第一章 运动学（下） （第一章下参阅教材§4．1．§4．2．§4．3．§5．1．） 1．4．刚体运动学 （参阅§4．1．§4．2．§4．3．） 1．什么是刚体？ 2．刚体有六个自由度。（见100页） 不共线三点（9个坐标）完全确定刚体在空间的位置和取向，加约束（3个）。 刚体从一个位置（和取向）到另一个新位置（和取向）总可通过以下步骤完成： 平移刚体，使某一点和新位置的对应点重合； 3个坐标 过此点选择一条轴线（线上各点已经和新位置上的对应点重合）； 2个坐标 绕此轴线转动某一角。 1个坐标 一共需要6个坐标，所以有6个自由度。 在刚体上选定一点，为确定这点在空间的位置，需要3个独立的坐标；在刚体上选定另一点，常数，点只可能位于某个球面上，为确定其位置，需要2个独立的坐标；在刚体上以外选定第三点，均为常数，点只能位于空间某个圆上，为确定其位置，只需要1个独立的坐标。刚体上不共线的三点位置确定以后，其他各点的位置也就完全确定了。因此为确定刚体的位置，需要6个独立的坐标，即刚体有6个自由度。 【思考】把刚体看成个质点组成的质点系，任意两点间的距离保持不变，共个约束，共有个自由度，然后令得到这当然是错的，错误在哪里？ 3．刚体运动的分类：（100－101页） 一般运动：可分解为平动和定点转动两部分的叠加。以下各类运动均为其特例。 【思考】把刚体运动分解为平动和定点转动的方法是否唯一？ 平动：刚体上任一直线在运动过程中不改变方向。 定轴转动：刚体上有两点，因而有一直线固定于空间。 平面平行运动：刚体上各点分别在一组互相平行的平面内运动。 在每一瞬时必有一点，其速度在那个瞬时为零（加速度一般不为零），这点称为瞬时转动中心。(在有限时间间隔内速度未必保持为零，所以不能称为“固定点”。) 研究平面平行运动时,常常画成平面图，用过基点的代表平面来代表这个刚体，但并不意味着这个刚体是扁平的。 定轴转动可以看成是平面平行运动的特例。 【思考】有没有其它方法来判定刚体所作的运动是平动？定轴转动？平面平行运动？ 定点转动：刚体上有一点固定于空间。 在每一瞬时必有一直线，其上各点速度在那个瞬时为零（加速度一般不为零），这直线称为瞬时转动轴。(在有限时间间隔内速度未必保持为零，所以不能称为“固定轴”。) 定轴转动可以看成是定点转动的特例。 当定点时，定点转动趋于平面平行运动。 【思考】刚体的以上各类运动分别有多少个自由度？ 我们已经学过平动和定轴转动、还有平面平行运动的一些情况，这里我们将学习另几种情况，重点是定点转动。 4．描述刚体运动的坐标系： 可以建立两个坐标系：固定在空间的坐标系和固定在刚体上的坐标系（随刚体一起运动）。这样我们就可以用坐标系相对于坐标系的运动来描述刚体在空间的运动。在运动学中，和这两个坐标系的选择有很大的任意性。但是，我们可以选择在时，两个坐标系互相重合；如果刚体在运动过程中有固定在空间的点（定点转动或定轴转动），我们可把两个坐标系的原点都选在这一点，即与重合；如果刚体作平面平行运动，我们可以把两个坐标系的一双对应的坐标平面选得都与代表刚体的薄片平行；上面这些选法，一般说来都是比较方便的。 有时还可以根据问题的特点建立介乎两者之间的另一个适当的坐标系。（见下一段） 应注意，参考系和坐标系是两个不同的概念。固定于参考系的坐标系可以起代表这个参考系的作用，但坐标系并非必须选得固定于参考系。在一个参考系中坐标系可以有多种选法。（关于这个问题在1．5．节和以后各章中还要进一步讨论） 5．刚体运动的分解： 还可以建立一个坐标系，相对于坐标系作平动，而固定于刚体（但坐标系一般并不固定于刚体）。刚体的一般运动可以表示为坐标系相对于坐标系的运动（平动）和坐标系相对于坐标系的运动（定点转动）的叠加（平面平行运动总可以分解为平动和定轴转动的叠加，是其特例）。 一般运动分解为平动和定点转动两部分，具体方法不是唯一的。由于点的不同选择，平动部分的速度不同，当然点的轨迹也不相同；而转动部分虽然具体情况可以不同，但角速度是唯一确定的，（参阅教材§4．2．刚体的角速度107—108页）。一般运动经上述分解，如果没有转动部分，那就是平动（实际上不必分解了）。如果刚体上有固定于空间的点，就把它选为点，这样就没有了平动部分，那就是定点转动或定轴转动。但是，如果选择别的动点为点，则刚体的运动仍可以看成是点代表的平动和围绕点的定点转动的叠加。 6．描述刚体运动的广义坐标：在刚体作一般运动时，平动部分可用点的坐标来描述，例如在坐标系中的直角坐标的变化来描述，转动部分（围绕点的定点转动部分），即刚体在空间的取向的变化，也就是坐标系相对于坐标系的运动，用三个欧拉角来描述，是一种方便的方法。 欧拉角的定义见教材102页。把刚体从图转动成图还可以经过另一组转动：（以下称方法二，而把教材102页上的转动方法称为方法一） (1)坐标系绕轴转过一个角度； 自转角 （2）把经过了转动（1）的坐标系绕轴转过一个角度； 章动角 （3）把经过了转动（1）和（2）的坐标系绕轴转过一个角度 进动角 请同学们自行画图并理解这组转动的结果也是图。方法二的三步转动的转轴均属同一坐标系，写出表示转动的矩阵比较方便。 附注：目前使用的欧拉角，定义方法也不唯一。例如章动角也可绕轴转动产生。如果自转角和进动角改为绕其他坐标轴产生，则有更多种定义方法。当然这些方法都是等价的。 【思考】这些定义不同的欧拉角之间的变换关系如何？ 7．刚体的角速度 在定轴转动和平面平行运动的情况下，角速度是不是矢量这个问题还不突出，因为转动轴是确定的或互相平行的直线，但是在定点转动和一般运动中,这个问题的重要性和复杂性就显现出来了。我们已经学过： 有限转动不是矢量； 无限小转动是矢量，因而角速度是矢量；（现在对此做些补充） 有一类物理量，在数学上叫张量，确切地说叫阶张量，在三维空间中，它由个分量组成，（可用个附标分别取1，2，3来标记）在空间转动下（即对直角坐标作正交变换下），依一定的规则进行变换。例如：一阶张量，即矢量 由三个分量组成，在空间转动下依下述规则进行变换 ， （*） 其中是与这个空间转动相对应的正交矩阵的矩阵元。 又如：二阶张量由九个分量组成，在空间转动下依下述规则进行变换：  二阶张量可表为一个方矩阵。上式对二阶张量进行的变换就是对矩阵的相似变换。有限转动是一个二阶张量（不是矢量），相继进行两个有限转动，就是两个对应的矩阵相乘（不是矢量相加）。既然矩阵乘法一般不满足交换律，两个有限转动的结果一般也依赖它们的次序。 阶张量还可依据它们在空间反射变换下的性质进一步进行分类。例如:一阶张量（即矢量）还应分为真矢量（又称极矢量，简称矢量）和赝矢量（又称轴矢量）。前者在空间反射下变号（即反向），后者在空间反射下不变。对赝矢量来说，（*）式应修改成 其中为三维空间中正交变换（包括空间转动和空间反射）的矩阵元。特别当空间转动时，的变换规则如同矢量；当空间反射时， 不变。现将0，1，2阶（赝）张量变换规则列表如下： 阶数 分量数 张量 赝张量 0 1 标量 赝标量 1 3 矢量 赝矢量 2 9 (二阶)张量 (二阶)赝张量 在此还介绍（三维空间的）三阶全反称张量 ，定义为：  是权为1的三阶张量密度的分量，按以下规则进行变换  （#） 以上第一步是张量密度的变换规则，后两步计算用到了行列式的定义或，并注意到对直角坐标作正交变换时，。（#）式表明，在正交变换（包括空间转动和反射）下，的值不变。还满足以下求和规则 ，  ， 现举数例如下：（为矢量，为赝矢量，为正交变换的矩阵元） 标量  ,   (赝矢量)  (矢量) 从坐标系到坐标系的转动，可以按照方法二用矩阵表示为：  = 其中：设坐标系的坐标基矢为，坐标系的坐标基矢为 【思考】如果按照方法一，这个矩阵该怎样表示？（方法一的三步转动的转轴属不同坐标系,若要表为矩阵的积,必须先把每个矩阵先经过相似变换化为同一个坐标系中的矩阵，其结果就和上述方法二的结果相同。） 说明：这里我们采用主动的观点,即把矢量转动而坐标系不动，矩阵表示出矢量的坐标的变换。为了把它和被动的观点（矢量不动而转动坐标系，矩阵表示出基矢量的变换）进行对比，我们考虑一个比较简单的二维的情况。 把矢量转动,, ，坐标基矢不变。 记为,用矩阵表示其坐标变换为： 其逆变换为 把坐标系转动,而矢量不动。这里变换的基矢,用矩阵表示： 其逆变换为   由以上两种结果可见，新矢量（原矢量转动而得）在原坐标系中的坐标和原矢量在新坐标系（原坐标系转动而得）中的坐标是相同的。如果矢量和坐标系一起转动同样一个角,则新矢量在新坐标系中的坐标和原矢量在原坐标系中的坐标相同。 我们再回到三维空间的问题。显然，是一个正交矩阵，满足。我们考虑在时间间隔中完成上述转动，在时刻，刚体处于使两个坐标系重合的取向， ，，，即为单位矩阵；在时刻，刚体处于以欧勒角来刻画的取向，即。这样对于刚体上任一固定点，其中，就有  两边取对时间的导数，就得  （**） 下面我们来证明矩阵是一个反对称矩阵，即。事实上  。于是我们可把这个矩阵表为，其中 ，具体写出来就是： ， 我们令 写成张量的形式就是： ，其中为全反对称张量。由此还可推出  ， 于是由（**）式就可得到  和我们熟知的公式比较可知， 就是我们早已知道的“角速度矢量”的三个分量。下面我们来证明，这三个分量确实是按照轴矢量分量的变换规则变换的。 是矢量间进行线性变换所对应的矩阵的分量，所以应按二阶张量进行变换  是权为1的三阶张量密度的分量，按（#）式进行变换。进一步就可以得到   由上式可以看出：角速度是轴矢量。 上述推导过程也说明了，在三维空间中二阶反对称张量总是和一个轴矢量等价。 利用的表达式，计算，可以得到在固定于空间的坐标系中的分量：  利用坐标变换式，就可以求出在固定于刚体的坐标系中的分量：  这就是刚体转动的欧拉运动学方程 【思考】按照方法一，如果我们取，能导出欧勒运动学方程的正确结果。（见教材105页）按照方法二，如果我们取能不能导出欧勒运动学方程的正确结果？为什么？ 角速度矢量可以在空间平行移动，也就是说和基点的选择无关。（证明见107—108页） 8．刚体任一点的线速度和线加速度 一．作平动的刚体，任一点的线速度是相同的，任一点的线加速度也是相同的。 二．我们已经证明，作定轴转动的刚体，任一点的线速度是，这个公式对于作定点转动的刚体也是成立的，因为两者的差别仅在于：前者的转动轴既固定于空间，又固定于刚体，后者的转动轴可以随时间而变动，而我们在推导上述公式时，并没有用到转动轴固定这个条件。（见106页）上述公式还可适用于（以转动的）常模矢量（长度不变的矢量。这里，的始点不限于在固定点, 的量纲也不限于长度。）：  或算符关系： 例如：，为坐标系的单位矢量。 如果与不保持重合（一般运动和平面平行运动），则还应考虑点的运动。即： ， 选择不同的点，应得相同的，由此可证得与基点的选择无关。（见107—108页） 上式也可以从通过微分得到：即，再微分一次，就得到加速度公式（以上参见108页。） （瞬时转轴法：自行阅读108—109页 注意：瞬时转心和瞬时转轴） 【例2】（110页）我们取固定于空间的坐标系：垂直地面向上，水平面上相应的极坐标的极角为； 固定于刚体的坐标系可以取坐标系，也可以取坐标系；两者的差别只是原点不同，坐标轴是对应互相平行的，基矢//同向，//同向，圆盘面上竖直向上方向到的转角为。由于要进行矢量积的运算，坐标系的基矢必须按右手法则设定。由上面所取的坐标系，若圆盘作圆周运动为逆时针，则圆盘自转为顺时针，所以和异号。例如我们可取和，纯滚约束表为 为了方便和确定，我们设时， 对应于对应于即点在最高处。（并非必须如此设定）于是我们得纯滚约束可表为，利用这些关系，我们可得：  写出点的矢径，，以下可采用不同方法： 方法一：点既固定于空间，又固定于刚体，我们可按绕点的定点转动来处理， 先求角速度矢量代入速度的公式得：（见教材） 方法二：我们也可按点的平动加上绕点的定点转动来处理。 方法三：直接由求导数即得，（此法避免了求角速度矢量，也不必考虑刚体运动的分解） 注意：作为求导数运算的出发点的表达式，必须是在一段时间间隔内成立的函数式，而不能是仅在某一瞬时成立的表达式，或某一时刻的函数值。 注意：本题中未说明是常量还是变量，应按变量这种一般情况进行处理。其实，速度的表达式, 无论是常量还是变量，具有相同的形式。如果要进一步求加速度，这两种情况的表达式就很不相同，是常量时（匀速转动），表达式要简单得多。 【思考】本题还可以引入另一种坐标系，其基矢由右手法则确定水平，。可自行研究利用这个坐标系的解法。并研究这三个坐标系之间的关系。 【思考】方法一、方法二中都涉及定点转动，比较两种情况下的定点，瞬时转动轴和角速度。 9．刚体所受的约束。 ．作一般运动的刚体有六个自由度。作其他形式运动的刚体可以看成是刚体受到某种约束。 ．纯滚约束。见1．2．【例10】【例11】【例12】 1．5．不同参照系的速度加速度间的关系（参阅教材§5．1．） 1．几点说明： 参考系没有静止与运动之分，只存在参考系之间的相对运动，当然也就不存在绝对静止的参考系。本节讨论的不同参考系之间的变换关系是运动学范围里的问题，在运动学中，各个参考系都是平等的。以后讨论动力学时,要把惯性系和非惯性系区分开来，有时为了叙述的方便, 说惯性系是静止的，其实相对于一个惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系。 参考系与坐标系是两个不同的概念。为了描述物体的运动，需要选定参照物，这就有了参考系的概念。参考系是一个物理概念。坐标系是一个数学方法，是为了用数学工具具体描述物体的运动而建立的。在同一个参考系中可以建立不同的坐标系，坐标系也并非必须固定于参考系。但是，固定于某一参考系的坐标系可以起到代表这个参考系的作用。例如：在1．4．节里，我们研究刚体的运动时，空间和刚体，就是两个参考系和；固定于空间和刚体的两个坐标系和（这里把符号稍改变了一点）就是这两个参考系的代表。 要分清某一物理量在不同参考系之间的变换关系和这一物理量在同一参考系中不同坐标系中的表达式之间的变换关系。例如：一质点在参考系中的速度分别为，一般并不相等，即，其间变换关系是本节要讨论的问题。而在中可建立不同的坐标系，设基矢分别为：和，则同一速度可分别表为和，其中各对应分量一般不相等，即等等，但是有：==，诸分量之间的变换关系由坐标系之间的变换关系决定。（对于加速度可以同样进行讨论。） 对同一参考系中的物理量（矢量）可按矢量相加法则进行相加。例如：，；但涉及不同参考系的物理量就不能如此简单地处理。例如：参考系的基点以速度相对于参考系运动，一质点以速度相对于参考系运动，则此质点相对于参考系的运动速度一般不等于；对于加速度也可以相仿进行讨论，只是情况更加复杂。 本节讨论不同参考系的速度、加速度之间的变换关系。由于固定于某一参考系的坐标系可以起到代表这个参考系的作用，我们可以利用物理量在不同坐标系之间的变换关系，导出该物理量在不同参考系之间的变换关系。 2．两个参考系之间的相对运动，一般情况下既有平动，又有转动。我们先讨论有一个保持不变的公共点的情形。以点为坐标系公共原点，坐标系和分别固定于参考系和。此时参考系相对于参考系围绕点作定点转动（参考系也相对于参考系围绕点作定点转动，只是角速度方向相反）。因此就有： 参考系 参考系 公共点  相对于的角速度  （表示参考系中的量，并不表示常量） 坐标系  （符号稍不同于教材上的）  基矢   的位置矢量    微商运算 ，  ，  速度    加速度     说明：推导算符公式时借助坐标系，只是为了方便。结论是不依赖于坐标系的。 算符公式给出了随时间变化的矢量在不同参考系（以相对于转动）中对时间的导数之间的关系, 例如：，相仿有特别有,即角速度的两种导数没有区别。此外，不涉及转动的量，例如分解刚体运动时所取的基点的位置矢量、速度和加速度，两种导数没有区别。 【思考】  以上如果不随时间变化，上述公式就归结为刚体上一点的速度加速度公式。 如果考虑既有平动又有转动的情形，两个坐标系和不再有公共的原点，在上述有关公式中应加上涉及平动部分的量；上表各式应如何修改？ 如果考虑只有平动而无转动的情形，两个坐标系和不再有公共的原点，但有；上表各式应如何修改？ 3．从位置矢量出发，逐次对时间求导数（注意两种导数的区别），就可得到速度和加速度的公式。  (相对于：随着平动，围绕转动。)  其中： 相对速度；  牵连速度（前项由平动引起，后项由转动引起）     其中： 相对加速度  牵连加速度(首项由平动引起，后两项由转动引起)  科里奥利加速度(由转动和相对运动引起) 4．恒角速度转动的参考系： ，  ， ,其中：,  ， ， （见152页） 5．例(152---154页) 作业：第一章下习题 刚体运动学：144页4．1；4．3；4．4；4．5；4．7； 相对运动：170页5．1；5．2；5．4；