第四章 哈密顿力学 （下） 4．5．泊松括号 1． Poisson括号的定义 设都是正则变量和时间t的任意足够光滑的函数： 则和的Poisson括号定义为： （1）（不同作者的定义可能相差一个符号） 【注意】求偏导数时，视作相互独立，求全导数时，视作的函数，即  2．Poisson括号的性质 ⅰ。，反对称性 ⅱ。，同样有： 其中均为常数。 ⅲ。双线性   一般的， ， 均为常数。 ⅳ。 ⅴ。 ⅵ。， 对于有类似公式成立。 ⅶ。 ⅷ。 说明：iii、vi表示其某些和乘法类似的性质，但不满足交换律[参见（i）]，也不满足结合律[参见（iv）]。 又：vii、viii表述了某些与量子力学有重要联系的性质。 3．利用Poisson括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 （1）设一个力学体系的哈密顿量为，则任意光滑函数的全导数可以利用Poisson括号表示为： （2） ①若，即，则 ②若，则，这意味着，能量守恒或广义能量守恒。 ③取就得到 （3） 这就是用Poisson括号表示的正则方程。 （2）定理：成为正则方程积分的充要条件为： （4） 证明：如果是正则方程的积分，则有利用（2）即得。 如果满足偏微分方程（4），即 则与之对应的常微分方程组，可表为  这正是正则方程。由引理（见下面）可知是正则方程的积分， 引理：连续可微函数为偏微分方程  （5） （有连续导数，且不同时为零）的一个解的充要条件为：为常微分方程组  （6） 的一个积分。 证明： 对于任意连续可微函数，可计算，而对于等式，  （0） 如果满足（5），而方程组（6）等价于  （6(） 代入（5）得，即，则是（6）的积分。反之，如果是（6）的积分，那么必满足（6）。把（6(）代入，得，即，则是偏微分方程（5）的一个解。 关于引理，我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组（6）即  由得，F=C要成为常微分方程组（6）的积分，应与（6）协调，即上述n+1个方程组成的线性齐次方程组，应有非零解，其充要条件为行列式  即，亦即F是偏微分方程（5）的一个解。 （3） 两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果和是正则方程的两个积分，那么也是正则方程的一个积分。（称为Poisson定理或Jacobi－Poisson定理） 有了Poisson定理，似乎只要有了两个积分，就能求出第三个，第四个……问题就解决了，其实不然。Poisson定理只提供了求第三个积分的方法，但未保证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。 （4）泊松括号在（单价）正则变换下保持不变,即 【例1 】时，正则方程有积分H=h. 如果已知另一个积分((ps,qs,t)=C,那么[(, H]=C也是一个积分,事实上这个积分就是。 进一步可得，也是积分。若或常数，则新的积分是平庸的（只是恒等式）. 【例2】 43页例题2（1），椭圆摆 有能量积分  有循环积分（水平方向动量守恒），py=C，，不能得到新的积分。 【例3】 教材264页【例2】讨论了角动量，如果Jx=C1，Jy=C2是两个积分，那么Jz=C3也是一个积分。可以研究： 这个结论对质点组是否成立 这个结论可否推广为：如果角动量在某两个方向（不相同，也不相反）上的投影守恒，J(=C1，J(=C2，那么在任意方向的投影守恒。 4．6．哈密顿—雅可比方程（积分Hamilton正则方程的Jacobi方法） 1．正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标，以得到尽可能多的循环积分。最理想的情况是：经过正则变换，使新的哈密顿量，于是，，即所有新的正则变量都成为循环坐标，所以=常数，=常数。 利用由正则变换充分条件得到的  ，， 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程  (1) 由于方程中只含未知函数的偏导数，不含未知函数本身，因此方程(1)可以改写为：  (1’) 其中 （2） 方程(1)或（1’）称为Hamilton-Jacobi方程，称为Hamilton主函数。这是一阶偏微分方程，未知函数是共个自变量的函数，完全解应含有个常数，其中含有个常数，所以中有一个相加常数是理所应当的。 Hamilton主函数（积分限不确定的哈密顿作用量，因此又称哈密顿作用函数）的物理意义：  （7） （7）式中的积分是不定积分（应含一个相加常数）。证明过程见教材266页。由证明过程可见，在积分时，应将拉格朗日函数中的视作的函数，（【注意】两者是不同的。）因此在解得正则方程之前，是无法具体求出的。（利用前式积分其中在积分过程中视作常数，但其中是的怎样的函数在解得正则方程之前是未知的，因此在解得正则方程之前，也是无法具体求出的。）（7）式不能作为H-J方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我们必须另辟途径去求H-J方程的完全解。（求的方法放在第3段讨论） 2．在求得H-J方程的完全解S以后，我们可得  （3） 可以证明（3）就是正则方程  （4） 的全部个积分，含个积分常数，从（3）可解出为   （5） 或者    （6） （5）就是正则方程（4）的积分的显式，（6）是其隐函数形式。（5）和（6）式也是新老正则变量间的正则变换关系式。这个结果称为哈密顿—雅可比定理（参阅本节末的附录）。其证明参阅参考资料3第296－298页。 3．哈密顿—雅可比方程的求解问题：（主函数的求法） 在不显含即的情况下，从而常数，即存在（广义）能量积分的情况下，哈密顿—雅可比方程可表为 哈—雅方程的完全解 （相当于使时间与广义坐标进行变量分离），称为哈密顿特征函数。其中个常数已经过重新组合（相当于进行一次不含t的正则变换），使， 因为 所以是积分上限不确定的莫培督(Maupertuis)作用量。 （3）式可以化为    （3’） H－J方程化为  （9） 在求得W的完全解以后，就可得到  （10）  （11） 至于已经记，若记，则有，所以  （12） （10）、（11）、（12）是正则方程的积分，其中（11）的个式子给出轨道，结合（12）就得到运动规律：，（10）给出动量。 4．用分离变量法求哈密顿特征函数： 在某些问题中，选取了合适的坐标系，都是可分离变量的 没有交叉项。  （13） 则我们可设W的分离变量形式  （14） 于是，，（9）化为  （15） 这里的（仅有个独立，所以又不同于原来的，（又相当于经过一次正则变换），所以  （16） 的相加常数均可吸收入C。 综上所述，在满足（13）的条件下，方程（9）的解可表为（14）的形式，（14）中的每一项又可表为（16），从而方程（1）的完全解（8）可表为  （8(） 从而正则方程的积分（10）－（12）就可表为  （10(）  （11(）  （12(） 可分离变量的条件，还可适当放宽，总之，只要能把偏微分方程化为常微分方程即可。 应用举例： 【例1】单摆只有一个自由度，，（不存在）   为振幅。     这就是有限摆幅的单摆的运动规律，（单调增加，而周期性摆动，上式仅在半个周期内成立。若>0，右边根号前应添一负号）此积分为椭圆函数，在小角度情况下 是谐振子 此式倒不必调整正负号，总是成立的，因为开平方可能引起的正负号的差错正好抵消了。 【例2】用哈密顿—雅可比方程解开普勒（Kepler）问题。 因为，所以H－J方程可表为 取平面极坐标  应有，相当于（8）－（12）式中的，本例与（13）稍不同，（15）（16）（8(）（11(）（12(）应作适当调整，但关键的一点是这个方程仍能用分离变量法来求解，事实上，设，得（第一边与(无关，第二边与r无关，所以它们只能都等于常数，由第二边知常数非负，设为J2）积分得  W中的相加常数均可归入C，未写出。 进一步按（8）－（12）求得正则方程的积分  （1）  （2）  （3） 对于椭圆，有  （4） 积分得， 令，，得到  （4(） 由此可见（4）给出的是轨道方程。（3）给出运动规律r(t)，结合（3）和（4）能给出运动规律((t)，（1）（2）给出的是动量。 经过含t的正则变换（又经过不含t的正则变换，即(s的重新组合）得到的P1，P2就是守恒量能量E和角动量J，而得到的Q1，Q2是计算t和(的零点t0和(0。 6．哈密顿—雅可比方程的意义 给出了解正则方程的又一种方法，可与其他方法互为补充。而且其结果不仅包括运动规律，而且还有轨道，动量，内容十分丰富。在处理简单问题时，可能看不出其优越性，但处理较复杂问题，例如三体问题，H－J方程就大有用处了。 处理质点力学或者质点力学问题，都用常微分方程（组），（包括牛顿方程，Lagrange方程，正则方程等）而H－J方程是偏微分方程，是用来处理无限多个自由度的力学体系问题的，例如波、连续介质等。常微分方程（组）和偏微分方程之间的联系，给我们一种启示：粒子和波之间可能有某种联系。因而H－J方程在量子力学的建立过程中，起了重要的作用。 [附录]历史资料： 哈密顿定理(1834---1835)：如果主函数已求出，那么正则方程的全部积分为：，为时的值，为时的值；并且满足偏微分方程 说明：1。求得了，就可以求得正则方程的积分，但在正则方程没有积出之前，也不能求得。这里有一个循环，问题没有得到解决。 2．说明满足一个偏微分方程，这是富于启发性的。 雅可比定理（1837）：如果是方程的积分，是此解的个积分常数，那么正则方程的全部积分就是 是另外个积分常数。 说明：1。这里可从方程出发解决全部问题。是方程的完全解（不限于主函数）；是一般的积分常数（不限于初值）。这样就打破了循环。 2．这里由初值变成了一般的积分常数，相当于经过了一次正则变换。 注：这里采用的是正则变换充分条件的第一种形式。 第四章习题： 272页8．1，8．2，8．3； 272页8．7，8．8，8．10，8．11，8．12，8．13； 8．14，8．15，8．16；