分布的约束力, 在其合力与主动力平衡的同时，形成的合力矩能给出改变角动量矢量所需要的约束力矩。
当然，具有良好对称性的刚体在适当的条件下也可能在约束力矩的合力矩为零的情况下作定轴转动或平面平行运动。
还有一个问题：刚体作平面平行运动时,瞬时转动中心能否作为角动量定理的基点？（确切些说，也就是，以瞬时转动中心为基点，角动量定理能否也表为？）结论是：如果瞬时转动中心到质心的距离保持不变，答案是肯定的；否则答案是否定的。关键的一点是：瞬时转动中心的速度虽然为零，但加速度不为零。（参阅参考资料25，26，27和教材117页例2）
对于刚体的定点转动或一般运动的转动部分，选用了符合前述条件的坐标系已使方程在很大程度上得到化简,因而是比较方便的。但是，即便如此，对于刚体的定点转动，到现在为止,我们只知道下列三种特殊情况(对外力矩或刚体形状作某些限制)可以有解析解：
(1)欧拉—潘索情况；（参见§4. 8）
(2)拉格朗日—泊松情况；（参见§4. 9）
(3)柯凡律夫斯卡雅情况。
2．10．刚体的自由转动(欧拉—潘索情况)
1．自由转动是指外力矩为零的一种情形。如果是定点转动，定点一定与质心重合,否则重力矩不能为零。如果是一般运动，因为在动力学中分解刚体的一般运动,基点总是选在质心，重力矩自动为零；因此它的转动部分是自由转动。
以地球为例,受太阳的引力,因地球的线度比起日地距离来要小得多，太阳引力的合力可认为近似作用于地球的质心， 以质心为基点分解地球的运动,平动部分系在太阳引力的作用下作公转（以质心为代表的质点运动）,转动部分系围绕质心作自转（质心参考系中的定点转动）此时外力矩为零,地球作自由转动。
自由转动是因惯性而运动,不要一提到惯性就联想到匀速直线运动。对质点或刚体的平动部分，惯性运动是匀速直线运动。对刚体的转动部分就不是这样了。
2．我们用欧拉动力学方程来处理这个问题。由于外力矩为零,方程化简为：
得到积分，得到常矢量,
积分 =常量
积分 常量
也可由动量守恒和能量守恒直接得到。
由此继续下去，虽然原则上可以积分求解，(127页)但实际上是很困难的。
3．在对称欧拉陀螺的情况下，计算可以大大简化,可以解得：(130页)
, , 常数,其中
常数
因为为常矢量，所以总可选空间固定坐标轴
比较以上两式,可以得到解为规则进动。(131页)
3．潘索的几何方法（127—129页）
为了学习潘索的几何方法，我们引入.惯量椭球的概念（参阅教材§4．7．）。我们已经知道，刚体绕过刚体上某一确定点的任意方向的轴的转动惯量可以由该点的转动惯量张量求出。(见（*）式)现在我们要引入的惯量椭球，是用来表现围绕各不同方向的转动轴的转动惯量的一种几何手段。定义 , 于是 (*)式就化为：
在以为直角坐标的空间里(这个空间是数学上的空间, 不是现实的空间,甚至它的坐标的量纲都不是长度的量纲)，这个方程的曲面是一个中心在原点的椭球, 称为惯量椭球。（以质心为中心的惯量椭球称为中心惯量椭球。）椭球面上任意点到原点的距离的平方等于以该点矢径方向(指现实空间中对应的方向)为转动轴的转动惯量的倒数。不管刚体的形状是什么样子，用上述方法表现转动惯量张量所得到的图形总是一个椭球。惯量椭球为我们提供了关于围绕各方向轴线的转动惯量之间的关系的一个形象的表示, 有助于我们思考和研究一些问题。
【思考】形状为椭球的均质刚体，它的惯量椭球的形状和刚体的形状是否相同？
2．11．拉格朗日陀螺
刚体绕固定点转动，惯量椭球是一旋转椭球:质心在轴上,
利用欧拉动力学方程解本问题，参阅参考资料1．或10．§6．6第200页．
在教材中（§4．9．），采用的是拉格朗日方程，可在学习第三章时阅读。
2．12．非惯性参照系中的动力学方程 惯性力
我们已经在 1．5．节中讨论了不同参照系的速度加速度间的关系（运动学范围的问题），本节讨论不同参照系的动力学方程之间的关系（动力学范围的问题）。
牛顿动力学方程（154---156页）
2．动力学定理 （156页）
（2．6）教材已给出证明。
（2．7）把（2。4）式改写即得。
（2．8）将（2。4）式两边点乘以，然后改写左边：
， 即得（2。8）
3．地球自转的动力学效应（参阅教材§5．4．）
（1）重力加速度随纬度的变化；（2）落体偏东；（3）傅科摆
思考：解释以下诸现象。其中，哪些与地球自转有关？哪些与地球自转无关？
南北向河流两岸冲刷程度不同；
南北向铁路两侧钢轨磨损程度不同；（分双线和单线两种情况）
中纬度地区高空的西风盛行带；
东西方向飞行的飞机往返飞行速率不同；
飞机起落架两侧轮子磨损程度不同。
第二章下习题：
刚体动力学：144页4．15，4．22，4．25，4．27，4．38；
非惯性系动力学：170页5．5，5．6；5．7，5．9，5．10，5．11，5．12；
